离散数学09代数系统

1、第9章 代数系统离离 散散 数数 学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程整理课件1、近代代数学的进展、近代代数学的进展2、代数方程的可解性、代数方程的可解性3、群的发现、群的发现整理课件al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wal-muqabala 还原与对消计算概要还原与对消计算概要 （约约 820） Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850al-jabralgebra探讨了算术问题的探讨了算术问题的一般性解法一般性解法整理课件F. Vieta, 1540-1603韦达把符号性代数韦达把符号性代数称作

2、称作“类的算术类的算术”，同时规定了算术与同时规定了算术与代数的分界，认为代数的分界，认为代数运算施行于事代数运算施行于事物的类或形式，算物的类或形式，算术运算仅施行于具术运算仅施行于具体的数。这就使代体的数。这就使代数成为研究一般类数成为研究一般类型的形式和方程的型的形式和方程的学问，因其抽象而学问，因其抽象而应用更为广泛。应用更为广泛。 缺点：齐性原则缺点：齐性原则整理课件基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根(1515, S. Ferro)x3 + px = q (p, q 0)Tartaglia,1499-1557Niccolo Fontana

3、x3 + px2 = q (p, q 0) A. M. Fior1535整理课件G. Cardano, 1501-1576Ars Magna 大法大法1545年年包含三次方程包含三次方程和四次方程的和四次方程的代数解法代数解法根的个数根的个数整理课件 1818世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：决的问题，其中最突出的是： 高于四次的代数方程的根式求解问题；高于四次的代数方程的根式

4、求解问题； 欧几里得几何中平行公理的证明问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题； 微积分算法的逻辑基础问题。微积分算法的逻辑基础问题。 整理课件 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。号与数字的运算统一起来

5、，创立了类的算术。 基本问题：基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。五次或更高次的代数方程的根式解。即在即在n 5时，对于形如时，对于形如xn + a1xn1 + + a n1x + an = 0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。公式得到。 整理课件J. L. Lagrange1736-1813 1770年：年：关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考不可能用根式解不可能用根式解四次以上的方程四次以上的方程整理课件N. H. Abel, 1802-1829

6、 1824年年:论代数方程，论代数方程， 证明一般五次方程的证明一般五次方程的 不可解性不可解性 方程次数大于方程次数大于等于五时，任何以等于五时，任何以其系数符号组成的其系数符号组成的根式都不可能表示根式都不可能表示方程的一般解。方程的一般解。 阿贝尔方程阿贝尔方程整理课件基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？ E. Galois, 1811-1832 置换群置换群伽罗瓦群伽罗瓦群伽罗瓦证明了：伽罗瓦证明了：当且仅当方程的群满当且仅当方程的群满足一定条件（即它是足一定条件（即它是可解群）时，方程才可解群）时，方程才是根式可解的。是根式可解的。

7、也就是说，他找到了也就是说，他找到了方程根式可解的充分方程根式可解的充分必要条件。必要条件。 整理课件伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。和方法上的深刻变革。 群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使着类似于加法或乘法那样的二元

8、运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。和逆元素。 群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象而更多地是研究各种抽象“对象对象”的运算关系，一方面，的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。在更高层次上与数的概念获得了统一。 整理课件方程

9、与根方程与根数系扩张数系扩张行列式与矩阵行列式与矩阵布尔代数布尔代数 代数数论代数数论突破传统突破传统1919世纪的代数世纪的代数整理课件高斯(联邦德国, 1955) 1799年高斯(德, 1777-1855)代代数基本定理数基本定理)r-(x)r-)(xr-a(xP(x)n21高斯，数学家、物理学家和天文学家高斯，数学家、物理学家和天文学家17951795年进入哥廷根大学年进入哥廷根大学 正正1717边形尺规作图法（边形尺规作图法（17961796）数论、代数、非欧几何、复变函数和数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献微分几何等方面做出了开创性的贡献 近代数学奠基者

10、之一，近代数学奠基者之一，“数学王子数学王子”“宁可少些，但要好些。宁可少些，但要好些。” 整理课件 高斯和正十七边形(民主德国, 1977)整理课件高斯墓整理课件n 18241824年阿贝尔年阿贝尔( (挪挪, 1802-1829), 1802-1829)定理定理 拉格朗日n 17701770年拉格朗日年拉格朗日( (法法, 1736-1813), 1736-1813)关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考：预解式：预解式n 17991799年鲁菲尼年鲁菲尼( (意意, 1765-1822), 1765-1822)定理定理鲁菲尼阿贝尔伽罗瓦n 1829182918311831年伽罗瓦年伽罗

11、瓦( (法法, 1811-1832), 1811-1832)理论理论整理课件阿贝尔阿贝尔（挪，阿贝尔（挪，1802180218291829）贡献：方程）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论论、无穷级数和椭圆函数论 1616岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作高斯的著作18211821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，年，阿贝尔进入奥斯陆大学，18241824年，证明了一般五次方程根式解的不可年，证明了一般五次方程根式解的不可能性能性 到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文志、完成了椭圆函数的论文到巴黎，论文提交法

12、国科学院到巴黎，论文提交法国科学院回到奥斯陆回到奥斯陆18411841年椭圆函数论论文发表年椭圆函数论论文发表1908年维格兰(挪, 1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像整理课件阿贝尔奖(2003- ) 1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿贝尔奖。 挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。 阿贝尔的塑像(挪威, 1983)整理课件阿贝尔奖(2003- )20032003年塞尔年塞尔( (法法, 1926- )

13、, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖关于代数拓扑、代数几何获奖整理课件阿贝尔奖(2003- )20032003年塞尔年塞尔( (法法, 1926- ), 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖关于代数拓扑、代数几何获奖整理课件 伽罗瓦(法,1811-1832)(法国, 1984)伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了这一经历了300300年问题的彻底解决，及年问题的彻底解决，及尺规作图中尺规作图中“三等分任意角三等分任意角”问题和问题和“倍立方倍立方”问题不可能问题不可能在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德

14、，雅可比（德，1804180418511851年）的著作年）的著作18291829年进入巴黎高等师范学校年进入巴黎高等师范学校 1829182918311831年提交法国科学院的数学年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松18311831年年1 1月被校方开除，两次入狱，死月被校方开除，两次入狱，死于为于为“爱情与荣誉爱情与荣誉”的决斗的决斗 18461846年论文发表年论文发表伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！

15、为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。伽罗瓦整理课件 有限置换群有限置换群 1849-18541849-1854年凯莱年凯莱( (英英, 1821-1895

16、), 1821-1895)引入抽象群引入抽象群 伽罗瓦域伽罗瓦域 18931893年韦伯年韦伯( (德德, 1842-1913), 1842-1913)抽象域抽象域抽象化尝试整理课件 )log-n13121(1limnn n 18111811，18311831年高斯年高斯( (德德, 1777-1855), 1777-1855)讨论了复数几何表示讨论了复数几何表示n 17971797年威塞尔年威塞尔( (挪挪, 1745-1818), 1745-1818)、18061806年阿甘德年阿甘德( (瑞瑞, 1768-1822), 1768-1822)讨论了复数几何表示讨论了复数几何表示n 1747

17、1747年达朗贝尔年达朗贝尔( (法法, 1717-1783), 1717-1783)断言复数表示为断言复数表示为a+iba+ib， 17771777年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)支持用支持用i i表示虚数单位表示虚数单位 n 17371737年年欧拉欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)证明证明了了e e是无理数是无理数n 17611761年兰伯特年兰伯特( (法法, 1728-1777), 1728-1777)证明了证明了 是无理数是无理数n 18441844年刘维尔年刘维尔( (法法, 1809-1882), 1809-18

18、82)第一次显示了超越数的存在第一次显示了超越数的存在n 18731873年和年和18821882年埃尔米特年埃尔米特( (法法, 1822-1901), 1822-1901)和林德曼和林德曼( (德德, 1852-1939), 1852-1939)分别证明了分别证明了e e和和 是超越数，是超越数，“化圆为方化圆为方”问题的不可能问题的不可能 n 欧拉常数欧拉常数 是否是无理数是否是无理数? ?实数实数复数复数整理课件 18371837年哈密年哈密顿顿( (爱尔兰爱尔兰, 1805-1865), 1805-1865)表示复数为有序实数对表示复数为有序实数对 18431843年哈密顿年哈密顿(

19、 (爱尔兰爱尔兰, 1805-1865), 1805-1865)定义了四元数定义了四元数 18441844年格拉斯曼年格拉斯曼( (德德, 1809-1877), 1809-1877)引进了引进了n n个分量的超复数个分量的超复数dkcjbia-1kji222j-ikki i,-kjjk k,-jiij 18471847年凯莱年凯莱( (英英, 1821-1895), 1821-1895)定义了八元数定义了八元数 麦克斯韦麦克斯韦( (英英, 1831-1879), 1831-1879)创造了向量分析创造了向量分析整理课件 哈密顿的四元数(爱尔兰, 1983)哈密顿（爱尔兰，哈密顿（爱尔兰，1

20、805180518651865年年 ），光），光学、力学和代数学、力学和代数 自幼聪明，具有非凡的语言能力，自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神神童童”18201820年已阅读牛顿年已阅读牛顿自然哲学的数学原自然哲学的数学原理理，拉普拉斯的，拉普拉斯的天体力学天体力学，18231823年进入剑桥大学三一学院年进入剑桥大学三一学院18341834年发表论文年发表论文“一种动力学的普遍方一种动力学的普遍方法法”18431843年年1010月月1616日定义了四元数日定义了四元数“思思想电路接通之火花想电路接通之火花”1837183718451845年任爱尔兰皇家科学院院长年任爱尔兰皇家科学院院长英国

21、声誉仅次于牛顿的数学家，物理学英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家家 整理课件16831683年关孝和年关孝和( (日日, 1642-1708, 1642-1708，“算圣算圣”) )完成完成解伏题之法解伏题之法提出行列式提出行列式理论和代数方程变换理论理论和代数方程变换理论17501750年克莱姆年克莱姆( (瑞瑞, 1704-1752), 1704-1752)法则法则17721772年范德蒙年范德蒙( (法法, 1735-1796), 1735-1796)、拉普拉斯、拉普拉斯( (法法, 1749-1827), 1749-1827)行列式展开定行列式展开定理理18411841年凯莱年凯莱(

22、 (英英, 1821-1895), 1821-1895)行列式记号行列式记号18521852年西尔维斯特年西尔维斯特( (英英, 1814-1897), 1814-1897)惯性定理惯性定理18541854年埃尔米特年埃尔米特( (法法, 1822-1910), 1822-1910)使用了正交矩阵使用了正交矩阵18581858年凯莱证明了凯莱年凯莱证明了凯莱- -哈密顿哈密顿( (爱尔兰爱尔兰, 1805-1865), 1805-1865)定理定理18701870年若尔当年若尔当( (法法, 1838-1921), 1838-1921)建立了若尔当标准形建立了若尔当标准形18791879年弗罗

23、贝尼斯年弗罗贝尼斯( (德德, 1849-1917), 1849-1917)引入矩阵的秩引入矩阵的秩整理课件凯莱西尔维斯特埃尔米特弗罗贝尼斯若尔当克莱姆拉普拉斯关孝和整理课件 来源于对数学和逻辑基础的探讨来源于对数学和逻辑基础的探讨, , 莱布尼茨莱布尼茨( (德德, 1646-1716), 1646-1716)提出思提出思维演算和逻辑的数学化思想维演算和逻辑的数学化思想 德德 摩根摩根( (英英, 1806-1871)1847, 1806-1871)1847年年形式逻辑形式逻辑首创关系逻辑研究首创关系逻辑研究德 摩根布布 尔尔 施罗施罗德德 施罗德施罗德( (德德, 1841-1902),

24、1841-1902)逻辑代数讲义逻辑代数讲义(1890-1905)(1890-1905)把布尔的逻把布尔的逻辑代数推向顶峰辑代数推向顶峰 布尔布尔( (英英, 1815-1864), 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数用代数方法建立了逻辑代数, 1847, 1847年和年和18541854年年布尔出版布尔出版逻辑的数学分析逻辑的数学分析和和思维规律研究思维规律研究整理课件 全称肯定命题 所有 X 是 Y x(1-y)=0 全称否定命题 所有 X 不是 Y xy=0 特称肯定命题 有些 X 是 Y xy0 特称否定命题 有些 X 不是 Y x(1-y)0 布尔布尔( (英英, 1815

25、-1864), 1815-1864)，数学、逻辑学家，数学、逻辑学家，5050篇学术论文和两部教篇学术论文和两部教科书，科书，1919世纪数理逻辑的最杰出代表世纪数理逻辑的最杰出代表“自学成才自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理，拉格朗日，拉格朗日解解析函数论析函数论和拉普拉斯和拉普拉斯天体力学天体力学18391839年申请进剑桥大学，年申请进剑桥大学，18441844年发表年发表“关于分析中的一般方法关于分析中的一般方法”18491849年爱尔兰科克皇后学

26、院数学教授，年爱尔兰科克皇后学院数学教授，18571857年英国皇家学会会员年英国皇家学会会员 整理课件本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质二元运算的性质代数系统定义及其实例代数系统定义及其实例子代数子代数 q与后面各章的关系与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础是后面典型代数系统的基础整理课件9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质9.2 9.2 代数系统代数系统9.3 9.3 代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构 本章小结本章小结 作作 业业本章内容本章内容整理课件9.1 二元运算及其性质二元运算及其

27、性质定义定义9.1 9.1 设设S S为集合，函数为集合，函数 f：SSS 称为称为S上的二元运算上的二元运算，简称为，简称为二元运算二元运算。举例举例 f:N:NNNNN，f(f()x + +y是自然数集合是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算f:N:NNNNN，f(f()x - - y不是自然数集合不是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算称称N N对减法对减法不封闭不封闭。验证一个运算是否为集合验证一个运算是否为集合S S上的二元运算主要考虑两点：上的二元运算主要考虑两点：q S S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的

28、。是唯一的。q S S中任何两个元素的运算结果都属于中任何两个元素的运算结果都属于S S，即即S S对该运算是对该运算是封闭的。封闭的。整理课件（1 1）自然数集合自然数集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元运算，但减上的二元运算，但减 法和除法不是。法和除法不是。（2 2）整数集合）整数集合Z Z上的加法、减法和乘法都是上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算上的二元运算 ，而除法不是。，而除法不是。（3 3）非零实数集）非零实数集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加上的二元运算，加 法、减法不是法、减法不是。 （4 4）设）设Sa1,a2,an，ai aj

29、=ai为为S上二元运算。上二元运算。例例整理课件例例（5）设）设Mn(R)表示所有表示所有n阶阶(n2)实矩阵的集合，即实矩阵的集合，即111212122212( ), ,1,2,.,nnnijnnnnaaaaaaMRaR i jnaaa 则矩阵加法和乘法都是则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。上的二元运算。（6）S为任意集合，则为任意集合，则、 为为P(S)上的二元运算。上的二元运算。（7）SS为为S上的所有函数的集合，则合成运算上的所有函数的集合，则合成运算 为为SS上的二元运上的二元运 算。算。整理课件一元运算一元运算定义定义 设设S为集合，函数为集合，函数f：SS称为称为S上的

30、一元运算上的一元运算，简称为，简称为一一元运算元运算。 （1）求一个数的相反数求一个数的相反数是整数集合是整数集合Z、有理数集合有理数集合Q和实数集和实数集 合合R上的一元运算。上的一元运算。（2）求一个数的倒数求一个数的倒数是非零有理数集合是非零有理数集合Q*、非零实数集合非零实数集合R* 上的一元运算。上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数求一个复数的共轭复数是复数集合是复数集合C上的一元运算。上的一元运算。 整理课件（4 4）在幂集）在幂集P(S)上，如果规定全集为上，如果规定全集为S，则则求集合的绝对补求集合的绝对补 运算是运算是P(S)上的一元运算。上的一元运算。 （5 5）设）设

31、S为集合，令为集合，令A为为S上所有双射函数的集合，上所有双射函数的集合，A SS， 求一个双射函数的反函数求一个双射函数的反函数为为A上的一元运算。上的一元运算。（6 6）在）在n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)上，上，求一个矩阵的转置求一个矩阵的转置 矩阵矩阵是是Mn(R)上的一元运算。上的一元运算。一元运算举例一元运算举例整理课件q 可以用可以用 、 、 、 、 等符号表示二元或一元运算，等符号表示二元或一元运算，称为称为算符算符。 设设f : SSS是是S上的二元运算上的二元运算 ，对任意的，对任意的x, yS，如如果果x与与y的运算结果为的运算结果为z，即即f()z，可

32、以利用算符可以利用算符 简记为简记为x y = z。 对一元运算对一元运算 ，x的运算结果记作的运算结果记作 x。例题例题 设设R为实数集合，如下定义为实数集合，如下定义R上的二元运算上的二元运算 ： x,yR，x y = x。那么那么 3 4 = 3，0.5 ( 3) = 0.5。二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符整理课件q 函数的解析公式函数的解析公式q 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） 二元运算的运算表二元运算的运算表an an an a2 an a1 ana2 an a2 a2 a2 a1 a2a1 an a1 a2 a1 a1 a1a

33、n a2a1 一元运算的运算表一元运算的运算表 an an a2 a2 a1 a1 ai ai二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示整理课件例例 设设S=1,2，给出给出P(S)上的运算上的运算 和和的运算表的运算表 ，其中全集为，其中全集为S。 的的运算表运算表121,21,211,22221,2111,221 1,221 的运算表的运算表1,212211,2 ai ai解答解答整理课件例例 设设S=1,2,3,4，定义定义S上的二元运算上的二元运算 如下：如下：x y(xy) mod 5， x, ,ySS 求运算求运算 的运算表。的运算表。解答解答 1 12 23 34 41 11 12

34、 23 34 42 22 24 41 13 33 33 31 14 42 24 44 43 32 21 1整理课件定义定义 设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的x,yS都有都有x y=y x，则称运算则称运算 在在S上满足上满足交换律交换律。定义定义 设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有都有 (x y) z=x (y z)，则称运算则称运算 在在S上满足上满足结合律结合律。说明说明：若若+适合结合律，则有适合结合律，则有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。定义定义 设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的

35、二元运算，如果对于任意的xS有有x x=x，则称运算则称运算 在在S上满足上满足幂等律幂等律。如果。如果S中的某些中的某些x满足满足x x=x，则称，则称x为运算为运算 的的幂等元幂等元。举例：举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等是加法的幂等元，元，0和和1是乘法的幂等元。是乘法的幂等元。二元运算的性质二元运算的性质整理课件例题例题Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n阶实矩阵集阶实矩阵集合合, n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为从为从A到到A的函数集，的函数集，|A| 2 。集合集合运算运算交

36、换律交换律结合律结合律幂等律幂等律Z,Q,R普通加法普通加法+ +普通乘法普通乘法 有有有有有有有有无无无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+ +矩阵乘法矩阵乘法 有有无无有有有有无无无无P(B)并并交交相对补相对补 对称差对称差 有有有有无无有有有有有有无无有有有有有有无无无无AA函数复合函数复合 无无有有无无整理课件定义定义 设设 和和 为为S上两个二元运算，如果对于任意的上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有有 x (y z) (x y) (x z)（左分配律左分配律）(y z) x (y x) (z x)（右分配律右分配律） 则称运算则称运算 对运算对运算 满足满足分配律分配律。 说

37、明：说明：若若* *对对 运算分配律成立，则运算分配律成立，则*对对 运算广义分配律也成立。运算广义分配律也成立。 x (y1 y2 yn ) (x y1) (x y2) (x yn) (y1 y2 yn ) x (y1 x) (y2 x) (yn x) 定义定义 设设 和和 为为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有都有x (x y)x x (x y)x 则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律。二元运算的性质二元运算的性质整理课件Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n阶实矩阵集阶实矩阵

38、集合，合，n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为从为从A到到A的函数集，的函数集，|A| 2 。 集合集合运算运算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无P(B)并并与交与交 对对可分配可分配对对可分配可分配有有交交与对称差与对称差 对对 可分配可分配无无例题例题整理课件定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q 如果存在元素如果存在元素el（或或er） S，使得对任意使得对任意xS都有都有el x = x (或或x er = x)则

39、称则称el (或或er)是是S中关于中关于 运算的一个运算的一个左单位元左单位元(或或右单位元右单位元)。q 若若eS关于关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称运算既是左单位元又是右单位元，则称e为为S上上关于关于 运算的运算的单位元单位元。单位元也叫做。单位元也叫做幺元幺元。 q运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以没有左单位元和右单位元。q运算可以只有左单位元。运算可以只有左单位元。q运算可以只有右单位元。运算可以只有右单位元。q运算可以既有左单位元，又有右单位元。运算可以既有左单位元，又有右单位元。 二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素单位元单位元整理课件二元运算中的特异元素二元

40、运算中的特异元素零元零元定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，q 如果存在元素如果存在元素l（或或r）S，使得对任意使得对任意xS都有都有 l x = l (或或x r = r)， 则称则称l (或或r)是是S上关于上关于 运算的运算的左零元左零元(或或右零元右零元)。q 若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元，则称为为S上关上关于运算于运算 的的零元零元。 q运算可以没有左零元和右零元。运算可以没有左零元和右零元。q运算可以只有左零元。运算可以只有左零元。q运算可以只有右零元。运算可以只有右零元。q运算可以既有左零元，又有右零元。运算可以既有左零元

41、，又有右零元。 整理课件二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素逆元逆元定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e S为为 运算的单位元，对于运算的单位元，对于xS，q 如果存在如果存在yl（或或yr）S使得使得yl xe（或或x yre） 则称则称yl（或或yr）是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）。）。q 若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，则称的右逆元，则称y为为x的的逆元逆元。q 如果如果x的逆元存在，则称的逆元存在，则称x是是可逆的可逆的。q运算可以没有左逆元和右逆元。运算可以没有左逆元和右逆元。q运算可以只有左逆元。运算可以只有左逆元。q运算可以

42、只有右逆元。运算可以只有右逆元。q运算可以既有左逆元，又有右逆元。运算可以既有左逆元，又有右逆元。 整理课件特异元素的实例特异元素的实例集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法普通乘法普通乘法01无无0 x的逆元的逆元 xx的逆元的逆元x 1Mn(R)矩阵加法矩阵加法矩阵乘法矩阵乘法n阶全阶全0矩阵矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵无无n阶全阶全0矩阵矩阵x逆元逆元 xx的逆元的逆元x 1（x可逆）可逆）P(B)并并交交BB的逆元为的逆元为B的逆元为的逆元为B整理课件定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，el、er分别为分别为 运算的左单位元和运算的左单位元和

43、右单位元，则有右单位元，则有 el = er = e 且且e 为为S上关于上关于 运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。 el el er (er为右单位元为右单位元) el er er (el为左单位元为左单位元)所以所以el = er，将这个单位元记作将这个单位元记作e。假设假设e 也是也是S中的单位元，则有中的单位元，则有 e = e e = e所以，所以，e 是是S中关于中关于 运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。证明证明整理课件定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算， l和和 r分别为分别为 运算的左零元和右运算的左零元和右零元，则有零元，则有 l = r = 且且

44、为为S上关于上关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。 l l r ( r为左零元为左零元) l r r ( l为右零元为右零元)所以所以 l = r，将这个零元记作将这个零元记作 。假设假设 也是也是S中的零元，则有中的零元，则有 = = 所以，所以， 是是S中关于中关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。证明证明整理课件定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e 和和 分别为分别为 运算的单位元和零运算的单位元和零元，如果元，如果S至少有两个元素，则至少有两个元素，则e 。用反证法。用反证法。假设假设 e = ，则，则 xS有有x x e x 这与这与S中至少含有两个元素矛盾

45、。中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不所以，假设不 成立，即成立，即e 。证明证明整理课件定理定理 设设 为为S上上可结合的可结合的二元运算，二元运算，e为该运算的单位元，为该运算的单位元，对于对于xS，如果存在左逆元如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr，则有则有yl = yr= y 且且y是是x的唯一的逆元。的唯一的逆元。由由 yl x = e 和和 x yr = e ，得得证明证明yl = yl e令令yl = yr = y，则则y是是x的逆元。的逆元。= yl (x yr) = (yl x) yr= e yr= yr假若假若yS也是也是x的逆元，则的逆元，则y = y e = y (x

46、 y) = (y x) y = e y= y所以所以y是是x唯一的逆元，记作唯一的逆元，记作x 1。整理课件消去律消去律定义定义 设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以满足以下条件：下条件：（1）若若x y x z且且x ，则，则y z （左消去律）（左消去律）（2）若）若y x z x且且x ，则，则yz （右消去律）（右消去律）则称则称 运算满足运算满足消去律消去律。例如：例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。上的并和交运算一般不满足消去律。 整理课件例

47、例 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+， x,yZ+，x ylcm(x,y)，即求即求x和和y的最小公倍数。的最小公倍数。（2）Q， x,y Q，x y=x+y-xy解答解答（1） 运算可交换、可结合、是幂等的。运算可交换、可结合、是幂等的。 x Z+，x 1=x ， 1 x=x ，1为单位元。为单位元。 不存在零元。不存在零元。 只有只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。整理

48、课件（2） Q， x,y Q，x y=x+y-xyq 运算满足交换律，因为运算满足交换律，因为 x,y Q，有有 x y =x+y-xy = y+x-yx = y xq 运算满足结合律，因为运算满足结合律，因为 x,y,z Q，有有 (x y) z=(x+y-xy) z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x (y z)=x (y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyzq 运算不满足幂等律，因为运算不满足幂等律，因为2 Q，但但 2 2 =2+2-220 2 q 运算满足消去律，因为运算满足消去律，因

49、为 x,y,z Q，x 1(1为零元为零元)，有有 x y = x z x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于由于 是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。成立，所以消去律成立。整理课件q 0 0是是 运算的单位元，因为运算的单位元，因为 x Q，有有 x 0=x+0-x0=x=0 xq 1 1是是 运算的零元，因为运算的零元，因为 x Q，有有 x 1=x+1-x1=1=1 xq x Q，欲使欲使 x y=0和和 y x=0成立，即成立，即 x+y-xy = 0 得得(1)xyxx=-1

50、所以，所以，1(1)xxxx=-1整理课件例例 设设A=a,b,c，A上的二元运算上的二元运算 、 、 如表所示。如表所示。(1)说明说明 、 、 运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于求出关于 、 、 运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 abcaabcbbcaccab 运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是元是a，没有零元，且没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律

51、。单位运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是元是a，零元是零元是b，只有只有a有逆元有逆元，a-1=a。 运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元单位元，没有零元，没有可逆元没有零元，没有可逆元。解答解答 abcaabcbbbbccbc abcaabcbabccabc复习复习分析分析整理课件9.2 9.2 代数系统代数系统 定义定义9.12 9.12 非空集合非空集合S和和S上上k个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2, fk组成的系统组成的系统称为一个称为一个代数系统代数系统，简称，简称代数代数，记做，记做

52、。实例：实例：q 、都是代数系统，其中都是代数系统，其中+和和 分别表分别表示普通加法和乘法。示普通加法和乘法。q 是代数系统，其中和是代数系统，其中和 分别表示分别表示n阶阶(n2)实矩阵的实矩阵的加法和乘法。加法和乘法。 q 是代数系统，其中是代数系统，其中和和为并和交，为并和交，为绝对补。为绝对补。q 是代数系统，其中是代数系统，其中Zn0,1,2, ,n-1 和和 分别表示模分别表示模n n的加法和乘法。的加法和乘法。 整理课件q 集合集合（规定了参与运算的元素）（规定了参与运算的元素）q 运算运算（只讨论有限个二元和一元运算）（只讨论有限个二元和一元运算）q 代数常数代数常数在定义代

53、数系统的时候，如果把零元和单位元也作为在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素特异元素或或代数常数代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。 例如：代数系统例如：代数系统 ,+,0。代数系统的成分代数系统的成分 整理课件q 列出所有的成分列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）：集合、运算、代数常数（如果存在） 例如例如 ，q 列出集合和运算列出集合和运算，在规定

54、系统性质时不涉及具有单位元的性，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）质（无代数常数） 例如例如 ，q 用集合名称简单标记代数系统用集合名称简单标记代数系统例如例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为代数系统可以简记为Z, P(S) 代数系统的表示代数系统的表示 整理课件定义定义9.13 9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具两个代数系统具有相同的构成成

55、分有相同的构成成分，也称它们是，也称它们是同类型的代数系统同类型的代数系统。例如例如 V1= V2=q V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，个二元运算， 1个一元运算，个一元运算， 2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。个代数常数。但是它们的运算性质不一样。同类型的代数系统同类型的代数系统V1=V2=+ 和和可交换、可结合可交换、可结合 对对 + 可分配可分配+ 和和不满足幂等律不满足幂等律+ 与与 没有吸收律没有吸收律+ 和和满足消去律满足消去律和和可交换、可结合可交换、可结合和和互相可分配互相可分配和和都有幂等律都有幂等律和和满足吸

56、收律满足吸收律和和一般不满足消去律一般不满足消去律 整理课件q 在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。而构成了一类特殊的代数系统。例如：代数系统例如：代数系统V，如果如果*是可结合的，则称是可结合的，则称V为半为半群。如群。如、等都是半群。等都是半群。q 从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分从代

57、数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。果运用到具体的代数系统中去。(抽象代数的基本方法抽象代数的基本方法)q 以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。代数系统地说明代数系统地说明整理课件定义定义设设V是代数系统，是代数系统，B S，如果，如果B对对f1, f2, , fk 都是都是封闭封闭的，且的，且B和和S含有相同的代数常数含有相同的代数常数，则称，则称是是V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。简记为

58、。简记为B。例如：例如：q N是是的子代数，的子代数，N也是也是的子代数。的子代数。q N 0是是的子代数，但不是的子代数，但不是的子代数。的子代数。q 子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。过可能小一些。 q 对于任何代数系统对于任何代数系统，其子代数一定存在。其子代数一定存在。子代数子代数 整理课件q 最大的子代数最大的子代数：就是：就是V本身本身。q 最小的子代数最小的子代数：如果令：如果令V中所有代数常数构成的集合是中所

59、有代数常数构成的集合是B，且且B对对V中所有的运算都是封闭的，则中所有的运算都是封闭的，则B就构成了就构成了V的最小的的最小的子代数。子代数。q 平凡的子代数平凡的子代数：最大和最小的子代数称为：最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数的平凡的子代数。q 真子代数真子代数：若：若B是是S的真子集的真子集，则则B构成的子代数称为构成的子代数称为V的真的真子代数。子代数。子代数的相关概念子代数的相关概念 整理课件例例 设设V=，令令 nZ=nz | z Z，n为自然数，为自然数， 则则nZ是是V的子代数。的子代数。 任取任取nZ中的两个元素中的两个元素nz1和和nz2(z1,z2 Z )，则有则有n

60、z1+nz2 n(z1+z2 ) nZ即即nZ对对+运算是封闭的。又运算是封闭的。又0=n0 nZ所以，所以，nZ是是V的子代数。的子代数。 证明证明q当当n=1和和0时，时，nZ是是V的平凡子代数，其他的都是的平凡子代数，其他的都是V的非平的非平 凡的真子代数。凡的真子代数。例例9.8 9.8 整理课件积代数积代数定义定义 设设 V V1 1= 和和 V V2 2= 是代数系统，是代数系统，其中其中 和和 是二元运算是二元运算. . V V1 1与与V V2 2 的的积代数积代数V V=, , , , S S1 1 S S2 2 , , = 0212, 31012, 21101, 5例例 V