113角的平分线的性质1

1、1 1、在准备好的角上标好字母；、在准备好的角上标好字母；A,O,B, A,O,B, 。把角。把角AOBAOB对折，使得这个角的两边重合。对折，使得这个角的两边重合。2 2、在折痕（即平分线）上任意找一点、在折痕（即平分线）上任意找一点P P。作。作PDPD垂直与垂直与OAOA，垂足为，垂足为DD。3 3、过点、过点P P作作OBOB边的垂线边的垂线PEPE，垂足为，垂足为E E。做一做做一做问：点问：点D与点与点E重合吗？由此你可得到重合吗？由此你可得到什么结论？什么结论？ 按照做一做做一做的顺序画AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PD、PE ，并度量所画PD、PE是否等长？议一议：由此你可

2、得到什么猜想？议一议：由此你可得到什么猜想？画一画画一画同学甲、乙谁的画法是正确的?角平分线上的点到角的两边的角平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等 议一议：由做一做和画一画你可得到什议一议：由做一做和画一画你可得到什么猜想？么猜想？验证 结论已知已知: :如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它

3、们所在的OPDOPE，w角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .OCB1A2PDE能否用符号语言来翻译能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角角平分线上的点到角的两边的距离相等的两边的距离相等”这句话请填下表：这句话请填下表：PD=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E为为垂足垂足于是我们得角的平分线的性质：于是我们得角的平分线的性质： 在角的在角的平分线上的点到角的两边的距离相等平分线上的点到角的两边的距离相等到角的两边距离相等的点是到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？否在角的平分线上呢？议议 一一 议议根据下表中的图形和已知事项

4、，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：点P在AOB的平分线上 这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平到角的两边距离相等的点在角的平分线上。分线上。请同学们自己写出证明过程请同学们自己写出证明过程同学们思考一下，这节课所学的这两个性质有什么联系吗？例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三

5、边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为，垂足分别为D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在A A 的的 平分线上吗？这平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？说明三角形的三条角平分线有什么关系？畅 谈 收 获，1 1、在、在RtR

6、tABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2 、 如 图、 如 图 , O C, O C 是是 A O B A O B 的 平 分 线的 平 分 线 , , 点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用B 思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什

7、么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路练习练习1：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH练习练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO知识拓展知