专题圆锥曲线(高三数学第二轮复习专题讲座)

1、精品文档数学专题复习系列圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨 迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线 的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=O,则点P(xo,y。)在曲线C .Ef(Xo, y o) =0；点 PoGo, y0)不在曲线 C 上Of (x0, y0) *0两条曲线的交点 若曲线G, C2的方程分别为E(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 fi

2、(x0, yo)=O点Po Go, y。)是G, G的文点f 2y0) =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有 实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：M | I OM |寸,其中定点。为圆心，定长r为半径.圆的方程(1)标准方程圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a) 2+ (y-b)?圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是一般方程当D2+E2-4FO时，一元二次方程a/D2+E2-4F.配方,将方x2+y2+Dx+Ey+F=0D F 叫做圆的一般方程，圆心为半径是 22程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为/ 。、2 / E、? D2+E2-4F%)

3、5)三一-当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点当D?+E2-4FV()时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y。)，则I MG I VrO点M在圆C内，I MC | =rO点M在圆C上，I MC I r 0点M在圆C内，其中 I MC I =-/(x0 -a) +(y0 - b) .(3)直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种住置关系直线与圆相交O有两个公共点直线与圆相切 有一个公共点直线与圆相离O没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(i i)利用圆心C(a, b)到直线Ax+By+C=0的距离卞性39与半径r的 J

4、T+炉大小关系来判定.3 .椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.曲桶V双曲线抛物线轨迹条件点集:(M | | MFi |点集Ml I MF | =点M到直线1的距 离.点集：M1 1 MF1 |+ 1 MF2 |=2a, 1 F-1 MF2 1 =2a, |F2F2 1 2a).Bl bCT 卜0)?211-21 =1 (a0,ba2 b-0)y2=2px (p0)顶点Ai (-a, 0), A2 (a, 0);Bi(0,-b),B2(0, b)AN0,-a),A2(0, a)0 (0, 0)轴对称轴x=0, y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0, y=0实轴长：2

5、a虚轴长：2b对称轴y=焦点Fi (-c, 0),F2(c, 0)焦点在长轴上Fi(-c, 0),F2(c, 0)焦点在实轴上F(y, 0)焦点对称轴上焦距1 FR 1 =2c,c=Va2 -b21 FR 1 =2c,c=Va2 +b2准线X二士C准线垂直于长轴，且 在椭圆外.x= c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.X=-2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e= , 0e1 ae=14 .圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x, y)到一个定点F(c, 0)的距离与到不通过这个定点的一 条定直线I的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为

6、焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率.当0VeV1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e1时，轨迹为双曲线5 .坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或 坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大 小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这 种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x, y),在新坐标系x O y中的坐标是(x ,y).设新坐标系的原点0 在原坐标系xOy中的坐标是(h

7、, k),则Jx=x, +h/x=x-hI1(1)或y=yz +k/ =y-k公式或叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h, k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h, k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦点焦线对称轴椭圆(x-?2 十(y-y： a2b2(c+h, k),a2 x= +h cx=hy=k(X - h)2 + (y-k)2 b2a2=1(h, c+k).cr , y= +k cx=hy=k双曲线(x-h)2_(y-k)2_i a2h2(c+h, k),cr , =+k cx=hy=k(y-k)2_(x-h)2 a1b(h, c+h),cr . y= +k cx=hy=k抛物线(y-k

8、) 2=2p (x-h)(/ h,k)x=- -+h 2y=k(y-k) 2=-2p (x-h)(-2 k)x= +h 2y=k(x-h) 2=2p (y-k)(h, 1+k)y小x=h(x-h) 2=-2p (y-k)(h, +k) 2y= +k 2x=h二、知识点、能力点提示（一）曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化 简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条 件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无 交点，会求曲线的交点坐标.三.考纲中对圆锥曲线的要求：考试

9、内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.桶圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求:.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方 程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4) 了解圆锥曲线的初步应用。四.对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题，1个填空题，1个解答题)，共计 22分左右，考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本，突出重点, 全面考查.选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概

10、念和性质为主，难度在 中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学 生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥 曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查 直线与圆锥曲线的位置关系，往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重 视。求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形 结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这 类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对 称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类

11、问题 常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量” 的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的 焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为嬴+=1 (加0, /70).定量一由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程 得到量的大小.【例题】【例1】 双曲线二-E=1(6N)的两个焦点石、,，为双曲线上一点， 4 b1阴V5, |桁|, |石|, |所|成等比数列，则庐.解：设打(- c,0)、E(c,0)、PG, S,则I为十|网(iPOr+l石01)2(52+?2),

12、即I为+|吒12V50+24又|T+|附三(|小|一|闲)42|历|闲, 依双曲线定义，有|所|一|屈1=4,依已知条件有1Ml I所|=|石 16+8c50+2c, :. cy,又 v 3=4+6 v -, :.t2)2+6-1)2=子，椭圆G的方程为设A（X|, ）,8（4,力）由圆心为（2,1）.二须 +% = 4, Vi +乃=2.2 2-2 zA22，W9n=2 1 -2y- +21产X2hI两式相减，得正二4+匚五=0. 2b- 加(3 +.2)(X| -%2)+ 2(M +丫2)(1 一%)=。，又占+ Xy = 4 乃+卢=2 .得=1.所一通二直线A6的方程为y-l = -(

13、.r-2).即.V = -x+3，2将y = -x + 3代入二+二=1.得2b2 h23x2-I2a + 18-2/72 =0.v直线48与椭圆C2相交二 = 2助2 72 。由 AB = Jlxx -x2| = y/2-l（xi +.r2）2 -4XjX2 =小4.得万牢L牌解得 庐=8.故所有椭圆方程寸+ E = 1.168【例3】 过点（1, 0）的直线/与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 斗的椭圆C相交于4 8两点，直线片;x过线段他的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线/对称，试求直线/与椭圆。的方程.解法一：由左 =史，得匚上,，从而上2瓦6。.O 20，2设椭圆方程为

14、+2/=2优4（%,丛），BU,刃在椭圆上.右焦点9 0）关于/的对称点设为（V ,/ ）,x-bvr x + b=-4-1122解得一y = 1 -/?由点（1,1 -6）在椭圆上，得1+2（1 6）三2从=2/2=2168,所求椭圆。的方程为 哈+9产=1, /的方程为尸一*/?0）（l） 一 lr直线/不平行于V轴，否则思中点在X轴上与直线y =白过A6中点矛盾。故可设直线/的方程为）=A* -1）代入消y整理得：（A，？ +/r）x2 -2k2a2xa2k2 -a2h2 =0（3）2k2 a2切（孙 乃）8（心，2），知：司+小=7；-7Tk-（r +炉又i +乃=k（M +.0）一

15、2攵代入上式得:实用文档2k 1，k2a2+b2 1=一,:2k = 一X| +x2 22ky 2h2=也二匚=-2 + 2/=-1 ,，直线/的方程为y = l-刀， Q-此时a? =2h 方程(3)化为3x? -4.V + 2-2Z?2 =0, A = 16-24(I-/?2) = 8(3/?2-1) 0：.bt椭圆C的方程可写成：公+2引=加2（4）, y,c2=a2-b2=b2,右焦点FSQ）,设点F关于直线/的对称点（与，凡），人=1Xa -b. ,f =工0 7, o =1一yo xq +h12又点（1,1 一）在椭圆上，代入（4）得：1 + 2（1-）=%2,43/ 9：.lr

16、= 16，9 cr =-8所以所求的椭圆方程为:，7厂 厂 += 199816【例4】 如图，已知目例的面积为三，。为线段月E的一个三等分点,4求以直线%仍为渐近线且过点,的离心率为半的双曲线方程.解：以0为原点，NA0R的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为-二1 （a00）a- b-2 C . b 2由六二= 1 + (一厂= er a2 殍_ 3， n - 2两渐近线俯、小方程分别为产jx和产一 gx设点A（x,3用），生（照，12）a0,及0）,则由点P分质所成的比为二空=2, PP?得一点坐标为（”如,丝也）， 32又点，在双曲线二n上，9。-所以 5 + 2勺厂

17、（A-l -2x2） 9a29a2即（x+2盟）2- （%-2均）2=9，整理得8%后9,又 ICQxJxJ+xJ =劣内，1001=,q2+*22 =W上2x3s*”，=2ta“0=上1 + tan POx J? 13411 n I? 27”不* 由 PO2=相/ 21r 亍即XXr g 由、得才=4,6=9故双曲线方程为七-E二i.49【例5】 过椭圆C:=+二= im00）上一动点P引圆0：4+/=6的4一 -0所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：设4(乂，乂)，Bx19%) 切线”： AjX+yjy = /?2, P8: x2A + y2y = /

18、?2VP 点在切线 PA、P8上，x/o+ 丁1为=b?.巧玉)+ 2)0 =b， 直线 AB 的方程为 AoX4-yoy = /72(xoyo hO)y。在直线四方程中，令*0,则11(匕，0);令后0，则N(0,)b-IOM I2 ONV 2炉8/,后4代入得a =25, S =16.椭圆C方程：工+二=13工0)(注：不剔除处手0,可不扣分)25 16(3)假设存在点P(而 满足P4LP8,连接04、08由|P/|=|P8|知,四边形P4)8为正方形，|OP|=VT 0A芯+=2/由知徐展沪岛总y又TP点在椭圆C上 ,a2xl +户4=a2h2V ab0：.a 一分0(1)当/-280,

19、即金6时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直;(2)当了一260,即伏瓠/6时，椭圆C上不存在满足条件的P点【例6】 已知椭圆C的焦点是E (VI, 0)、F2 (V3 , 0),点R到相应的准线的距离为空，过F2点且倾斜角为锐角的直线/与椭圆C交于A、B 两点，使得|F2B|二3|F2Al.(1)求椭圆C的方程；(2)求直线/的方程.解：(1)依题意，椭圆中心为0 (0, 0), c = M点E到相应准线的距离为 =6一=色、逐=1, c3养6+%+3=4；所求椭圆方程为工+-=4(2)设椭圆的右准线厂与/交于点P,AN/垂足分别为M、N.由椭圆第二定义，I Ar |得一- = e

20、=l AE = e AM AM I同理 |BFz|=e|BN|由 RtAPAM-RtAPBN,得 I PAL 48 1= 2 I A A 1= 2e I AM I 9 分 2-二 cos ZPAM = =、=色=/的斜率% =tanZ.PAM =品.1 PA I 2e Ji 32 x -2；直线 I 的方程 y =、5(x-、& RPV2x-y-6 =0【例7】 已知点B (-1, 0), C (1, 0), P是平面上一动点，且满足PC BC=PB CB.(1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点A (m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且ADAE,判断：直线DE是否过定

21、点？试证明你的结论.(3)已知点A (m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD, AE,且AD,AE的斜率左、儿满足% 儿=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：(1)设P(x, y)代入I正I . I前l=而在得- 1)2 + ，2 =1 + 乂化简得),2 = 4 T(2)将4(也2)代入/ = 4入得 ? = 1,. .点A的坐标为(12).设直线4。的方程为y - 2 =-1)代入产=4x,y2-y + -4 = 0,k k444由= 2可得力=7 - 2,.二 O(f +1, 丁一 2).-kMk同理可设直线AE: y-2 = - (J-1).代入v? = 得E(4A2

22、 +1,一4k -2).k4+ 4k则直线OE方程为：y +奴+ 2 = J (x-4k 2 -1),化简得k? -4k2(y + 2) + Z(x-5)-(y + 2) = 0,即 y + 2 = - -4(X - 5),过定点(5,-2).将4八2)代入)；=4x得， =1,设直线DE的方程为)，=kx + b. D( a,力).E(xh yi)ll J V7 6 卡b得卜?/ + 2(kb -2)x + 庐=o.、广=4x Jy 2 y,), kAD fAE = 2,-7-= 2(q*2 * D，X| - 1 X2 - 1且力=kx、+, 丫2 =收2 +b/. (k2 -2)A|.2

23、+(心2A + 2)(X + x2) + (/?-2)2 - 2 = 0,将M + x2 = TNT.勺心=代入化简得=(女 - 2)2,二 =士伏一2).:.b = (k - 2).将。=k一2代入)，=h+。得,，=云+4-2 =。+ 1) 2,过定点(一1,-2).将 b = 2 - A代入 y = kx + 得 y = h + 2 - k = A(x -1) + 2,过定点(1,2),不合,舍去，/.定点为(-1,-2)【例8】 已知曲线=-=1(0力0)的离心率？= 2，直线/过A (a, 片 lr30)、B (0, -b)两点，原点0到/的距离是?(I)求双曲线的方程;(II)过点

24、B作直线m交双曲线于M、N两点，若丽丽=-23,求直线m的方程.解：(I )依题意，/方程雪上=1,即历一g= = O,由原点。到/的距离 a 一为亘，得 ab _ab_ 又。= =更:.b = l,a =后24。243故所求双曲线方程为二=1 3 -(II )显然直线m不与“轴垂直，设m方程为产kx1,则点M、N坐标(K,y )、(当，力)是方程组2的解一|X 2.,)=113，消去匕得(1-3公)/+6公-6 = 0依设，1-3心声0.由根与系数关系，知$+& =6k,.x.x,=； 3KT - 3M TOM ON = (x1, %) (&，%)= XX2 + XX = xix2 + (&

25、N - 1)伏& -1)=(1 + K k(X + x?) +1 = ON =-23二一+ 1=23, k=-36_12当k=L时，方程有两个不等的实数根 2故直线/方程为”先7,或八一夫一1【例9】已知动点尸与双曲4-的两个焦点八F速距离之和为定值，且cos|PF2的最小值为(1)求动点尸的轨迹方程；0 ,得 k?喘.再设 M (%1 , y 1 ), N ( X 2 , y 2),则一方面有DM =刀,yj - 3)=入 DN = A(x2 , 2 - 3) = (Ar2, My2 - 3),得Xj = Ax2y -3 = A(y2-3)另一方面有54k4 + 9小MM =454 + 91

26、将M = Ar?代入式并消去*2可得蒜哈+ 9,由前面知，。哈冷 c3242 .81 A0 夕看1 .女 9 ,解得-2 5.5(1 +义广 55又当直线m的斜率不存在时，不难验证：义=上或2=5, 5所以/4/145为所求。方法二：同上得x = Aa2y - 3 = A(y2-3)设点 M (3cos a , 2s in a), N (3cos 3,2si n 3)则有 JcosacosA2sin a- 3 = 2(2sin A -3)由上式消去a并整理得n 13/i_ _18X + 5 +工 i/ q 八sin B =, 由于一1 sin B 112(22-z)凹5解得2 60), G的离

27、心率为它如果G与G相交于4 B c b-2两点，且线段恰为圆G的直径，求直线段的方程和椭圆G的方程.参考答案一、1.解析：将直线方程变为小32匕代入圆的方程/+/+* 6齐”0,得(32必、/+ (32y)+/?r0.整理得5720八12+m0,设PG、,M)、。(岛内如J必先=三竺，M+%二4，又、。在直线片32V上，入用二(32丛)(32%)=4M6(必+/)+9故=5%先一6 (丛+必)+9=/7r-3=0,故加=3.答案：A2.解析：由题意，可设桶圆方程为：E + 1 =1,且 及=50+从 q- b-即方程为上丁+4=1 50 + /7- b-将直线3kL2=0代入，整理成关于x的二

28、次方程.由木十斤1可求得住25, A75.答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为6(1,0),(1,0),2户|月川+ |所欲使2a最小，只需在直线/上找一点总使|所| + |所|最小，利用对称性可解.4.解析：设所求圆的方程为（L给2+（y-S）J/则有(4 - 4)2 +(2 )2 =r2 (-1 -ri)2 +(3 8=r2 a2 +(2坏产=r2=1a = 1h = 0或产=13a = 3b = 4r2 =27由此可写所求圆的方程.答案：-2X12=0 或，+/10%8八4=0三、5.解：I 炳M尸Kc, I 炳mi尸一C,则（Kc） QC）二3一3二6,2=4,设椭圆方程为W +或=

29、1 （T 4设过和做的直线方程为尸一户用将代入得：（4+），-23/加+才“一4养0设*(用,M)、照(也的)，腐%的中点为(, K),OJ 一 1/.一 .4/7J则 Ab- (m+m), %)+加324 +。-4 +。代人尸局得与=工，4 + 4 +。由于 a24, A/tfO, /.由知 m+m=0, xm=- 4.4 +。-又I怒网1=拒向+ 工2尸 -4a1x2 =上7，代入汨也可解养5,故所求椭圆方程为：4.22 =1. 546 .解：以拱顶为原点，水平线为*轴，建立坐标系，如图，由题意知，|48|=20, |刎=4, 4 8坐标分别为（-10, 4）、（10,-4）设抛物线方程为

30、，=一2必将A点坐标代入，得100二一2X （4）,解得斤 12.5,于是抛物线方程为V=-25y.由题意知点坐标为（2, -4）, F点横坐标也为2,将2代入得y=-0.16, 从而|即|二（一0.16） 一（一4）=3.84.故最长支柱长应为3. 84米.7 .解：由左立，可设椭圆方程为二十 二1, 22b2 b2又设 AG,必）、ff（x2f y）,则 *+*2=4,%+斤2,又上+ = i，M +4二1,两式相减，得 + 21=0, 21r 1/21/ I尸21r 1厂即（%+照）（*均+2（丛+为）（%=0.化筒得旦二21二 1,故直线AB的方程为尸一/3, 一一必代入椭圆方程得3/

31、一 12/182=0.有，=246720,又|48| =历+勺）2 -知=、怦得&.泮产=楞,解得6=8.故所求椭圆方程为二十工二1.168直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现， 主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突 出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求 考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”， 有利于选拔的功能.1 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方 程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论

32、和 数形结合的思想方法.2 .当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计 算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求， 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘 题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例1】已知椭圆的中心在坐标原点。焦点在坐标轴上，直线尸户19与椭圆交于?和a aopioq,仍。I二片，求椭圆方程.解：设椭圆方程为 病+n/=1 50, 0), P(x, m) , Q(xz,由！、 、得(小)X+2/7A+/71=0,1r十 厂=1A=4rf4(mn) (/?1) 0,即 m

33、nmnQ9 由OP1OQ,航旗用为+%先=0,即2MM+(用+均)+仁0,*卫於一 3_+k0/左2 m + m - n又之4(血+ - ?)二(无2 m + 293将*rr=2,代入得m 后二 4由、式得斤：，户：或脐 故椭圆方程为千十浮=1或浮+“=1.倾斜角叼的直线/与线段以相交(不经过点。或点【例2】 如图所示，抛物线=4x的顶点为。点/的坐标为(5, 0),的方程，并求4碗的最大面积.且交抛物线于M N两点,求4W面积最大时直线/解：由题意，可设/的方程为产户他一5VZ0.由方程组；：，消去y，得出(2D田直线/与抛物线有两个不同交点从N,：.方程的判别式(2k4) 24/=16(1

34、 一面0,解得加V1,又一5V/77V0, m的范围为(一5, 0)设 Mx, M), N(x& 力则 *+X2=42矶 X 必二成| 掰=4j2(l-?).点力到直线/的距离为小胃.:.必二2 (5+而、不了,从而S=4 (1 一(5+而2=2(2 2加 (5+/W)(5+/71 2 ( 2-2/n + SH-/H + s + /n) 3=128.&W8&,当且仅当22*5+加,即*一1时取等号.故直线/的方程为产x-1, 4W的最大面积为8拉.【例3】 已知双曲线C: 24一夕=2与点P(1, 2)。 求过，(1, 2)点的直线/的斜率取值范围，使/与。分别有一个交点，两,个交点，没有交点

35、。(2)若0(1, 1),试判断以。为中 )。(字点的弦是否存在.解：(1)当直线/的斜率不存在时，/的方程为片1,与曲线C有一个交点.当/的斜率存在时，设直线/的方程为y-2=(4一1), 代入C的方程，并整理得（2冷 4+2 （- 2Q x-N+40（i ）当2:0,即依土血时，方程。有一个根，/与。有一个交点（ii）当2不0,即学士及时A- 2（-2外2一取2一）（一+4-6）二16（3-2Q当/二0,即32依0,始;时，方程。有一个实根，/与。有一个交点.当力0,即V；,又上#土应，故当k）=0（X手用）22 A）- x2将士坦=与=4,212_ =），0,上二也=-1（手0）代入上式

36、，得9X4+25必（一22 内-x2 k1）=oK（件0）即依三战（当依0时也成立）.36由点P（4,%）在弦4?的垂直平分线上，得垢=4A+风所以始必-44=%-y %=- y y0.由点（4,%）在线段的 （7与8关于x轴对称）的内部，组1616得V必V，所以Vzrr0,即：4合一炉从+0 仕W0).(*)匕 匕0 7/ 1 又线段恰被直线l=平分，所以，=2x .24K+1 2)“ ”, 4k +1所以，bk =精品文档代入（*）可解得：事攵3/533 u 八所以，- ni 且？ W 0 .44从以上解题过程来看，求？的取值范围，主要有两个关键步寐：一是寻求加 与其它参数之间的关系，二是

37、构造一个有关参量的不等式.从这两点出发，我 们可以得到下面的另一种解法:解法二.设弦 制的中点为尸-,y0 ,则由点M,N为椭圆上的点，可知:、2/4靖+,=44xJ + yj = 4 .两式相减得：4（彻_4）（/ +/） + （加一%）（加+珈）=0R1I又点P -5，)，0在弦的的垂直平分线上，所以，%= %+?.2/213所以,7 =九+大女=：% 24由点尸-；，先 在线段BB上(B、B为直线x =-,与椭圆的交点，如图),2/2所以，Xr )o 35/3 口所以， m 0)的焦点为尸，经过点尸的直线与抛物线交于4 8两点.又“是其准线上一点.试证：直线M、MF、出的斜率成等差数列.

38、证明 依题意直线题4、肛 伤的斜率显然存在，并分别设为占，k293点、4 B、制的坐标分别为4 (玉，片)，B (x2, y2 ),“m)由“46过点尸（90）”得 lAB: x = + 1将上式代入抛物线y2 =2px中得：y2 -Ipty- p2 =0可知 y ）？=一工 又依y J = 2Pxi 及 y22 = 2Px2 ” 可知p yr p 1,2、X+l- =，+L = 一(y +p-) 12 2P 2 2p7 =五+2=上一上=j/+2)-2 2P 2 2p娟 22)，/ m up .为一机y2 -m因此 A + 八=!+ -.PPx +-必+彳-22m、 2y/(一m)=+p(y

39、/+pb p(y/+，)而上J 故尤+a=2%3 即直线小、MF、船的斜率成等差数列.【例8】 已知 =(X, 0),，= (1, y) (a + y/3b)l(u - y/3b)(1)求点P(x, y)的轨迹C的方程；(2)若直线/: y=kx+m(km学0)与曲线C交于A、B两端，D(0, 1),且有|AD| = |BDL试求m的取值范围。解：(1) a + y3h = (x,0) + 75(1, y) = (x + V5, V3y)a- y3b = (x,O) - V5(l, y) = (a-瓜-旧y)实用文档精品文档实用文档：.(Z + J3b) . 一 石5)=0(x + V3)(X

40、 - V3) + y/3y - (-V3y) = 0y-y2=l，P点的轨迹方程为二- / = 1 3y = kx+m(2)考虑方程组 I消去 y,得(isOxZ-GkmxBmZ-BRMlT-r=1显然1 - 3k2丰0= (6km) 2-4(-3m2-3)=12(m2+1) -3k20设x,用为方程*的两根，则占+为=二 1-3KM + X) 3km,m21-3P01-3P故AB中点M的坐标为(业I,亍)1-3右1-3K，线段AB的垂直平分线方程为：)，_二 = (_1)-*1一3&2k 1-3小将D(0, 1)坐标代入，化简得：4m=3k2-1故 m、k 满足! + 3人 0,消去 k?得：m240 4机=3H -1解得：水0或m45LV4m=3k2-1-1：.m-4故 m (- Lo)u (4,+oo) 4【直线与圆锥曲线练习】一、选择题1.斜率为1的直线/与椭圆二+必=1相交于A 8两点，则|彳8|的最大值4为(A. 2B.至C.处D.迎5552.抛物线尸&，与直线尸履”（手0）交于4、8两点，且此两点的横坐标分别为%1, x29直线与X轴交点的横坐标是A3,则恒有（）C. x+照+用=0B. XXFXX#XzX3D. *用+照Xj+xm产0二、填空题3 .已知两点肌1,）、（一4,给出下列