第一型线积分和面积分ppt课件

1、第第6节第一型线积分和面积分节第一型线积分和面积分第一型对弧长的曲线积分的计算第一型对弧长的曲线积分的计算第一型对面积的曲面积分的计算第一型对面积的曲面积分的计算( Line integrals and Surface integrals of the first type (or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ) 定理定理由第由第1节，节，1. 第一型曲线积分的定义：第一型曲线积分的定义：.ds其其中中叫叫做做弧弧长长元元素素2. 性质：性质：3. 可积

2、性：可积性：12max,ndsss ( )( , )cf x y ds ( )( , , ) zfydxs 01lim(,)niiiidif xy zs 01lim(,)niiidif x ys ( ,)( , )( )( ),( , ).cf xyf xy zcf x y ds （ ）当当在在光光滑滑曲曲线线弧弧或或上上连连续续时时 对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分存存在在与定积分类似与定积分类似( , , )f x y z ds （ ）（ ）注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(

3、),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数1. 对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分证证: :01 ,nttt 设设为为上上的的一一个个分分割割. .1, iiitts 相相应应曲曲线线有有一一分分割割，记记上上的的弧弧长长为为1, i

4、iitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由积分中值定理由积分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds 记记，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，连连续续22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可可积积)()()(),(22ttttf oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y注xdydsdxyo(2) (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(

5、22x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . (3)( , ),.f x yx y中中不不彼彼此此独独立立 而而是是相相互互有有关关的的(1). 定定积积分分的的下下限限 一一定定要要小小于于上上限限., 0 iits从而要求从而要求表示弧长，总是正的，表示弧长，总是正的，(4)对称性对称性 .平面曲线积分参照二重积分情况，平面曲线积分参照二重积分情况，空间曲线积分参照三重积分情况空间曲线积分参照三重积分情况._)432(, 13412222 dsyxxyayxll则则其其周周长长记记为为为为椭椭圆圆设设例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解1

6、2431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr .sin,cos),(22 drrrrfdsyxfL 推广推广: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf LdsyxI)(计计算算例例1解解.)(;)3 , 2()0 , 2()(;)0 , 2()0

7、, 0()(222的的上上半半圆圆周周是是之之间间的的直直线线段段与与是是之之间间的的直直线线段段与与是是RyxLiiiBALiiLi ()Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201xy dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx ( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20()(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 形形的的整整个个边边界界。第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇轴轴在

8、在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa 0,y 2:cos ,sinLxat yat dsdx dsadt 3:(02),Lyxxa 1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 解解 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr 1

9、:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求求其其中中 为为双双纽纽线线例例422cos2ra 例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解法一解法一由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 进一步进一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 解法二解法二得得代代入入将将2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2

10、sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 则则）（,)2(2232222222axzxazzxx 化为参数方程化为参数方程2203222co23s3Lx datadtsa 2. 几何与物理意义(1)( , ),x yL 当当表表示示的的线线密密度度时时( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱柱面面面面积积dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLAB

11、ab(4),xy曲曲线线弧弧对对 轴轴及及 轴轴的的转转动动惯惯量量2222( , ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参参数数方方程程为为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 .233 tdttttScos

12、sin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 例例2. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为cos,sin,xatyat (02 ),zktt (1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).22() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak (2) L的质量的质量dLms 222ak 而而dLxs 22aak 20cos dtt 0 (1)xyzOakdLys 22aak 20sindtt 0

13、 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故质心坐标为故质心坐标为( 0 , 0 ,)k 例例322222()()zLIxyxyz ds 解解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka ttaakak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z设螺旋线，设螺旋线，线密度，线密度，求（ ）关于 轴的转动惯量求（ ）关于 轴的转动惯量（ ）它的重心（ ）它的重心( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx

14、 y z dsxyzmmm 2222222 222022223 232220238( , , )(2)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk akakmak akzkaakk 2222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt

15、ak tk ttdtk tdtk ttt ak tktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 2222232222222( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 222002

16、22202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2ssin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 小结1 1、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算2 2、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 计计算算下下列列求求弧弧长长的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；练习题练习题 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 L