第3章(扭转).

1、中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第三章第三章 扭转扭转 3-1 3-1 概述概述 两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。 杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。扭转变形特点扭转变形特点扭转受力特点扭转受力特点相对扭转角相对扭转角3-2 3-2 外力偶矩与扭矩外力偶矩

2、与扭矩 一、功率、转速与外力偶矩之间的关系一、功率、转速与外力偶矩之间的关系 1.1.外力偶矩与功率、角速度关系外力偶矩与功率、角速度关系 2.2.外力偶矩与功率、转速关系外力偶矩与功率、转速关系 ePM (kW)N m9549(r/min)ePMn（）(PS)N m7024(r/min)ePMn（）260n二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 ()0:xMF 0TeMMTeMM 扭矩正负规定扭矩正负规定 由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致者为正；反之为负。致者为正；反之为负。1.1. 扭矩扭矩MT 例：例：图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮B

3、 输入的功率输入的功率PB=10kW，若不计，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。，试作轴的扭矩图。 2.2.扭矩图扭矩图 表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 AA49549954976.4N m500PMnBB1095499549191N m500PMnCC695499549114.6N m5

4、00PMn 计算轴各段的扭矩计算轴各段的扭矩 ()0:xMF 1A0TMM解得：解得： 176.4N mTM2C0TMM2114.6N mTM 绘制扭矩图绘制扭矩图 解得：解得： ()0:xMF 2-2： 1-1： 3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒扭转时的应力一、薄壁圆筒扭转时的应力 1. 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。力。 2. 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，表

5、面的矩形变为平行四边形，说明横截仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力面上有切应力试验现象：试验现象： 微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径方向的切应变方向的切应变 ，且圆周上所有各点的切应变相同。，且圆周上所有各点的切应变相同。所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。径方向上有相同的切应力。 2220d2TMrr 22TMr 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 壁厚壁厚平均半径平均半径二、纯剪切与切应力

6、互等定理二、纯剪切与切应力互等定理 2. 2. 纯剪切纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。 1. 1. 切应力互等定理切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。 ()0:zMF (d )d(d )dyxxy 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成比例极限时，切应力与切应变成正比。正比。 G 2(1)EG 材料的三个弹性常

7、数（弹性模材料的三个弹性常数（弹性模量、切变模量、泊松比）之间的数量、切变模量、泊松比）之间的数值关系：值关系： 剪切比例极限剪切比例极限G 为切变模量为切变模量3-4 3-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式 1.1.变形几何关系变形几何关系 1. 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。力。 2. 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，

8、表面的矩形变为平行四边形，说明横截仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力面上有切应力 试验现象试验现象 变形规律变形规律 tan ddx ddx ddad 平面假设平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。截面间的距离不变。（圆轴扭转时各横截面像刚性平（圆轴扭转时各横截面像刚性平面一样绕轴线转动。）面一样绕轴线转动。）距轴线为距轴线为 处的切应变与处的切应变与 成正比成正比2.2.物理关系物理关系 G ddGx dd

9、x ddx 未知，与内力、材料、截面有关。未知，与内力、材料、截面有关。P时：时：切应力分布规律图切应力分布规律图实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴 与与 成正比成正比3.3.静力关系静力关系 AdTMA 2PAdIA PddTMxGI AdddGAx 2AdddGAx 令令抗扭刚度：截面抵抗抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力扭转变形的能力极惯性矩极惯性矩扭转切应力的一般公式扭转切应力的一般公式 PTMI PddTMxGI ddGx 二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力 PPPmaxIIWR maxPTMW maxmaxPTMI 抗扭截面系数抗扭截面系数同一截面上最大切应力同一截面上最大切应力发生

10、在周边各点处。发生在周边各点处。仅适用于线弹性范仅适用于线弹性范围内的等直圆轴围内的等直圆轴三、极惯性矩与抗扭截面系数的计算三、极惯性矩与抗扭截面系数的计算 1.1.实心圆截面实心圆截面 2PAdIA 3PP162IdWd 220(2d )d 432d 2.2.空心圆截面空心圆截面 4444()(1)3232DdD34PP(1)162IDWD 222(2d )Dd 2PAdIA dD3.3.薄壁圆截面薄壁圆截面 20AdRA 2P02WR 2PAdIA 302 R 极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？相同

11、面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？四、圆轴扭转破坏与强度条件四、圆轴扭转破坏与强度条件 1.1.扭转失效与扭转极限应力扭转失效与扭转极限应力 1 1）塑性材料的扭转失效）塑性材料的扭转失效 2 2）脆性材料的扭转失效）脆性材料的扭转失效 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即力即扭转屈服应力扭转屈服应力为扭转为扭转极限应力。极限应力。 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即力即扭转强度极限扭转强度极限为扭转为扭转极限应力。极限应力。 0n许用扭转切应力许用扭转切应力2.圆轴的扭转强度条件圆轴的扭转强度条件 maxmaxP()TMW 3.圆轴合理截面与减缓应力集中圆轴合理截面与减缓应力集中 1. 1.设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。 2. 2.设计时尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓设计时尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。应力集中。 对于等直圆轴：对于等直圆轴： maxmaxPTMW 根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：强度校核强度校核截面设计截面设计许可载荷确定许可载荷确定 例：例：图示阶梯形空心圆截面轴，图示阶梯形空心圆截面轴，在横截面在横截面A