数学文化讲座

1、数学文化与文化数学数学文化与文化数学华东师范大学数学系华东师范大学数学系张奠宙张奠宙2003. 12. 3 上海上海目录n 一。 数学是人类文明的火车头。四数学是人类文明的火车头。四 个数学高峰个数学高峰n 二。争取中国数学在世界上的平等二。争取中国数学在世界上的平等 n 与独立与独立 n 三。一些数学文化的理论问题三。一些数学文化的理论问题n 四。四。 数学文化视角数学文化视角数学是人类文明的火车头数学是人类文明的火车头 四个数学高峰四个数学高峰n 古希腊文明 - 欧几里得欧几里得几何原本n 文艺复兴 - 牛顿牛顿力学-微积分n 18、19世纪人类文明 - 伽罗华群论、非欧几何 电磁学方程

2、黎曼几何与爱因斯坦相对论黎曼几何与爱因斯坦相对论n 信息时代文明 - 冯冯. . 诺依曼诺依曼计算机方案第一高峰：古希腊数学文化n “对顶角相等”是否要证明？n 中国古代算学没有角的概念， 谈不上对顶角。 认为这是显然的， 不需证明。n 几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量， 其差相等。ABC古希腊和中国的春秋战国n 古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。 男性奴隶主选举执政官， 决定财政、战争等大事。 民主需要辩论， 平等地说服。 理性思考。 崇尚精神上的真理追求n 中国春秋战国， 实行君王统治。 知识分子可以百家争鸣， 但是以说服君王为目标。 中国古代数学是官方的管理数学。

3、崇尚实用。 九章算术以丈量田亩，分配徭役，工程土方等计算方法。n文化差异决定数学文化：文化差异决定数学文化： n 理性演绎数学理性演绎数学 实用管理数学实用管理数学中国古代算学n 中国古代的算学算学n 以算法为特征以算法为特征n 吴文俊继承特点吴文俊继承特点 以机器证明（计算以机器证明（计算机算法）获国家科学奖机算法）获国家科学奖n 祖冲之计算祖冲之计算Pi享誉世界享誉世界n 中国数学整体上比中国数学整体上比埃及、巴比伦、印度埃及、巴比伦、印度晚晚 第二高峰第二高峰 牛顿、莱布尼兹发明微积分牛顿、莱布尼兹发明微积分n 文艺复兴：笛卡儿创立解析几何、坐标， “运动进入数学”。n 微积分思想：费马

4、论证：周长一定的矩形以正方形面积最大。取无穷小量E B(A-B) = (B+E)A-(B+E) BA B2 = BA B2 +AE 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0略去 E ，得到结论 A =2B。BA牛顿：自然哲学之数学原理n1687 完成， 1736出版“流数术”。 n基督教镇压科学、处死科学家n 基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平等的。n 王室邀请数学家进入宫廷n 牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家n欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄国沙皇卡列林一世邀请去彼得堡）n中国除康熙邀请梅文鼎以外， 数学家不受重视 17世纪中国数学。 牛顿发明微积分的时代n 前奏n

5、 1606 徐光启和利玛窦翻译几何原本前6卷。n 1690年， 康熙帝向传教士白晋等学习几何学， 对数。n 1701年， 莱布尼兹将2进制数表交给白晋， 白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。鸦片战争后的中国数学落后欧洲三百年。n 李善兰（1811 - 1882）。 中国传统数学最后一人， 吸收西方数学，开创中国现代数学第一人。n 与伟列亚力（1815-1867）合作翻译几何原本后9卷，美国Loomis的代微积拾级（1859）。日本用此书。 中国最早的微积分译作中国最早的微积分译作 n李善兰（1811 1882）禾彳天 意思是 dx第三高峰：19-20世纪初数学成就n 法国大革命和法国数学学派（柯西、

6、蒙日）n 德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼）n 群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密化 （强调理性思维）（强调理性思维）n 三个伟大的方程：忽略少谈的数学家忽略少谈的数学家 热传导方程 傅立叶傅立叶 （内燃机） 流体力学方程 拉普拉斯拉普拉斯 （航空） 电磁学方程 马克斯韦尔马克斯韦尔 （电磁波）傅立叶（1768 1830）马克思韦尔 1831-1879 数学与物理n 狭义相对论与四维时空。 n 广义相对论与黎曼几何。n 杨-米尔斯场 陈省身的纤维丛理论n 高维 低维（四维最难）n Witten（ 物理学家）获得数学最高奖n 霍金（理论物理学家）参加2002 数学家大会科学文化的代表

7、：科学文化的代表：希尔伯特提出希尔伯特提出23个数学问题（个数学问题（1900）报载：瑞典的一位女助教解决了第报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题问题 16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题n 第二部分 讨论 dy/dx = Y/X 的极限环的最大数目。 其中 Y,X 分别是x,y 的n次多项式苏联和中国的数学家研究过 n =2 的情形 希尔伯特希尔伯特 1862-1943 陈省身和华罗庚 （清华（清华“双子双子”星座）星座）n E. Cartan 陈省身 n 吴文俊 创立大范围微分几何 哈代哈代 华罗庚华罗庚 n 陈景润、王元陈景润、王元 中国的解析数论学派中国的解析数论学派n如果华罗庚到汉堡

8、随阿丁（如果华罗庚到汉堡随阿丁（E. Artin)E. Artin)学习代数学习代数数论，数论， 中国的数学历史将要改写了？中国的数学历史将要改写了？ 两人唯一照片1972。 北京希尔伯特的形式主义思潮n形式主义和逻辑主义、直觉主义展开论战。 形式主义思潮占据主导地位。n形式主义。 。 两点之间有且只有一条直线， 也可以说成两个啤酒瓶之间有一张桌子。n 数学=形式， 内容无关紧要n数学是公理体系。 一切数学 命题都可以形式地判定真伪 哥德尔说：哥德尔说： 不。（不。（19311931）数学：数学： 思想的体操？思想的体操？数学数学= = 公理；数学公理；数学= = 逻辑？逻辑？第四高峰：第四高

9、峰：第二次世界大战改造数学第二次世界大战改造数学n 维纳、科莫哥罗夫： 火炮自动控制n 运筹学产生于战场n 原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与.n 美国国家的应用数学小组(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轰炸机的流体力学计算n 密码破译. 图灵机的诞生n 电子计算机产生 （中国数学仍然停留在纯粹数学，（中国数学仍然停留在纯粹数学， 没有介入反没有介入反法西斯战争的努力法西斯战争的努力战后：战后： 19481948年的数学地图年的数学地图n19481948： 美国仙农发表美国仙农发表信息的数学理论信息的数学理论n19481948：维纳发表：维纳发表控制论控制论。信息、控制是数学吗？信息、控制是数学

10、吗？n1948： von Neuman 计算机方案形成计算机方案形成n 中国缺乏这样的数学偶像中国缺乏这样的数学偶像信息时代的数学技术n冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950)n 线性规划大发展. 计算机实时控制. 调度.n 卡尔曼滤波. 航天技术n CT扫描. 拉东变换.n计算机模拟技术. 军事模拟.n 计算机 软件的数学技术n金融数学技术 （中国没有以上原创的数学技术，紧跟）（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）中国科学最高奖n 吴文俊： 机器证明n 王 选： 印刷革命 数据压缩n 陈景润： 1980年代的数学英雄 1970年：年： 走出布尔巴基的光环走出布尔巴基的光环n 布尔巴基的结构主

11、义n 冲破“函数论”王国的统治n 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。 集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析 融为一体。n 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学n 1950年。吴文俊在科学通报介绍布尔巴基。 无人喝彩。n 1970年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响n 1980年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。20世纪核心数学飞速发展n 从局部到整体 （拓扑）n 从交换到非交换 （算子代数。 K理论）n 从线性到非线性 （混沌、分维）n 从低维到高维、无限维n 随机数学大发展第二部分n n 争取中国数学在世界上的 平等与独立平等与独立二十世纪数学简史n 数学

12、中心的转移： 巴黎 - 格丁根 -普林斯顿 1900 (1900-1933) (1933 -)n 莫斯科大学. Steklov数学研究所n 剑桥大学三一学院n 巴黎Poincare 研究所n 波恩Max-Plank研究所n 加拿大Fields数学研究所黑色的1933年n 希特勒上台. 排挤迫害犹太人. 4月,命令一切犹太籍的教授立即离开校园.n 爱因斯坦; H.外耳( Weyl , 妻子是犹太人); 冯.诺依曼; 柯朗; 诺特; 哥德尔; 波利亚; 兰道; 世界一流的顶尖的数学家到了美国. 那时美国正在经济危机之中.n 普林斯顿高级研究所的成立. 6名教授: 爱因斯坦; 冯. 诺依曼; 外耳;

13、 Veblen, Alexander, Morse. 中国现代数学的艰难历程n 同文馆中设天文算学馆的争论。（1860）n x,y,z,w 取代 天地人元的历程n 1902年， 江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字， 主考官黄漱兰：“以夷变夏， 其心殊不可问”。 逐出考场。n1847 容闳带学生到美留学, 没人学数学.n 1862年日本派人来中国考察, 带回, 为日本唯一的微积分读本. 1898年, 中国向日本大量派遣留学生.n 19世纪世纪,中国到欧美学数学的竟无一人中国到欧美学数学的竟无一人.中国数学的发展n 第一个数学博士胡明复。 哈佛大学（1917）n 1920年代数学系： 学士水平n

14、1930年代数学系： 硕士水平n 1940年代： 实际上能够培养博士n 1980年代： 大陆正式授予第一批数学博士世界著名的华人数学家n 陈省身（美籍）整体微分几何的奠基人）获沃尔夫奖（终身成就）。n 丘成桐（美籍）获费尔兹奖（40岁以下）n 华罗庚（1910-1985）美国科学院外籍院士。数论， 多复分析， 代数。n 冯康。 计算数学。 有限元方法创始人之一n 许宝录（1910-1970）数理统计学创始人之一n 年轻的华人数学家正在迅速发展中： 田刚、夏志宏、张伟平2002年国际数学家大会n霍金来了！n 纳什来了！n 中国数学取得世界瞩目的成就。n 格局：美俄继续领先； 西欧紧随其后 日本正

15、在迎头赶上； 中国是一个未知数。陈省身猜想n “21世纪数学大国世纪数学大国”（1988）。n数学大国的含义：“在独立平等的基础上与世界各国的数学家进行交流”！n 数学上还没有真正的独立！数学上还没有真正的独立！n n 离开皇冠上的明珠还很远离开皇冠上的明珠还很远费尔兹奖章费尔兹奖章（只授予不超过40岁数学家）n 拉法格（法国） 沃沃斯基（俄-美）n 他们都出生于 1966年， 今年36岁。n 大学毕业后， 得到扶植攻Langlangds 猜想 - 顶尖的数学课题。n 田刚上届（1998）获得提名， 但没有获得。他是南京大学学士、北京大学硕士、随丘成桐在美国读博士。现在是麻州理工学院（MIT）

16、教授考试文化的影响n 竞赛不是在考场上！n奥林匹克数学竞赛金牌 = 数学家？n 好胜与好奇。一字之差。n某大学副教务长说：“优秀学生不是高考状元， 而是在600分以上的0. 618处。 如果你的孩子是状元， 当心他/她太注重细枝末节， 没有大前途。21国参加的国际数学教育调查（IAEP）1989。 13岁学生成绩n中国大陆 80n中国台湾 73n 韩国 73n 瑞士 71n 苏联 70n法国 64 n英国 61n美国 55n巴西 37n莫桑比克 28中国数学水平怎么样？n新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样的大数学家？离国际水平多远？n 吴文俊：“不好说”，“不好说”n 丘成桐：“还差得很

17、远”n 中国只是潜在的数学大国！n 许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥” 大错特错！n “取法乎上， 仅得乎其中”， “取法乎中， 则得乎其下矣！”第三部分： 一些数学文化的理论问题n 1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。n 2。检验数学真理的标准。纯粹数学为什么会有用？n 3。 数学美的认识。n 4。 推测数学是否允许存在？n 5。 中国考据学派对数学的影响。（1）数学绝对主义的破灭n 数学结论绝对正确是做不到的， 但是并没有到达“危机”的程度。n选择公理是否准许使用？n n 无限多盘糖果， 每盘各取一颗， 构成一个拼盘。拼盘里的元素不确定， 没有指出“选择”的是什么糖！n 用选择公理可

18、以得出巴拿赫怪论（1923） “一个球， 可以分割为两个与原球全等的球”。 于是倾向于不准用选择公理n 但是选择公理十分有用， 例如有界的无限点列必可选出收敛子列。 如图：n 究竟用不用？ 没有绝对 正确的选择。 数学和其他学科一样，没有数学和其他学科一样，没有绝对。绝对。第三次数学危机，第三次数学危机， 是故作是故作“惊人之语惊人之语”n 数学在一日千里地发展， 没有危机。n 数学和其他科学一样， 真理都是相对的， 不存在绝对正确。n 但是， 数学是思想材料， 按照逻辑展开， 在可以感受到的日常数学问题中， 数学仍然比其他“经验科学”， 更加准确。n 数学大厦的底层有裂缝， 但是不会倾覆倒塌

19、。（2）检验数学真理的标准是实践吗？）检验数学真理的标准是实践吗？n逻辑正确是数学论文发表的基本要求。 不必通过实践检验， 结论一定正确。n 数学结论有好坏之分。只有“好”数学才值得发表。 n 陈省身的好数学例子： 方程。n 流形。 球面上用一个直角坐标系是不够的， 经纬线在北极相交， 坐标和点不能一一对应。陈省身：不大好的数学的例子n拿破仑定理：一个三角形， 在三边上各作一个正三角形， 其中心联起来也是一个正三角形。n 奥林匹克竞赛的题目， 都不是好的数学。n 冯 诺依曼说： 数学象在沙漠中的河流， 如果在一些枝节上停留过多， 就有干涸的危险。悬赏100万美圆的数学题目n P =NP ？n

20、黎曼猜想。n 庞加莱猜想n Hodge猜想n Birch等 猜想n Naiver Stokes 方程组3维光滑解的存在n 杨振宁-Mills场质量间隙的存在数学需要实践检验！n有效性：信息论、控制论、计算机方案设计。 冯 诺依曼放弃纯粹数学研究， 投身应用数学n 深刻性：揭示客观世界的规律！黎曼几何， 杨-Mills场，陈省身-西蒙斯理论n 美学价值：公认的科学价值。 费马定理的证明。n 创新需要时间的检验。 康托的集合论。 模糊数学的价值（数学的里程碑？）3。数学美的通俗认识（一）n 壮观的描述： 三体问题n 有效的手段。 王选的数据压缩。n 和谐的规律。 公式ei + 1 =0.n 奇特的

21、证明。 素数无限多的证明。n 绚丽的变化。 分形演示n 艺术的图案。 Esher 的画数学画n 俄罗斯数学家俄罗斯数学家 佛明科佛明科作品作品随机过程随机过程爱舍儿的画n另外的世界另外的世界3。 数学美的通俗认识（二）n1。 美观。 1/2+ 1/3 = 2/5 ？ （和谐的天性）n2。 美好。 （a+b)2 = a 2+ b2 (2ab) 二次方程求根公式， 丑陋但美好。n 3。美妙。 三条高交于一点。妙！ 辅助线， 代换， 变形， 对人的冲击。n 4。完美。 数学的体系。 数学的发展， 人类的数学追求。4。儒家文化与中国数学n 数学在儒家学说中没有地位。数学家 不受重视。n 中国传统数学缺

22、少逻辑论证。思辨的理性精神， 不如古希腊。n 儒家文化是演绎的。 中国传统数学也是演绎的。只是：缺乏 形式逻辑的演绎！形式逻辑的演绎！n 中国中小学数学课程的中国中小学数学课程的逻辑逻辑要求远超西方要求远超西方宋明以后的儒学不再 面对原始问题n 孔孟经典 不可动摇的公理n朱熹的注疏 必须遵循的定理和推论n读书人的文章 不过做一个练习而已n八股文： 按朱熹老夫子的标准答案做“学答” - - 美其名“代圣贤立言” n n 清 戴震（1722-1777）考据学派对科学的影响n 文字狱使读书人回避“原始问题”n 在“故纸堆”中考据、训诂， 重证据、重演绎， 接近西方的逻辑推理。n儒家文化 - 宏观上的

23、演绎系统n考据文化 - 微观上的演绎方法考据学派的地位n 梁启超： “中国旧学， 考据、掌故、词章为三大宗”。 考据列在第一位。n 清代学术之特色为考据学。明清一代学术走的是， 从反义理， 重训诂，到独尊考据， 再到兼重义理的道路。n 清末民初， 中西文化屡有冲突， 但考据文化和西方科学一直相安无事。梁启超谈考据文化n自清代考据学派200年之训练， 成为一种遗传。 我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。 此种精神实为科学成立之基本要素。我国对于形的科学（数理）， 渊源本远。 用其遗传上极优异之科学头脑， 将来必可成为全世界第一等之科学国民 （清代学术概论）n 考据遗传 = 科学头脑胡适与考据 （周昌龙

24、：戴东原哲学与胡适的知识主义。 汉学研究 12卷1期n 1910年， 参加庚款考试。 发觉做学问要从十三经注疏开始。n 留美期间， 熟悉西方科学的同时， 完成诗言字解尔汝篇吾我篇诸子不出于王官论。n 回国后继续整理国故从事红楼梦考证以及“三国”“水浒”等考证研究。n 考据影子：“大胆假设， 小心求证”。胡适：戴东原哲学（1922）n 中国旧有的哲学，只有清代的“朴学”确有科学精神。n 这个时代是一个考证学昌明的时代， 是一个科学的时代。戴氏是一个科学家， 他长于算学， 精于考据。 他的治学方法最精密， 故能用这个时代的科学精神到哲学上去。 它的哲学是科学精神的哲学。 胡适文存3集卷2考据学派与

25、中国传统数学n 戴震编修四库全书， 校订九章算术算经十书等。n 乾嘉考据学派的另一代表人物是钱大昕。他的弟子有 李锐（1769 - 1817） 汪莱（1768-1894） 焦循（1764-1849） 罗士琳（1789-1817）n 他们努力使算学从经学的负数地位解放出来。训诂与数学n阮元（1764-1848） 经学大师兼数学家。 畴人传 - 中国第一部算学家传记n 李善兰（1811-1882）。 清末中国数学的代表人物：“词章、训诂之学虽皆涉猎， 然好之终不及算学”。n 古典数学为乾嘉学派所重视（钱宝琮）n 近来200年间， “小学”、“算学”是同时长进的 。（章太炎）考据与现代数学n 考据学

26、派奉行“复古主义”， 主张“西学中源”。 终于没有走向现代数学。n 考据必须使用逻辑。 例如要“考据传綦即八大山人， 先证明“八大山人”就是“个山”， 而 “个山”即“传綦”。 这里用了“甲是乙， 乙是丙， 于是甲是丙”的逻辑上的“传递性”原理。（洪万生、刘钝）n “历代学者仅以训诂当名学。 殊不知名学义大而经， 训诂义小而粗。”（刘鼎和。19184月29日北京大学日刊） “数学 = 逻辑”的文化渊源n 数学有两个侧面: 创造思考与逻辑证明n 中国提法：数学能力是基本运算能力， 空间想象能力， 逻辑思维能力（核心）。n 但是， “数学不等于逻辑”。n 逻辑是数学家得以保持健康的卫生规则。（大数

27、学家H。外耳语）n 极而言之， 我觉得数学和逻辑没有什么关系 （日本著名数学家小平邦彦） 考据文化对数学的正反作用n 中国传统文化对西方数学是否包容？（郑毓信）n考据文化将数学的逻辑层面进行同化, 成为中国现代数学教学的核心思想.n 同样, 考据文化和演绎式的儒家文化,将创新性 的数学思维方式进行过滤, 没有很好吸收溶入.n 适度强调逻辑，适度强调逻辑， 提倡数学创造。提倡数学创造。5。 推测数学能否允许存在？n 1993年美国哈佛大学教授A. Jaffe 和弗吉尼亚大学教授 A.Quinn 发表文章。n 物理学的分工：理论物理学家提出猜想和推测， 实验物理学家进行验证。n 数学家却必须把提出

28、猜想和进行证明全部承担。n 将来的数学是否可以由一些数学家进行猜测， 推想， 探讨。 另外一些数学家进行证明？各方反映n 英国皇家学会会长M. Atuiyh 表示赞同。 他的老师 提出“几何大纲”， 证明不够， 由他补正。n 美国代数学家 S MacLane 反对， 证明万岁！n 分形理论的创立者 B. Mandelbroit 说， 现在数学的清规戒律太多， 警察太多。 庞加莱很多原创的思想， 证明不严密。如果“警察”禁止， 数学的损失太大了 庞卡莱受毕卡(Picard) 的制约， 没有在巴黎大学上过数学课程， 因为不严格。突变理论创立者R. Thomn 严格性是一个拉丁名词， 让人想起“僵尸

29、”。n数学分为三类： （1） 婴儿为标记。 正在成长允许修改。 （2） 以十字架为标记。 已经证明， 永远不朽。 （3） 以教堂为标记。 由高级教士组成， 专门评论数学论文应该属于那一类， 价值如何。姜伯驹的讲话 1995.n“数学往往是最后取胜的法宝。 数学用得好， 你就赢了”n “数学在20世纪下半叶有很大的发展， 其中最大的发展是应用。 跟第二次世界大战以前不一样， 现在到处在用数学， 更多的地方在试图用数学。 因此， 数学系、数学专业起什么作用？ 如果还是培养数学家、数学教授， 就业的情况摆在哪儿， 社会的需求量不是很大。 数学系是毕业生， 相当多的人， 甚至多一半的人， 要到其他行业

30、里去起作用。”（引自中国数学会通讯1996年第九期）前国际数学家联盟主席Mumford答记者问 1995一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。数学家之间的思想交流。 在在19世纪，世纪， 你你可以看到大多数的数学家都是一身二任的。可以看到大多数的数学家都是一身二任的。 例如傅立叶（例如傅立叶（Fourier）发现和研究级数，）发现和研究级数， 就是受了应用的刺激。但以后发生了分隔，就是受了应用的刺激。但以后发生了分隔， 尤其在美国。尤其在美国。 . 对科学的投资对科学的投资, 将不将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数学研究至于简单地化很多钱去

31、搞纯粹数学研究, 而是相反而是相反, 应当引向一个共同目标应当引向一个共同目标, 使得使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发纯粹数学研究人员能在应用中受到启发, 运用他们的理论思维更有效地解决实际问运用他们的理论思维更有效地解决实际问题题” (引自引自1996年第年第3期期)第四部分n 文化数学的案例文化数学的案例案例1 丘成桐谈史记n 华人唯一的费尔兹奖章获得者。n 8月20日早上中央电视台东方时空的“东方之子”栏目 （方静采访）n “我读史记象欣赏歌剧， 一幕幕地展开。”n 华彩乐章如：高山仰止， 景行景止。n 历史是宏观的。 学习历史会使人用宏观观点考察事物。 我提出的数学想法往往和别人

32、的不一样， 就是得力于史记例2。数学与文学：对称与对仗n 对称是变换以后的不变性质n x2 + y2 是对称多项式 （ x -y, y -x)n 明月松间照，明月松间照， 清泉石上流清泉石上流。n 上联变成下联：但是许多是不变的n 明月 - 清泉 自然景物不变n 明-清（形容词）； 月-泉 （名词）n 变中有不变。变中有不变。 道理是一样的！道理是一样的！例3 数学与语言n不管三七二十一”（乘法口诀）n“三下二除五就解决了”（算盘口诀）。n“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”。 但是， 这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。n“指数爆炸”、

33、“直线上升”等等已经进入我们的日常语言。 它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题）， 例4 数学和伦理n。 西方学者作过十分认真的尝试。 一个例子是， 两个人每人有1，000元， 从其中一个人那里拿500元给另外一个人。 这一行动所产生的快乐比痛苦少， 因为得到的人的财富只增加了1/3， 而失去者的损失是1/2。7例5。数学和日常生活n“方程”的思想， 说穿了不过是“拉关系“n 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。 n朴素的思想， 正是一种文化现象。例例6张恭庆院士的问题张恭庆院士的问题n一条毛巾平摊着， 有东西向、

34、南北向、有东西向、南北向、以及上下共三组以及上下共三组6个方向，个方向， 那么是否可那么是否可能作一个运动使得这三组的两个方向恰能作一个运动使得这三组的两个方向恰好调换位置好调换位置？答案是不可能。一个“右手系”无论怎样“旋转、平移、翻折”都不可能变成“左手系”。 中学里有那中学里有那么多的立体几何难题，么多的立体几何难题， 却很少触及这样却很少触及这样简单又有巨大数学内涵的观察与思考简单又有巨大数学内涵的观察与思考。 奥林匹克数学竞赛也不处理此类问题。例7史树中教授的问题n有一笔赌金， 甲、乙两人竞赌， 输赢的概率各为1/2， 以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中， 因故突然终止

35、。 此时， 甲赢了4局， 乙赢了3局。 问这笔赌金该如何分配才合理？n 4/7 和和 3/7 比较合理比较合理 ？麻将为什么不能产生概率论？n答案是：假设再进行一局，若甲胜（概率1/2）可得全部的1份赌金。 若乙胜（概率也是1/2）， 则大家各胜4局， 应当平分， 甲得1/2。 总之， 甲可得 （1/2） 1 + （1/2）（1/2） = 3/4。 n 我的思考是， 中国是一个缺乏概率思考的国家。传统文化中缺乏随机数学的因素， 公众中应当尽快补上这一课。（例（例8）（荷兰）甲离学校）（荷兰）甲离学校10公里，公里， 乙离甲乙离甲3公里，公里， 问乙离学校几公里？问乙离学校几公里？n 训练学生的

36、表示能力。n甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。n 校 乙 甲 乙 余弦定理。坐标。参数。复数。空间（例9）公说公有理， 婆说婆有理。 香港某厂 业绩 年份 90 91 92股东红利 5万 7。5万 10万工资总额 10万 12。5万 15万 90 91 9215 10 590 91 92200%150%100%老板所画工会主席所画（例10）正三角形的案例n 美国北卡三个分校， 位于正三角形的三个顶点。要建设校内网。n 贝尔电话公司收费标准：两边长 2。n 在北卡三校的中心（荒漠）， 要求装电话。因为按收费标准为 31/2n “连接正三角形三点的方法， 有多少种？距离多少？n 中国青年数学家堵

37、丁柱证明 2：31/2 是极限。（例11）门后的车n 1 2 3n 任选一门 （例如 1 号）； 主持人打开无车的门（3号）n 是否要换2 号？n 应该换。 因为车在1号门的概率是1/3， 而在2、3号门的概率是2/3。 既然3号门无车，在2号门的概率是2/3。n 考虑100扇门的情形， 当主持人打开3-100扇无车的门， 你是否觉得车在2号门的概率很大很大呢？ （案例12）苏联 的一道空间想象题n四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数?n 解：顶点数：23 =16。n 棱数：（16 4）/2 = 32n 二维面：（16 C42）/4 = 24n 三维面： （16 C4

38、3 ）/8 = 8n 四维面： 1n 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1（例13）分苹果问题（推广）n 某A在果园摘了一堆苹果， 把它的一半加半个给第一个看门人， 又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。 那时只剩下两个苹果了。 问原来有几个苹果？n 两个因子： 剩下的苹果数，看门人个数n 思辨： 看门人比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果n 1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；.n 2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96；n 3,4; 7,8;15,16； 31， 32； 63，64；127，128

39、n 一半加一个？一般加两个？ （例14）X大王名裂上海南京路（1999）n溜溜球（25元/只). 溜溜蛋卷（1.5/包)n每包蛋卷中有一张卡片, 分红,白,绿,黄蓝五种花色. 集齐5种花色卡片, 可以换溜溜球一只.n 如5种卡片投放的概率为 P1, P2 P3 P4 P5,n 中獎率為 (P1, P2 P3 P4 P5 ) x 5!n P1 = P2 = P3 = P4= P5 =(1/5) 时最大.(0.04)n 实际 红色仅为 1/100. 记者披露H后, x大王名裂出南京路. 例15 投票的数学n 5种投票法: 1. 简单多数 2. 最高两人选一. .3. 一票赞成, 一票否定. 4.

40、赞成投票法. 5. 排序打分法. 6. 奥运投票法n 实力指标 1972加拿大选举n自由(109);保守党(107) 新民主党(31);其他(17) 总计264n51;28,24,24 51;26,26,2651,40,25,20,15n 选举实力指标分析（案例16）数据误导n 班平均分为76分. 我得到78分在班上属中上水平. 全班30人, 数学成绩为5个90分, 22个80分, 一个78分以及2分和10分. 算得 平均数 76.67. 78分者平均分以上, 倒数第三.n 据校友问卷调查, 1924年耶鲁大学毕业生的年收入为25111美圆.n 1936年美国总统大选, 电话调查兰登将高票当选, 结果罗斯福胜出. （例17）仙农(Shannon)研究信息论n 一.信息量 烽火台. 传送一个信息量 log2 2 =1. 两个烽火台. 1. 敌人来? 2.要否补给? 四种情况. log2 4 =2. 信息是 0,1 符号串.n 二 . 概率和信息量: “狗咬人” “人咬狗”. “今天