32简单的三角恒等变换(2)

1、2022-4-193.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换(2)2022-4-19: 1 sin22 1 cos ()222 1sin1 tan211sin半角公式cos+cos其中 号由所在象限的函数符号而定coscos+cos+cos2022-4-19:sinsin和差化积公式+sinsincoscos+coscos2sin22 +cos2sin22 +cos2cos22 +cos2sin.22 +sin sincos sincoscos cos sinsin1sinsin2 ( + )+()1sinsin2 ( + )()1coscos2 ( + )()1coscos2 ( + )()

2、2022-4-19上述公式间的联系如下：S (+)C (+)S()C()-以代相除T (+)相除T()-以代2S2C2T相除2以代2S2C2T相除积化和差和差化积和差倍半升降幂公式2022-4-19 与三角函数有关的最值问题与三角函数有关的最值问题对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个角的一个三角函数，角的一个三角函数，从而利用三角函数的最值来求解从而利用三角函数的最值来求解.下面我们分类加以说明下面我们分类加以说明.sinx1-1 53sinx82.y解： y=的最大值和最小值分别是 和 ，的最大值和最小值分别是 和 二、

3、二、y=asinx+bcosx型型一、一、y=a+bsinx型型例例1求函数求函数y=5-3sinx的最大和最小值的最大和最小值.根据正弦函数的最值情况来定根据正弦函数的最值情况来定.2022-4-193sin4cos)yxx45sin(x+ )(其中 是满足tan = 的锐角30 22 2 xxxmax，+ ， 当 + 时，y5sin25sin(x+ )5,min, ), 5. 2y 433而sin =sin(+cos 555min.ymax故y5，32 03sin4cos.2sinx cos.xyxxx例 当时，求函数的最值分析这是关于，的一次齐次式，可化成一个角的一个三角函数式解：202

4、2-4-19sinxc+dsinxay +b三、型53sinx3 .2 sinxy例 求函数的最值+53sinx (y+3)sinx2 ,32 sinxyyy 分析可利用反求法解：由得5若矛盾，+2sinxy+3sinx1y5，2222 ) 11, 326(y+3)yyy2(5sin x，即+160,min23ymax2解得：y8. y8，.32022-4-19 ya22四、sin x +bcos x型4 3 4y 22例 求函数sin x + cos x的最值. 22这是关于sin x 、cos x的二次齐次式，可先降次.解：1 cos21 cos23 4322xxy22+sin x + c

5、os x+41cos2 .2x7 +2min3.ymaxy4,2022-4-19 sinx5 2sinx3yay2222五、sin x +bcosx+ccos x型例 求函数sin x +cosx+ cos x的最值. 2sinx3y 22解：sin x +cosx+ cos x 1 cos21 cos2sin2xxx+322sin2x cos222sin2x24x+ （+）+min2222.ymaxy +，2022-4-19 sinx26 4233 2yay222六、sin x +b+c型例 求函数cos xsin xcosx+ ，x ,的最值.对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数

6、的函数求解解：2 423 41y 222cos xsin xcosx+cos xcosx+2213()33 cosx211,3322又xcosxminmax21,;321 ,.32 maxmin15当x时，(cosx)y41当x时，(cosx)y42022-4-19sinxsinx7 sinxi x nyay七、（+cosx)+bcosx型例 求函数+cosx+scosx的最值.2sinx1 2sinxcosx.sinx注意到（+cosx） 可把+cosx看作是一个整体，利用换元法.解：sinxsinxsin(x),422t 设+cosxt, t+cosx 2+222ttsinx12sinxc

7、osx , sinxcosx 2 1（+cosx） 222t111y= t t(1)1,2222.t1代入得：+t2211; 22t minmax1当t时，y-当t时，y22022-4-19 221.3sinx1(2;3 sinxx3sin 43sin x6sinx11.22.f(x)2220-22f(x).13.f(x)22yyyyaaaa1232练习题求下列函数的最值：logcosx); 2log+x4+3cosx0,cosx+cos x2已知函数cos xcosx+x的最小值是，试确定实数 的值，并求出的最大值讨论函数 cos（ x22).2）+coscos(xcosxcos 的值域、周

8、期性、奇偶性及其单调性2022-4-19143PB作业 组 学与练2022-4-19 1. 1 -1 0 2 -1 1 3 3 5 4 12 2 2.32221.1 13.T,2 22,.2aakkkkmaxmax答案：， 时，y ； 时，y， ， ，偶函数，在区间+上， 在区间上kZ2022-4-19例例5.如图，已知如图，已知OPQ是半径为是半径为1，圆心角为，圆心角为 的扇形，的扇形，C是扇形是扇形 弧上的动点，弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记COP= COP= ，问当，问当 角角 取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积最大？并求出这个最大面积。的

9、面积最大？并求出这个最大面积。3OABPCDQ:,=,= .Rt OBCOB解在中 BC cossin,=DARt OADOA在中 tan603.OA3DA33BC33sin .3ABOBOAcos3sin .3.ABCDS设矩形的面积为SBCAB3cossinsin323sincossin313 1 cos2sin2232133sin2cos22661313sin2cos222632022-4-19例例5.如图，已知如图，已知OPQ是半径为是半径为1，圆心角为，圆心角为 的扇形，的扇形，C是扇形是扇形 弧上的动点，弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记COP= COP=

10、 ，问当，问当 角角 取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积最大？并求出这个最大面积。的面积最大？并求出这个最大面积。3OABPCDQSBCAB3cossinsin31313sin2cos2226313sin 26630,3由得52,6662,62所以当,6即 时 S最大13633.6,ABCD,6因此当 时 矩形的面积最大 最大面积为3.62022-4-19442 sin2 3sin coscos,0,.yxxxx例 求函数的最小正周期和最小值并写出该函数在区间上的单调递增区间44sin2 3sin coscosyxxxx解：2222(sincos)(sincos)3sin2xx

11、xxx3sin2cos2xx2sin(2)6x,2;函数的最小正周期是最小值是0,该函数在区间上的单调递增区间是10,35, .6 +22+2,262kxk令+,63kxk令=0,0,3kx5=1,6kx2022-4-19 3 (2cos,tan(),( 2sin(),tan(),2242424( ).,0,.xxxxabf xa bf x 例 已知向量令求函数的最大值 最小正周期 并写出函数在上的单调区间( )2 2cossin()tan(+)tan()2242424xxxxf xa b 解：1tantan122222 2cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22

12、sincos2cos1222xxxsincosxx= 2sin().4x2 ,2;函数的最小正周期是最小值是0, .44该函数在区间上的单调递增 在区间单调递减2022-4-19 24( )3cos+sin0,.6;5II,3,.36f xxxcos xRf xyf x 例 设函数且函数的图象在 轴右侧的第一个最高点的横坐标是I 求 的值如果在区间上的最小值为求 的值313( )cos2sin2222f xxx解：（I）3sin 232x 2,632依题意得1.2解之得2022-4-193 )2（II)由（I）知,f(x)=sin(x+357,0,3636xx 又当时，1sin()1,23x故513( ),3622