第三章流体动力学

1、第第3 3章章 流体动力学流体动力学流场流场充满运动流体的空间充满运动流体的空间 动力学动力学研究流体质点在流场中所占有的空间的一切点上，研究流体质点在流场中所占有的空间的一切点上，运动参数（运动参数（速度、加速度、压强、粘性力速度、加速度、压强、粘性力）随时间和空间位置的分）随时间和空间位置的分布和连续变化规律。布和连续变化规律。3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念3.1.1 1.拉格朗日方法拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中每是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别一流体质点作为

2、描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。（即质点系）运动求得整个流动。质点系法质点系法研究对象：研究对象：流体质点流体质点空间坐标空间坐标tcbazztcbayytcbaxx,（a,b,c）为）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为称为拉格朗日数拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看）都可看作是（作是（a,b,c）和时间）和时间t的函数。的函数。（2）（a,b,c）为变数）为变数，t =const

3、，可以得，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。 （1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx，222222ttcbaztvattcbaytvattcbaxtvazzyyxx，流体质点的其它流动参量可以类流体质点的其它流动参量可以类似地表示为似地表示为a、b、c和和 t 的函数。的函数。如：如： p=p(a，b，c，t)=(a，b，c，t) 由于流体质点的运动轨迹非常由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须

4、知道个复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，在工程流别质点的运动情况，在工程流体力学中很少采用。体力学中很少采用。) 1 . 3(),(),(),(222zyxzzyyxxuuuutzyxuutzyxuutzyxuu加速度（以加速度（以x x方向为例）：对函数方向为例）：对函数u ux x求全微分，有求全微分，有dzzudyyudxxudttuduxxxxx将上式两端除以将上式两端除以dt,dt,得得zuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxxdtdzu,dtdyu,dtdxuzyx式中3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念2 2 欧拉法欧拉法以以速度速度作为描述流体

5、在空间变化的变量，即主要研究作为描述流体在空间变化的变量，即主要研究流体速度在空间的分布流体速度在空间的分布速度可表示为空间（速度可表示为空间（x,y,z)及时间及时间(t)的函数的函数 )5 . 3(zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx、zuuyuuxuuxzxyxx迁移加速度迁移加速度类似可得类似可得y y和和z z方向的加速度，最终得到的流体的加速度为方向的加速度，最终得到的流体的加速度为tux当地加速度当地加速度式中式中3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念3

6、.1.2 3.1.2 稳定流与非稳定流稳定流与非稳定流 非稳定流非稳定流-运动参数随位置、时间变化，即运动参数随位置、时间变化，即 稳定流稳定流-运动参数只随位置变化，即运动参数只随位置变化，即 ),( ),(tzyxPPtzyxuuxx ),(),(zyxPPzyxuuxx稳定流的数学条件稳定流的数学条件)10. 3(00tptu3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 非稳定流非稳定流稳定流稳定流3.1.3 3.1.3 流场的描述流场的描述 1 1、 迹线：同一质点一段时间内运动的轨迹线。每一质点迹线：同一质点一段时间内运动的轨迹线。每一质点有一迹线，与时间无关。有一迹线，与时

7、间无关。 2 2、 流线：同一时刻，不同质点的流动方向线。如下图示。流线：同一时刻，不同质点的流动方向线。如下图示。 3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念流线概念流线概念流线含义：流线含义：1.1.流场中某时间的一条空间曲线；流场中某时间的一条空间曲线；2.2.在该线上各流体质点的速度方向与该曲线的切线方向相重合。在该线上各流体质点的速度方向与该曲线的切线方向相重合。流线特征：流线特征：1.1.非稳定流时，随时间改变；非稳定流时，随时间改变；2.2.稳定流时，不随时间改变（此时流线上质点的迹线与流线重合）稳定流时，不随时间改变（此时流线上质点的迹线与流线重合）3.3.流线不能相

8、交，也不能转折；流线不能相交，也不能转折；4.4.流线疏密的含义流线疏密的含义反映流速大小。反映流速大小。3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念不同边界的流线图不同边界的流线图流线微分方程（推导略）：流线微分方程（推导略）：)12. 3(zyxudzudyudx3.1.4 3.1.4 流管、流束、流量流管、流束、流量 流管流管-取流场内一封闭线取流场内一封闭线l l，在曲线上各点作流线，构成的管在曲线上各点作流线，构成的管状表面状表面 流束流束在流管内取一微小曲面的在流管内取一微小曲面的dA,dA,通过曲面通过曲面dAdA上各点作流线，这一实心上各点作流线，这一实心流线束叫流束。

9、流线束叫流束。总流总流无数流束所组成的总流束。无数流束所组成的总流束。有效断面有效断面流束内与流线正交的面。流束内与流线正交的面。3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 流量流量单位时间流过有效断面的流体的量单位时间流过有效断面的流体的量3.1.5 3.1.5 流量与平均速度流量与平均速度dQ=udAdQ=udA总的体积流量总的体积流量AQudAdQQ引入平均速度引入平均速度v v，则有，则有)18. 3(AQdAdQvdAvudAQAAAA3.1 3.1 流体运动的基本概念流体运动的基本概念3.2.1 3.2.1 直角坐标系的连续性方程直角坐标系的连续性方程 推导方法推导方法微

10、元平衡法微元平衡法 即在流场中取一微体积元，建立该微体积元的质量守恒。即在流场中取一微体积元，建立该微体积元的质量守恒。z zx xy y0 0dxdxdzdzdydy3.2 3.2 连续性方程连续性方程单位时间输入微元体的质量单位时间输入微元体的质量- -输出的质量输出的质量= =累积的质量累积的质量单位时间内，单位时间内，x x方向输入输出的流体质量为：方向输入输出的流体质量为：dydz)u:xx（输入面（左侧面）dydzdxx)u(udydz)u:xxdxxx（输出面（右侧面） 时间时间dtdt内，内，x x方向输入输出之差：方向输入输出之差：dxdydzdtx)u(dMxx。密度、流体

11、质点速度点坐标（,uuu),z, yx,zyxAdzdzdydydxdxz zx xy y0 0dxxuxAxu3.2 3.2 连续性方程连续性方程同理，同理，y方向，有：方向，有：dxdydzdty)u(dMyyZ方向，有：方向，有：dxdydzdtz)u(dMzzdt时间内时间内x、y、z三方向输入输出差的总和为：三方向输入输出差的总和为：(3.22)dxdydzdtz)u(y)u(x)u(dMdMdMdMzyxzyx质量累积质量累积)23. 3(dtdxdydztdM3.2 3.2 连续性方程连续性方程由：质量输入输出差由：质量输入输出差= =累积累积 式（式（3.223.22）= =（

12、3.233.23）dtdxdydzt dxdydzdtz)u(y)u(x)u(zyx3.2 3.2 连续性方程连续性方程对单位时间、单位空间，有：对单位时间、单位空间，有：流体的连续性方程)25. 3(0z)u(y)u(x)u(zyxt 物理意义物理意义流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零的质量差与其内部质量变化的代数和为零)(0zuyuxuzyxazuyuxutzyx将（将（3.253.25）式展开，有：）式展开，有：因为流体密度因为流体密度=f(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)所以有全微分所以有全微分

13、dzzdyydxxdttd)(bzuyuxutdtdzyx3.2 3.2 连续性方程连续性方程将式（将式（b)b)代入式（代入式（a),a),方程两边同除以方程两边同除以，得：，得：)(01czuyuxudtdzyx引入哈密顿算子：引入哈密顿算子：kzjyix所以：所以：zuyuxukujuiukkjyixUzyxzyx则式（则式（c)c)可改写为：可改写为：)26. 3(0Udtd对不可压缩流体，对不可压缩流体，= =常数，常数，0dtd式（式（3.263.26）可改写为：）可改写为：(3.27) 0zuyuxuzyx3.2 3.2 连续性方程连续性方程28)-(3 0U或不可压缩流体的空间

14、连续性方程不可压缩流体的空间连续性方程 式（式（3.283.28）物理意义：对不可压缩流体，单位时间单位空间内）物理意义：对不可压缩流体，单位时间单位空间内流体体积保持不变。流体体积保持不变。*3.2.2 3.2.2 一维总流的连续性方程一维总流的连续性方程 一维流动：一维流动： u uy y=u=uz z=0, u=0, ux x =u =u 对可压缩稳定流对可压缩稳定流, ,一流束两断面一流束两断面面积分别为面积分别为dAdA1 1、dAdA2 2，应用流束的连应用流束的连续性方程续性方程, ,有有: :)31. 3(222111dAudAu 取平均密度取平均密度1m1m = =1 1,

15、, 2m2m=2 2, ,对（对（3 3.31.31）式两边积分）式两边积分21A222A111dAudAumm流入流入= =流出流出3.2 3.2 连续性方程连续性方程流体总流示意图流体总流示意图 式（式（3 3.33.33）物理意义：对可压缩流体稳定流，沿流程的质量流）物理意义：对可压缩流体稳定流，沿流程的质量流量保持不变。量保持不变。 对不可压缩流体：对不可压缩流体：= =常数，常数，式式（3 3.33.33）变为：）变为： )34. 3(2211AvAv)35. 3(1221AAvv 式（式（3 3.34.34）物理意义：对不可压缩流体沿流程体积流量不变，）物理意义：对不可压缩流体沿流

16、程体积流量不变，是不可压缩流体运动的基本规律。是不可压缩流体运动的基本规律。)33. 3(222111AvAvmm设设v v1 1，v v2 2是平均速度，是平均速度，A A1 1，A A2 2是有效断面面积是有效断面面积, ,则上式可写为：则上式可写为： 例例3-13-1、例、例3-23-23.2 3.2 连续性方程连续性方程例： 如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）当流量为4L/s时，求各管段的平均流速。2）旋转阀门，使流量增加至8L/s时，平均流速如何变化？d1d2d32) 2) 各断面流速比例保持不变，各断面流速比例保持不变， Q=8L/sQ=8L/s, ,即流量

17、增加为即流量增加为2 2倍，倍，则各断面流速亦加至则各断面流速亦加至2 2倍。即倍。即 V V1 1=16.32m/s=16.32m/s， V V2 2=4.08m/s=4.08m/s， V V3 3=1.02m/s=1.02m/sd1d2d3解：解：1）根据连续性方程）根据连续性方程 Q=V1A1=V2A2=V3A3，则，则 V1=Q/A1=8.16m/s， V2=V1A1/A2=2.04m/s， V3=V1A1/A3=0.51m/s例： 断面为5050cm2的送风管，通过a，b，c，d四个4040cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s，求：通过送风管1-1，2-2，3

18、-3各断面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送风口流量Q0.40.45=0.8m3/s Q04Q3.2m3/s根据连续性方程 Q0QQ QQ0Q3Q2.4m3/s Q0Q2Q QQ02Q2Q1.6m3/s Q0Q33Q Q3Q03Q0.8m3/s 各断面流速Q0abcd123123sm0.8AQVsm1.6AQVsm2.4AQV332211方程推导依据：方程推导依据：F=maF=ma或动量守恒定律或动量守恒定律 推导方法：对微元控制体推导方法：对微元控制体dxdydzdxdydz运用运用F=maF=ma或动量守恒定律。或动量守恒

19、定律。 在流场中取一微元体在流场中取一微元体dxdydzdxdydz，顶点，顶点A A处的运动参数为：处的运动参数为：ZYX;P、质量力表面力作用在微元体上的力有：作用在微元体上的力有：zyxuuu、p3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程H HG GF FE EA AD DC CB B0 0y yx xz z理想流体微小平行六面体理想流体微小平行六面体dxxpppdyypppdzzpppx x方向：方向： （1 1）压力）压力dxdydzxPdydzdxxPPP（2 2）体积力）体积力XdxdydzXdxdydz（3 3）流体加速度）流体加速度dtdudxd

20、ydzmax)37. 3(dxdydzxpXdxdydzdtdudxdydzFmax3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程)38. 3(111dtduzPZdtduyPYdtduxPXzyx欧拉方程欧拉方程适用范围适用范围可压缩、不可压缩流体，稳定流、非稳定流。可压缩、不可压缩流体，稳定流、非稳定流。用矢量表示用矢量表示)39. 3(1DtuDPW3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程dtduxPXx1化简后得化简后得同理可得同理可得Y、Z方向的受力平衡式，综合可得：方向的受力平衡式，综合可得：）（把5 . 3xxzxyxxx

21、xazuuyuuxuutudtdu 代入式（代入式（3 3.38.38）得：）得： 3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程)40. 3(111zuuyuuxuutuxPZzuuyuuxuutuyPYzuuyuuxuutuxPXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx 方程（方程（3-313-31）中：一般情况下）中：一般情况下X X、Y Y、Z Z是已知的，对不可压缩流是已知的，对不可压缩流体体=常数。常数。4 4个变量个变量u ux x，u uy y，u uz z，P P，三个动量方程，加上连续性方三个动量方程，加上连续性方程就可求解流体流动问题。程就可求

22、解流体流动问题。)(, 0,切应力有粘性力实际流体微元体受力分析：微元体受力分析： 垂直于垂直于x x轴的两个平面轴的两个平面xxpxzxy0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体xyxzxxp、切应力：压应力：左侧面左侧面dxxdxxdxxppxyxyxzxzxxxx切应力：压应力：dxxppxxxxdxxxzxzdxxxyxy右侧面右侧面角标角标1-1-应力作用面的外法线方向应力作用面的外法线方向角标角标2-2-应力的作用方向应力的作用方向3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程微元体受力分析（续）：微元体受力分析（续）

23、： 垂直于垂直于 y y轴的两个平面轴的两个平面yxyzyyp0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体yzyxyyp、切应力：压应力：后面后面dyydyyydyxppyzyzyxyxyyyy切应力：压应力：前面前面ydyxppyyyydyyyxyxdyyyzyz3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程微元体受力分析（续）：微元体受力分析（续）： 垂直于垂直于 z轴的两个平面轴的两个平面zxzzpzy0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体zyzxzzp、切应力：压应力：底面底面dzzdzzdzzppzyzyzxz

24、xzzzz切应力：压应力：顶面顶面dzzppzzzzdzzzxzxdzzzyzy3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体zzpyypxxpzxxyxzyzzyyx微元体受力分析（续）：微元体受力分析（续）： 综上所述，实际流体受力如下图所示综上所述，实际流体受力如下图所示3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程0yxz微小平行六面体在微小平行六面体在x x方向受力分析方向受力分析xxpdxxppxxxxyxdyyyxyxzxdz

25、zzxzx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程微元体微元体x x方向受力分析：方向受力分析： N-SN-S方程推导：方程推导：微元体边长微元体边长dxdx、dydy、dzdz、dydzp-xx左侧面：dxdydzxppxxxxdydz右侧面：法向力法向力切向力切向力dxdzyx后面：dzdddxdzyxyxxyy前面：dxdyzx底面：dzdxdyzdxdyzxzx顶面：体积力：同理想流体，体积力：同理想流体，x x方向分量方向分量XdxdydzXdxdydz惯性力：惯性力：ma( xma( x方向方向) ) dtdudxdydzx

26、将上述各力代入将上述各力代入x x方向的动量平衡方程方向的动量平衡方程 mamax x=F=F，有有dxdydzdtdudxdydzzdxdydzydxdydzxpdxdydzXxzxyxxx（体积力）（体积力）（正应力）（正应力）（切应力）（切应力）（惯性力）（惯性力）两边同除以两边同除以dxdydzdxdydz: : )42. 3(zyxpXdtduzxyxxxx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程为了将方程中的力转换为速度，可根据广义牛顿粘性定律为了将方程中的力转换为速度，可根据广义牛顿粘性定律)44. 3()43. 3(2z

27、uxuxuxuxuppxzzxxzxyyxxyxxx将以上两式代入式（将以上两式代入式（3.423.42），可得：），可得：zuyuxuxzuyuxuxPXdtduzyxxxxx222222对于不可压缩流体对于不可压缩流体= =常数，根据连续性方程，上式最后一项为常数，根据连续性方程，上式最后一项为0 0： 222222zuyuxuxPXdtduxxxx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程 上式两边同除以上式两边同除以， 得：且）（ 46. 31222222zuyuxuxPXdtduxxxx（3 3.46.46）式与（）式与（3 3

28、.38.38）式类似，只是多了切应力项。）式类似，只是多了切应力项。 同理可得同理可得y y、z z方向方程。方向方程。）（ 46. 31222222zuyuxuyPYdtduyyyy）（ 46. 31222222zuyuxuzPZdtduzzz 应用拉普拉斯算子，可将式（应用拉普拉斯算子，可将式（3.463.46）改写为：）改写为： 3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程将上式用矢量表示：将上式用矢量表示： )47. 3(12UPWDtUD （3 3.47.47）式即实际流体的动量守恒方程）式即实际流体的动量守恒方程UPWDtUD2

29、或 物理意义：质量加速度物理意义：质量加速度= =压力压力+ +粘滞力粘滞力+ +质量力（或重力）质量力（或重力）对无粘性流体对无粘性流体0 0，则（则（3 3.47.47）式变为（）式变为（3 3.38.38）、（）、（3 3.39.39）式。）式。)47. 3(111222zzyyxxuzPZdtduuyPYdtduuxPXdtdu纳维尔纳维尔斯托克斯方程斯托克斯方程 （N NS S方程方程）3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔- -斯托克斯方程斯托克斯方程dtudzdtudydtudxzyx, 贝努利方程贝努利方程流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式流体

30、动量守恒方程在一定条件下的积分形式, , 表述运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。表述运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。 1 1、对欧拉方程的积分条件：、对欧拉方程的积分条件：3.5.1 3.5.1 理想流体沿流线的贝努利方程理想流体沿流线的贝努利方程（1 1）质量力定常有势；）质量力定常有势；（2 2）不可压缩流体（）不可压缩流体（= =常数）；常数）；（3 3）稳定流动。）稳定流动。2 2、稳定流动时的流线方程、稳定流动时的流线方程3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程zWZyWYxWXzyxfW,W),(与质量力的关系为：，

31、存在势函数),(),(),(zyxuuzyxuuzyxuuzzyyxx.,dtdzudtdyudtdxuzyxdtudzudyudxzyxdtudzdtudydtudxzyx,稳定态，轨迹线与流线重合。已知欧拉方程已知欧拉方程)38. 3(111dtduzPZdtduyPYdtduxPXzyx3 3、贝努利方程推导、贝努利方程推导分别在上式等号两端乘以分别在上式等号两端乘以dxdx，dydy，dzdz，再相加可得再相加可得如前述，质量力定常有势，所以（如前述，质量力定常有势，所以（3.483.48）式等号左边前三项为：）式等号左边前三项为：dzzWdyyWdxxWZdzYdyXdxdWZdzY

32、dyXdxdzzPdyyPdxxP1= =dzdtdudydtdudxdtduzyx(3.48)(3.48)3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程22udduuduuduudtudtdudtudtdudtudtdudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzzyyxxzyx 如前述，因为稳定流时如前述，因为稳定流时p=p(x,y,z),p=p(x,y,z), 所以（所以（3.483.48）式等号左边）式等号左边第四项为：第四项为：dpdzzPdyyPdxxP11对于（对于（3.483.48）式等号右边的三项，根据前述的流线方程）式等号右边的三项，根据

33、前述的流线方程dtudzdtudydtudxzyx,可以得到可以得到3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程)48. 3(1dzdtdudydtdudxdtdudzzPdyyPdxxPZdzYdyXdxzyx综合以上结果，（综合以上结果，（3.483.48）式可以重新改写为）式可以重新改写为对上式沿流线积分，得对上式沿流线积分，得)51. 3(22cupW贝努利积分贝努利积分 理想流体运动积分方程的贝努理想流体运动积分方程的贝努利积分，表明在有势质量力作用下，利积分，表明在有势质量力作用下，理想不可压缩流体作稳定流时：理想不可压缩流体作稳定流时：沿流程不变2

34、2upW0212uddpdW022upWd3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程对于重力场：对于重力场：X=0 Y=0 Z=-gX=0 Y=0 Z=-g 代入式（代入式（3 3.51.51）得：）得： cuPgzcuPW2222两边同除以两边同除以g g ： )54. 3(22CguPz对同一流线上任意两点对同一流线上任意两点1 1和和2 2有：有： gdzdWZdzYdyXdxdW从而有：从而有： cgzW积分后得：积分后得：)55. 3(2222222111guPzguPz贝努利方程贝努利方程 式（式（3 3.55.55）即）即是只有重力作用下是只有重

35、力作用下的稳定流动、理想的稳定流动、理想的不可压缩流体沿的不可压缩流体沿流线的运动方程式流线的运动方程式的积分形式，称为的积分形式，称为贝努利方程。贝努利方程。3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程)59. 3(22cWuPWR式中式中 W WR R - - 阻力功，即由于粘性而产生的切向力（阻力）所作的功阻力功，即由于粘性而产生的切向力（阻力）所作的功)61. 3()(221222222111RRWWuPgzuPgz式中式中 W WR2R2W WR1 R1 点点1 1到点到点2 2过程中内摩擦力作功的增量。过程中内摩擦力作功的增量。式中，式中，).(11

36、2RRwWWgh 3.5.2 3.5.2 实际流体的贝努利方程实际流体的贝努利方程 （推导过程略）（推导过程略）进一步可将上式改写为进一步可将上式改写为2222211122wghvPgzvPgz)62. 3(2222222111whguPzguPz或或3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程guPzH22式中，式中，Z-位置水头位置水头; ;压强水头P;22速度水头guH-总水头总水头; ;1 1、理想流体的几何意义、理想流体的几何意义不变。总水头之间可以相互转换，但、沿流程H2gupZ221HH 贝努利方程的几何意义、物理意义贝努利方程的几何意义、物理意义

37、3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程ghw损失水头实际流体)(Wh2 2、实际流体的几何意义、实际流体的几何意义ghguPzHw22沿流程减小。头失，总水换，但产生沿程阻力损之间相互转、沿流程H2gupZ2ghHHw213.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程3、物理意义：、物理意义： zg比位能比位能; P比压能比压能,22u比动能比动能; E 总比能总比能 ;式中，式中，Wgh能量损失能量损失; 22WghuPgzE22WhguPzHkgNmkgsmkgmzg23.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体

38、和实际流体的贝努利方程3.5.3 3.5.3 实际流体总流的贝努利方程实际流体总流的贝努利方程 通过一个通过一个流道流道的流体的的流体的总流量总流量是由许多流束组成的，整个流道是由许多流束组成的，整个流道内总流的贝努利方程即是在总流道截面内积分。内总流的贝努利方程即是在总流道截面内积分。 前面讲述的是对于流束的贝努利方程。前面讲述的是对于流束的贝努利方程。3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程在整个过流断面进行积分：在整个过流断面进行积分：dQhdQ2gu)dQzp(dQ2gu)dQzp(2l1A222A2A211A12211Q上述积分可分为三个部分：上述

39、积分可分为三个部分：z)dQp(A1）czp渐变流过流断面服从液体静压强分布规律z)Qp(z)dQp(AAVAVdAu2gdA2guudA2gudQ2gu33A33AA2A22）AVdAu3A3令动能修正系数Q2gVAV2g23上式V截面的平均流速截面的平均流速 动能修正系数动能修正系数 a 是由于截面上速度分布不均匀而是由于截面上速度分布不均匀而引起的，引起的，a 是个大于是个大于1 的数，紊流中的数，紊流中a=1.051.1，有，有效截面上的流速越均匀，效截面上的流速越均匀，a 值越趋近于值越趋近于1。在实际工业。在实际工业中，通常都近似地取中，通常都近似地取 a=1.0 。以后如不加特别

40、说明，。以后如不加特别说明，都假定都假定 a=1 ，并以，并以 v 代表平均流速。而对于圆管层代表平均流速。而对于圆管层流流动流流动a=2 。dQh2l1Q3）令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为2l1hQhdQh2l12l1Q则综上可得综上可得QhQ2gV)Qzp(Q2gV)Qzp(2l12222221111-不可压缩恒定总流伯努利方程能量积分能量积分用平均参量表示用平均参量表示( (推导过程略推导过程略) )，结果为：，结果为： )66. 3(222222221111ghgvPzgvPzW或式中式中, ,h hW W通过流道截面通过流道截面1 1与与2 2之间的距离时，单位质量流体的

41、平均之间的距离时，单位质量流体的平均 能量损失能量损失; ; 1 1，2 2动能修正系数，一般动能修正系数，一般=1.05-1.10=1.05-1.10。 贝努利方程与连续性方程和后面要讲的动量方程一起，可解许贝努利方程与连续性方程和后面要讲的动量方程一起，可解许多工程问题。多工程问题。 WhvPgzvPgz222222221111实际流体经流道流动的贝努利方程实际流体经流道流动的贝努利方程3.5 3.5 理想流体和实际流体的贝努利方程理想流体和实际流体的贝努利方程一、应用条件一、应用条件 （1)1)流体运动必须是稳定流；流体运动必须是稳定流； （2)2)两有效断面符合缓变流条件两有效断面符合

42、缓变流条件 （3)3)沿程流量不变。如有分支，按总流量守恒列出；沿程流量不变。如有分支，按总流量守恒列出； （4)4)两有效断面间没有能量输入输出。如有应加上，如（两有效断面间没有能量输入输出。如有应加上，如（3 3.66.66）式）式 )66. 3(222222221111WPhvPgzHvPgz（5)5)不可压缩流体运动。不可压缩流体运动。 输入或输出的能量式中Hp,3.6 3.6 贝努利方程的应用贝努利方程的应用截面截面1-11-1处处毕托管端处毕托管端处h*2p1p毕托管毕托管 解解：列出管道来流截面列出管道来流截面1-11-1和毕托管端处的贝努利方程式，由和毕托管端处的贝努利方程式，

43、由于流线水平、标高相同，且流体为不可压缩，则方程形式如下：于流线水平、标高相同，且流体为不可压缩，则方程形式如下：hppgu1*2212又（见题图）又（见题图）hgu21*22112pgup( (管端处，管端处，u u2 2=0)=0)3.6 3.6 贝努利方程的应用贝努利方程的应用3.6.2 毕托管毕托管 解：将第一个断面选在钢液解：将第一个断面选在钢液上表面（自由表面），可以利用上表面（自由表面），可以利用z=0z=0及及v v1 100使方程简化。使方程简化。)55. 3(2222222111guPzguPz 列出断面列出断面1 1和断面和断面2 2处的贝努利方处的贝努利方程，根据式程，

44、根据式(3.55) : :22213 .101)(03 .1010ukPaHgkPa有有例例3-33-3求钢包出口处的金属液流速求钢包出口处的金属液流速解得解得: :ghu22断面断面1 1断面断面2 2第二个断面的选取要包含待求量。第二个断面的选取要包含待求量。3.6 3.6 贝努利方程的应用贝努利方程的应用消去消去m ： 积分得：积分得：)4(022dvmmdtdmoigHddtdm242HDm24)(282ciimmmdDgtdtDdgdmm22212 例例3.5 3.5 某工厂自高位水池引出一条供水管路某工厂自高位水池引出一条供水管路AB,AB,如图如图3.193.19所所示。已知流量

45、示。已知流量Q=0.034mQ=0.034m3 3/s/s；管径；管径D=15cm;D=15cm;压力表读数压力表读数p pb b=4.9N/cm=4.9N/cm2 2; ;高度高度H=20m.H=20m.问水流在管路问水流在管路ABAB中损失了若干水头？中损失了若干水头？1-11-1面面基准面基准面2-22-2面面 解：选取水平基准面解：选取水平基准面0-00-0，过水，过水断面断面1-11-1、2-22-2，如图所示。，如图所示。列出列出1-11-1和和2-22-2处的贝努利方程：处的贝努利方程：whgupzgupz222222221111取：取：, 0,21zHzAQuu21, 03.6

46、 3.6 贝努利方程的应用贝努利方程的应用将以上各数值代入贝努利方程，即可求得将以上各数值代入贝努利方程，即可求得h hw w?21pp/9 . 4021Bppp3.6 3.6 贝努利方程的应用贝努利方程的应用 文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体

47、积流量。文丘里文丘里(Venturi)流量计流量计文丘里流量计原理图文丘里流量计原理图 以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面面1-1，2-2的伯努利方程的伯努利方程 gVgpgVgp2222022110由一维流动连续性方程由一维流动连续性方程2121VAAV 整理得整理得 )/(1 )( 2212212AAppV由流体静力学由流体静力学 液液ghpp)(21 上式表明，若上式表明，若液液、 、A2、A1已知，只要测量出已知，只要测量出h液液，就可以确定流体的速度。流量为：，就可以确定流体的速度。流量为： )/(1 )(22122AAhg

48、V液液)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液考虑到实际情况考虑到实际情况 式中式中Cd为流量系数，通过实验测定为流量系数，通过实验测定。)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液实二、伯努利方程应用时特别注意的几个问题二、伯努利方程应用时特别注意的几个问题 (1) (1) 弄清题意弄清题意, ,看清已知什么看清已知什么, ,求解什么求解什么, ,是简单的是简单的流动问题流动问题, ,还是既有流动问题又有流体静力学问题。还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) (2) 选好有效截面选好有效截面, ,选择合适的有效截面选择合适的有效截面, ,应包括问应包括问题中

49、所求的参数题中所求的参数, ,同时使已知参数尽可能多。通常对于同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出从大容器流出, ,流入大气或者从一个大容器流入另一个流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器大容器, ,有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面出口截面, ,因为该有效截面的压强为大气压强因为该有效截面的压强为大气压强, ,对于大对于大容器自由液面容器自由液面, ,速度可以视为零来处理。速度可以视为零来处理。 (3) (3) 选好基准面选好基准面, ,基准面原则上可以选在任何位置基准面原则上可以选在任何位置, ,但选择得当但选择得当, ,可使

50、解题大大简化可使解题大大简化, ,通常选在管轴线的水通常选在管轴线的水平面或自由液面平面或自由液面, ,要注意的是要注意的是, ,基准面必须选为水平面基准面必须选为水平面. . (4) (4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的程求解。伯努利方程的p p1 1和和p p2 2应为同一度量单位，同应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，为绝对压强或者同为相对压强，p p1 1和和p p2 2的问题与静力的问题与静力学中的处理完全相同。学中的处理完全相同。 (5) (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强有效截面上的

51、参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压强，又取同一有效截面上另一点的速度。压强，又取同一有效截面上另一点的速度。 在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的

52、以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。第七节恒定流动量方程第七节恒定流动量方程 将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。作用于物体所有外力的合力与作用流体运动的动量方程。作用于物体所有外力的合力与作用时间的乘积称为冲量，由动量定理，作用于物体的冲量等时间的乘积称为冲量，由动量定理，作用于物体的冲量等于物体动量的增量，即于物体动量的增量，即Fd

53、tdmV在恒定总流中，取在恒定总流中，取l和和2两渐变流断面。两渐变流断面。dt时间内两段面间流段从时间内两段面间流段从1-2处流至处流至1-2 。由。由于是恒定流，于是恒定流，dt时段前后的动量变化，应时段前后的动量变化，应为流段新占有的为流段新占有的22体积内的流体所具有体积内的流体所具有的动量减流段退出的的动量减流段退出的11体积内流体所具体积内流体所具有的动量；而有的动量；而dt前后流段共有的空间前后流段共有的空间1-2内内的流体，尽管不是同一部分流体，但它们的流体，尽管不是同一部分流体，但它们在相同点的流速大小和方向相同，密度也在相同点的流速大小和方向相同，密度也未改变，因此，动量相

54、同。未改变，因此，动量相同。动量增量为：动量增量为：22221111222111()d mvAdtAdtQdtQdt由动量定律得由动量定律得： 222111()dF dtd mvQ dtQ dt（2） 不可压缩流体恒定总流动量方程不可压缩流体恒定总流动量方程 022011FQQ 022011 1022011 1022 2011 1xxxyyyzzzFQQFQQFQQ 或(1)(1) 不可压缩流体恒定元流动量方程不可压缩流体恒定元流动量方程 21dFQ uu计算时计算时 可取为可取为1.0。不可压缩流体恒定流不可压缩流体恒定流, ,有有 且且 ，则有则有 12QQ12实际流速的不均匀分布使上实际

55、流速的不均匀分布使上式存在着计算误差，为此。式存在着计算误差，为此。以动量修正系数修正。为实以动量修正系数修正。为实际动量和按照平均流速计算际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即的动量的比值。即式中：式中： F作用于控制体积内流体的所有外力矢量和。作用于控制体积内流体的所有外力矢量和。该外力包括：该外力包括： （1）作用在该控制体内所有流体质点的质量力；）作用在该控制体内所有流体质点的质量力； （2）作用在该控制体面上的所有表面力（动水压力、）作用在该控制体面上的所有表面力（动水压力、切力）；切力）； （3）四周边界对水流的总作用力。）四周边界对水流的总作用力。 判断判断：动量方程中只有力是有方向的，流速动量方程中只有力是有方向的，流速v可以可以以标量表示。以标量表示。答案答案错错RGppFffFsm21例例 水在直径为水在直径为10cm的的60水平弯管中以水平弯管中以5m/s流