高等代数§8.5 初等因子

1、5 初等因子主讲主讲: :向大晶向大晶5 5 初等因子初等因子一、初等因子的概念Definition 设( )A 的不变因子为 12( ),( ),( )rddd。如果 1212( )( )( )( )iiiskkkisdeee其中ijk为非负整数， 1,2, ;1,2, .ir js12( ),( ),( )seee为数域P上 互异的首1 系数的不可约多项式。则称 1212( ),( ),( )iiiskkkseee为( )id的初等因子，而 为12( ),( ),( )rddd的全部 初等因子为 ( )A的初等因子(组)。 Remark 1: 初等因子与数域有关 Remark 2: 初等因

2、子必须是不可约因式的方幂全体 n nAPEAA，则称的全部初等因子为的初等因子. Remark 3:例1设域 上 矩阵 的标准形为 P( )A222421(1)(2)(1)(4)求 的初等因子 A二、初等因子与不变因子的关系1. 已知 的不变因子，可求出其初等因子( )A11112221221211221212( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )ssrsrrkkkskkkskkkrsdeeedeeedeee 则 的初等因子为( )A111222212211222111 ;( ),( ),( ),( ); ( ),( ) ,( ), ),( rsrrsskk

3、kksskkkkskeeeeeeeeeProperties2) 1) 在12( ),( ),( )nddd属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的分解式中，的性质，即12 (1,2, )jjrjkkkjs.例如：同一个不可约因式的方幂作成的初等因子中，( )rd方次最高的必定出现在 的分解中. 属于同一个不可约因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.Conclusion 初等因子由不变因子唯一确定Proposition等价的 矩阵有相同的初等因子。Remark 该命题的逆不成立。例如： 11( )(1)(2) B( )=10(1)(2)A的初等因子相同，但它们不等价。2.

4、 已知 的秩和初等因子，可求出 的( )A( )A的不变因子二、初等因子与不变因子的关系方法：将初等因子( )je的方幂按降幂排列(当这些方幂不足 个时，用1补足到 个)为rr1111 0rjrjjkkkjjjrjrjjeeekkk，则1212()iiiskkkisdeee为所求Theorem它们的秩和初等因子相同.( )( )ABCorollary 1它们初等因子相同.,n nA BPEAEBCorollary 2它们的初等因子相同.,n nA BPAB相似于三、初等因子的求法Theorem 对角 矩阵的初等因子等于其对角线上诸多项式的不可约因式方幂的全体.Lemma 1 设多项式12( ),( )f xfx 与xx12 g( ),g ( )互素,则11221212( )( ),( )( )( ),( )( ),( )f x g xfx gxf xfxg x gxExampleLemma 2 设11221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f x g xAfx gxf x g xfx gxB且( ),( )1,1,2ijf x gxi j ,则( )( )ABCorollary 设EA在复数域上等价于一个对角阵1( )( )nhh把( )ih分解为一次因式的幂,则所有这些