静电场中的高斯定理

1、静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理 , 它反映了静电场的一个基本性质 , 即静电场是有源场 , 其源即是电荷。可表述为 : 在静电场中 , 通过任意闭合曲面的电通量 , 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的 1/ 倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为r rnòE ? ds 1/ 0qi（ 1）(S )i 1r高斯定理是用来求场强 E 分布 , 定理中 , S 是任意曲面 , 由于数学水平的限制 , 要由高斯定理计算出 E,则对由场的分布有一定的要求 , 即电荷分布具有严格的对称性 ( 若电荷分布不对称性即不是均匀的 , 引起电场分布不对称 , 不能从高斯定理求空间

2、场强分布 ,高斯定理当然仍是成立的 ) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性 , 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。 典型情况有三种 :1) 球对称性 , 如点电荷 , 均匀带电球面或球体等 ;2) 轴对称性 , 如无限长均匀带电直线 , 无限长均匀带电圆柱或圆柱面 , 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性 , 如均匀带电无限大平面或平板 ,或者若干均匀带电无限大平行平面。根据高斯定理计算场强时 , 必须先根据电荷分布的对称性 , 分析场强分布的对称性 ; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是 :1 待求场强的场点必须在高斯面上 ;2 使高斯面的各个部分或者与 E

3、 垂直 , 或者 E 平行 ;3 与 E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等 ;4 高斯面的形状应是最简单的几何面。最后由高斯定理求出场强。 高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合r曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为 R的带电球体，其电荷体密度分布为Ar(rR) ，0(rR) ， A 为大于零的常量。 试求球体内外的场强分布及其方向。解：在球内取半径为r 、厚为 dr 的薄

4、球壳，该壳内所包含的电荷为dqdV Ar 4 r 2 d r 4 Ar 3 d r在径为 r 的球面内包含的总电荷为qr4 A r 3 d rAr 4( r R)dVV0以该球面为高斯面，按高斯定理有E1 4 r 2Ar 4 / 0得到E1Ar 2 / 40 ， (rR)方向沿径向向外在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有E24 r 2AR 4/0得到2AR40 r 2， (r方向沿径向向外例题 2:有两个同心的均匀带电球面， 半径分别为 R1 、R2 (R1 R2 ) ，若大球面的面电荷密度为 ，且大球面外的电场强度为零，求： （1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。解: （1）设小球面上的电荷密度为 ，在大球面外作同心的球面为高斯面，由高斯定理：qint4 R22'4 R1'E dSS00大球面外 E 04 R224 R120解得：( R2)2R1（ 2） 大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加 :内部场强为零 ,外部相当点电荷在 rR1 区域：EE1E2000R12' 02在 R1r R2 区域： EE1E24R240r 20r2 对高斯定理的几点说明高斯定理是电磁学中