2020版高考物理一轮复习第四章第4讲万有引力与航天教案新人教版

1、第4讲万有引力与航天考纲考情要求椎心素养万有引力定律及其应用环线盅.莹4第二宇宙速度和第三宇宙速度A经典时空艰和相对诒时空观令国卷5年11考高苦楫数*11 n1 I物理现含，物候闻腔弓1力褊足方有胤力症至4行星运动的规律用普勤行星运动三定铢行星运动的动力学规 律:万有引力充当向心力.宇宙语常的麻党.科学思雄4运用万有弓1力宏律和圆周运动的知识分析天体运动问题.*构建双星、势星的比助模"，考点1开普勒三定律的理解和应用，深化理解1 .行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2 .开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3 .开普勒第三定律5=k中，k值只与中心天体的质

2、量有关， 不同的中心天体 k值不同.但 该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.1 .如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,A.C.)8解析:若行星从轨道的 A点经足够短的时间t运动到A'点，则与太阳的连线扫过的面积可看A. 2C. 8iQ做扇形，其面积 &=3/工；若行星从轨道的 B点也经时间t运动到B'点，则与太阳的连线扫过白面积 Sb= bvb.根据开普勒第二定律得 三竺=vbt,即Vb=：va,选项C正确. 222b2 . （2018 全国卷出）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P,其轨道半径 约为地球半径的

3、16倍；另一地球卫星 Q的轨道半径约为地球半径的 4倍.P与Q的周期之 比约为（C ）8. 4D. 16解析：解法1：本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式.卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 Gr2 = m, R 则T= gM, T）=、y3=， 选项C正确.RP RQ uTPFP解法2：卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动， 满足开普勒第三定律，不=行，解得f =、/同=1，选项C正确.3 .（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P为近日点，Q为远日点，M N为轨 道短轴的两个端点， 运行的周期为 T）,若只考虑海王星和太阳之间的相互作用， 则海王星在 从P经过

4、M Q到N的运动过程中（CD ）尸:一A.从P到M所用的时间等于-8 .从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 一一 1,一一一一 、解析：由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为万兀，根据开普勒第二定律1可知，从P到M运动的速率大于从 M到Q运动的速率，可知从 P到M所用的时间小于To, 选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B错误；根据开普勒第二定律可知，从 P到Q阶段，速率逐渐变小，选项 C正确；海王星受到的万有引力 指向太阳，从 M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确.

5、涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间，而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动考点2万有引力定律的理解与计算1 .万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力mg二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示.(1)在赤道处：GR2 mg+ 1Tb3 2R(2)在两极处：9卢=mg.(3)在一般位置：万有引力GR2mh于重力mg与向心力F向的矢量和.越靠近南、北两极，g值越大

6、，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GRmmg2 .星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)Mm GM(1)在地球表面附近白重力加速度g(不考虑地球自转)：mg=常,得g=-R2.(2)在地球上空距离地心r = R+ h处的重力加速度为 g' ： mg' = G JMm 2,得g'=(R十 h)2GMg _(R+ h)(R+ h)2,所以 g，R2考向1万有引力的计算士典例1如图所示，有一个质量为 M半彳仝为R密度均匀的大球体.从中挖去一个半R 径为2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(

7、已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A.MmGR2B. 0Mm0领审题指导(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力.(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点 处理.(3)可以采用填补法计算万有引力大小.【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体m的吸引力与挖去小球体对 m的吸引力之差，挖去的小球体球心与 m重合，对m的万有 引力为零，则剩余部分对 m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中R1心分离出半径为J的球，易知其质量为-M1则剩余均匀球壳对 m的万有引力为零，故剩余部 28分对m的

8、万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律,1MmF=G8R7 GMm故D正确.考向2万有引力与重力的关系团典例2假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G地球的密度为3兀 gogAG7 丁B 3 兀go.gT go-gC.3兀GT23兀goD.GT g审题指导在两极处万有引力等于物体重力，而在赤道处万有引力等于物体重力与物体随地球一起自转所需的向心力之和；在赤道处物体所受万有引力、向心力和重力G一,一 ，4_3在同一直线上,方向都指向地心;球体积公式V= -Tt R3.3【解析】在地球两极处,GM

9、m= mg,在赤道处，GRm-mg= mTR 故 R= (g)T,M贝 U p = 4 R3兀RR2go"G4 R3兀R3g03兀go4兀 rG GT2 go-g名师点睛Mm2 、G=mg GIM= gR,这就由于地球的自转，在地球表面的物体，重力与万有引力不严格相等，重力为万有引力的 一个分力，由于二者差别较小，计算时一般可以认为二者相等，即 是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”1. （2018 全国卷n ）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星 “J0318 + 0253”，其自转周期 T= 5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引

10、力常量为6.67X10T1N- m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（C ）A. 5 X 109 kg/m 3C. 5X1015 kg/m 3解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用.B. 5X1012 kg/mD. 5X1018 kg/m度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力,以周期T稳定自转的星体，2GMm 4 兀 ，即"Rr=mTrR星体的密度当星体的密P -4，3%R 生 3X 3.14信八管度 p = G2 = 6.67 * 1011x(5.19 x 10 3)2kg/m 3= 5X 1015 kg/m 3,故选项C正确.2 .假设地球是一半径为 R、

11、质量分布均匀的球体，一矿井深度为的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为d.已知质量分布均匀R- d 2C. RR 2D. R- d解析:如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零.设地面处的重力加速度为 g,地球质量为 M地球表面质量为 m的物体受到的重力近似 等于万有引力，故mgGRm设矿井底部处的重力加速度为 g', “等效地球”的质量为M ,其半径r=R_ d,则矿井底部质量为 m的物体受到的重力 mg =G，m又g pV=p ：兀F3,3兀(rd),联立解得"=1R，A正确.考点3万有引力定律在天体运动中

12、的应用考向1天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径 R由GRm= mg得天体质量M=噂.天体密度:M M3gp=V= 4""3=4Tgfr 鼻兀R 3r和周期T.(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 , Mm 4 712rm 一，,心日一 4兀23由 Grr = m丁!一得天体的质重为 M= 广.若已知天体的半径 R,则天体的密度M M 3兀 r3P =T 4 ; gTfT 不R33 一. . 3 兀若卫星绕天体表面运行时， 可认为轨道半径r等于天体半径 R则天体密度p =G2,可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T,

13、就可估算出中心天体的密度.题组通关1.在某星球表面以初速度V0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，引力常量为G,忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为 正确的是(A )2H2A.该星球白质量为v-8Gh、日 43田口,v2d2B.该星球的质量为赤2GhC.在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为D.在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为h,已知该星球的直径为解析：物体做竖直上抛运动，根据运动学公式可得星球表面的重力加速度为d,下列说法v 0 d因而在该星球表面发射卫星的取小速度为Vmin=yg R= "2'/r选项C、D错反.设星球的质量为M物体的质量为 m在星球表面上

14、有Mm , G?=mg选项A正确,误.2.据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的 a倍, 质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为 引力常量为 G则该行星的平均 密度为(C )A.G2 陪SubD.3 71aGT解析：万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力:3Mb4兀中C,Mi Vfc b _37tb"Tir=一，因而 p 星=一.Vs Mb aaGT题后悟道计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径.卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径.卫星的轨道半径大于

15、等于天体的半径.(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间.自转周期与公转周期一般不相等.(1)多星系统的条件各星彼此相距较近.各星绕同一圆心做匀速圆周运动.(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型由两星之间的万有引力提供，故两星的 运行所需向心力都由其余行星对其万 向心力向心力大小相等有引力的合力提供21运动参量各行星转动方向相同，周期、角速度相等典例3 (2018 全国卷I )(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程， 在两颗中子星合并前约 100 s时，它们相距

16、约400 km, 绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度审题指导(1)根据题意，抽象物理模型，画出示意图；(2)找到题目给出的已知量，再求未知量.【解析】本题考查万有引力定律的应用等知识.双星系统由彼此间万有引力提供向心Grm2mm222 7t、力，得L2 = m311, Gp-n m222,且T=-丁，两颗星的周期及角速度相同，即T1= T2 = . - m 24兀 2L3 一 . 2 ,T, 31=32=3,两颗星的轨道半径r

17、1 + r2= L,解得m=m+m= GT-，因为jT未知，故m与m之积不能求出，则选项A错误，B正确.各自的自转角速度不可求， 选项D错误.速 率之和V1+V2= 311+ 31 2= 3 L,故C项正确.【答案】BC名师点睛双星模型的重要结论(1)两颗星到轨道圆心的距离1、2与星体质量成反比，即m 2=m 1(2)双星的运动周期T= 2兀双星的总质量m+ m=G( m+向, 4ti2L3T2G.3. 2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环 绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示.这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞.这对验证宇宙学与星系演化模

18、型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义.若图中双黑洞的质量分别为M和M2,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动.根据所学知识，下列选项正确的是（B ）A.双黑洞的角速度之比 3 13 2=M MB.双黑洞的轨道半径之比 ri r2=M MC.双黑洞的线速度之比 vi V2=M MD.双黑洞的向心加速度之比 ai a2=M M2解析：双黑洞绕连线上的某一点做匀速圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为 L,由G 12 = Mr 13 2= Mr 23 ?,得双黑洞的轨道半径之比

19、 ri 2=M M,选项B正确；双黑洞的线速度之比 vi V2= tori 3i2=M M,选项C错误；双黑洞的向心加 速度之比ai a2=2r 2= M M,选项D错误.4. （20i9 广东湛江模拟）三颗相同的质量都是 M的星球位于边长为 L的等边三角形的 三个顶点上.如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变,卜列说法正确的是（B ）A.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为B.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心3GM2L2OC.它们运行的轨道半径为D.它们运行的速度大小为Fi=GM,方向沿着它们的解析：根据万有

20、引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为M2、，连线.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F= 2FiCOs30。=，3生，方向指向圆心，选项A错误，B正确；由rcos30。= L,解得它们运行的轨道半径 r = #L,选项 C错误；由。3申=昨，将r = g3L代入，可得v = yJGM选项D错误.考点4万有引力定律在航天中的应用考向1人造卫星运行参量的比较环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较2由 G-?= m= mg2 r r24兀m-T2-r = ma可推导出:当r增大时3减小T增大A. Ta>TbC. Sa= Sb【解析】根据开普勒第三定律,B. EkA>E

21、kBrA rBD.Z2 = Z3TA TbrA艮tA=憎又RA>B,所以Ta>Tb,选项A D正确;,Mm由G22:得,V=GM所以Va<Vb,则EkA<EB,选项B错误；由 岑詈m 得，T= 2几RMv减小 an减小2典例4（多选）如图所示，两质量相等的卫星 A B绕地球做匀速圆周运动， 用R T、E、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有（）卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S=；兀FUGMR可知S与,选项c错误.【答案】AD名师点睛人造卫星问题的解题技巧(1) 一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型

22、.(2)两组公式2,2 G-= m-= mo 2r = mrr = mar rTmg= GMR2mg为星体表面处的重力加速度)(3) a、v、3、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有 参量的比较，最终归结到半径的比较.口诀：一定四定、越高越慢.5. 2018年2月2日15时51分我国第一颗电磁检测试验卫星“张衡一号”成功发射,使我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一，已知地球半径为R地球表面处的重力加速度为 g,假设一颗距离地面高度为 2R的人造地球卫星绕地球做 匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是(B )A.线速度的大小为gRB.角

23、速度为27RC.加速度大小为R周期为6兀D.解析：在地球表面重力与万有引力相等有：岸养mg可彳G GM= gF2.距地面高度为2R的人造卫星的轨道半径为 3R,由万有引力提供圆周运动的向心力有:=m-3R"T9=ma可得线速度 丫=、/融="gR，角速度 =2GM =、/2gR，加速度a = GM= '周期T= dGMF=6兀戏故B正确，入C、D错误.考向2宇宙速度的理解与计算1 .第一宇宙速度的推导2、一 ,Mm vi,n方法一：由 GR2 mR得Vi = 7.9 x 103 m/s.6.67 X 10 X 5.98 X 106m/s6.4 X 102、，V1 I

24、万法二：由 mg= mR得V1= /gR=，9.8 x 6.4 x 106 m/s = 7.9 x 103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin=2 % g= 5 075 s =85 min.2 .宇宙速度与运动轨迹的关系(1) v发=7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动.(2)7.9 km/s< v发<11.2 km/s ,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆.(3)11.2 km/s wv发<16.7 km/s ,卫星绕太阳做椭圆运动.(4) v发>16.7 km/s ,卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到

25、太阳系以外的空间.“典例5 (多选)2020年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福尔斯一土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火八一 1 1，箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的火星的半径约为地球半径的 3.下列关92于火星探测器的说法中正确的是()A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的-T23M【解析】根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，C正确；已知 M火=/，R9【答案】 CD名师点睛对第

26、一宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即 人造地球卫星的最大运行速度.(2)当卫星的发射速度 v满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆, 地球位于椭圆的一个焦点上.V针对训练6.发射宇宙飞船的过程中要克服引力做功，已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为 r处的过程中，引力做功为W¥m飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为b=半m式中G为引力常量,M为地球质量.若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之

27、外)，这个速度称为第二宇宙速度，已知地球半径为R(1)试推导第二宇宙速度的表达式；(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M =1.98 X 1030 kg ,求它的可能最大半径. (引力常量 G= 6.67 XI。-1 N- m 2/kg 2)解析：(1)设第二宇宙速度为 v,所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最根据机械能守恒定律得小发射速度.则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程中,&+巳=0 即!mVGm= 0 解得 v= 2 R(2)由题意知第二宇宙速度大于C,即1Jf->C/口2GIM 2X 6.67 X 10 &quo

28、t;x 1.98 X 103。3得 R<厂=2 =6m = 2.93 X 10 mc9X10则该黑洞的最大半径为2.93 X 103 m.答案：(1)见解析 (2)2.93 X 103 m考向3卫星变轨问题分析1 .变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示.(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道I上.(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进 入椭圆轨道n .(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道出.2 .三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道I和山上运行时的速率分别为V1、V2

29、,在轨道n上过 A点和B点速率分别为VA、Vb.在A点加速,则Va>Vi,在B点加速,则V2>VB,又因V1>V2,故有Va>Vi>V2>Vb.（2）加速度：因为在 A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是轨道n上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B点的加速度也相同.（3）周期：设卫星在I、n、出轨道上运行周期分别为Ti、T2、T3,轨道半径分别为 口、3, , r 一，2（半长轴）、3,由开普勒第三定律 T2= k可知Tl<T2<T3.2典例6（多选）如图，一颗在椭圆轨道I上运行的地球卫星，通过轨道I上的近地点P时，短暂点火加速后进入同步转移轨道n.当卫星到达同步转移轨道n的远地点Q时，再次变轨，进入同步轨道出.下列说法正确的是（）A.卫星在轨道I的 P点进入轨道n机械能增加B.卫星在轨道出经过 Q点时和在轨道n经过 Q点时速度相同C.卫星在轨道出经过 Q点时和在轨道n经过 Q点时加速度相同D.由于不同卫星的质量不同，因此它们的同