第2章+++信号分析与处理

1、第第2 2章章 信号分析与处理信号分析与处理2.1 2.1 信号的分类信号的分类 2.22.2 信号的描述信号的描述 2.3 2.3 数字信号处理基础数字信号处理基础 2.4 2.4 本章小结本章小结2.1 2.1 信号的分类信号的分类信号：表征物体或物理过程本身特性的信息。2.1.1 2.1.1 确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号1 1确定性信号确定性信号 可用数学关系式或图表来明确描述的信号，即给定一个时间值，就可得到一个确定的函数值。 单自由度无阻尼自由振动系统)sin()(00tmkxtxTo Two确定性信号分为：（1）周期信号：按一定的时间间隔重复出现的确定性信号。 包括简谐

2、周期（单频）信号、复杂周期（多频叠加，且具有一个基本重复周期）信号。(2)非周期信号 不具有周期重复性的确定性信号。 准周期信号 由一些不同频率的简谐信号合成，但组成它的简谐分量的频率比不全为有理数。ttttx4sin2)2sin(3sin)( 这种信号常出现在通信、振动系统，如由不同独立振源激起的系统响应。 瞬态信号 通常具有瞬变性。其特征是或在一定时间区间内不存在，或随着时间增长而衰减至零的信号。2.2.随机信号随机信号To 2.2 不能用明确的数学关系式来描述的信号，也无法确切地预测未来任何瞬时的精确值的信号。u平稳随机信号 其统计特征不随时间推移而变化，即与时间无关的随机信号。u非平稳

3、随机信号 不满足平稳性要求的随机信号。2.1.2 2.1.2 连续信号和离散信号连续信号和离散信号u连续信号 信号数学表达式中独立变量的取值是连续的。信号数学表达式中独立变量的取值是连续的。u 离散信号 独立变量的取值是离散的。独立变量的取值是离散的。 To 2.3u模拟信号 量化信号 自变量和幅值均连续。 自变量连续，幅值离散。 To 2.3u数字信号 被采样信号自变量和幅值均离散，也称序列。 自变量离散，幅值连续。2.1.3 2.1.3 能量信号与功率信号能量信号与功率信号信号的瞬时功率信号的能量dttxdttPtWtxRtxtP)()()()()()(222dttx2| )(|2 2功率

4、信号功率信号 能量无限，平均功率有限的信号，即满足如周期信号、常值信号、阶跃信号。1.1.能量信号能量信号当信号能量有限时，即 ，称为能量信号。如瞬变信号。222| )(|10limTTTdttxT 2.2 信号的描述2.2.1 信号的时域和频域描述方法n时域描述 主要反映信号的幅值随时间变化的关系，研究的是信号的时间响应特性。n频域描述 从频率分布的角度研究信号的结构及各种频率成分的幅值和相位关系。 To 2.3两者区别与联系：时域描述直观反映信号随时间变化的情况，频域描述则侧重描述信号的频率组成成分。无论采用哪一种描述方法，同一信号均含有相同信息量。 2.2.2 周期信号的描述1、傅立叶级

5、数 在有限区间上，任何周期函数若满足狄里赫利条件均可展开成傅立叶级数。 狄里赫利条件：周期为2的函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数收敛。1、傅立叶级数（1）三角函数形式a0：常值分量，即均值；an ：余弦分量幅值；bn ：正弦分量幅值；将上式中同频项合并其中，可见，一个周期信号是由无穷多个不同频率的谐波叠加而成一个周期信号是由无穷多个不同频率的谐波叠加而成。 1000)sincos()(nnntnbtnaatx2/2/0000)(1TTdttxTa2/2/0000cos)(2TTntdtntxTa2/2/0000sin)(2TTntd

6、tntxTb)sin()(010nnntnAatxnnnnnnbatgbaAarg22 例2-1. 求周期方波的傅立叶级数 解：傅立叶级数展开式 2/002/)(TtAtTAtx6 , 4 , 205 , 3 , 14sin2sin)(2sin)(20cos)(20)(12/0002/02/2/002/2/2/2/0nnnAtdtnATtdtnATtdtntxTbtdtntxTadttxTaTTTTnTTnTT)5sin513sin31(sin4)(000tttAtx信号可用信号可用傅立傅立叶级数中的某几项叠加来逼近。叶级数中的某几项叠加来逼近。（2 2） 指数函数形式指数函数形式 由欧拉公式

7、代入傅立叶级数的三角函数展开式将an、bn代入Cn)(21sin)(21cossincostjtjtjtjtjeejteettjte), 2, 1, 0()()()(21)(0000011010necececctxejbaejbaatxntjnnntjnnntjnnntjnnntjnnn2/2/0000)(1TTtjnndtetxTc 例2-2.求周期矩形脉冲的频谱。解： 定义 则 复利叶级数展开式tjnnntjnnnntjntjnTTtjnneTncTeCtxTncTTnTnTCxxxcTnTnTCTntntnTtjneTdteTdtetxTc00000)(sin)()(sin)sin(si

8、n)(sin)sin(2)2, 1, 0(2)2sin(|11)(10002/2/02/2/2/2/比较两种展开形式：v 复指数函数形式的幅频谱是双边谱，三角函数形复指数函数形式的幅频谱是双边谱，三角函数形式的幅频谱是单边谱；式的幅频谱是单边谱；v |c|cn n| = An/2 , c| = An/2 , c0 0 = a= a0 0v 双边幅频谱双边幅频谱(|c(|cn n| | )是偶函数，是偶函数， 双边相频谱双边相频谱 (n n )是奇函数。是奇函数。周期信号频谱的特点：谐波性：各次谐波频率是基频的整数倍；各次谐波频率是基频的整数倍；离散性：离散性：频谱离散，每一条谱线只在频谱离散，

9、每一条谱线只在nwnw0 0处有值；处有值；收敛性：收敛性：各次谐波分量幅值随频率的增加而衰减。各次谐波分量幅值随频率的增加而衰减。 一个周期为T0的周期信号，在(- T0/2, T0/2)内傅立叶级数表达式将 代入上式 X(t)由周期非周期，T0 ， 0 d ，n 0 ， ， 离散谱线连续谱线tjnnectx0)(2/2/0000)(1TTtjnndtetxTctjnnTTtjnedtetxTtx0000)(1()(2/2/02.2.3 非周期信号的描述令则 X ( f ) = 2 X ( ) dfefXtxdeXtxftjtj2)()()(21)(dtetxfXdtetxXftjtj2)(

10、)()()(dedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21()(2)( X(f)为x(t)的连续幅频谱，(f)为x(t)连续相频谱。)(Re)(Imarctan)()(Im)(Re| )(| )(|)(Im)(Re)(22)(fXfXffXfXfXefXfXjfXfXfj|X(f)|与|Cn|的区别：| |X(fX(f)|)|连续，连续， |Cn|Cn| |离散；离散；|Cn|Cn| |为信号幅值量纲，为信号幅值量纲， |X(f|X(f)|)|为信号单位频带宽上的幅值为信号单位频带宽上的幅值例2-3求矩形窗函数的频谱 gT(t)= 1 |t|T/2解:由幅值谱相位谱 )2(sin2/

11、)2/sin()(j1-)()(2/2/2/2/TcTTTTeedtedtetgGTjTjTTtjtjTT0)2(sin0)2(sin0)(| )2(sin| )(|)(21)sin(TcTcTcTGeejfTTfTjfTj 2.付利叶变换的主要性质u奇偶虚实性信号的傅立叶变换X(f )一般为复数，可将其分解为实部和虚部，即 则由共轭对称特性还可得到，则由共轭对称特性还可得到，x( (t) )的幅值谱的幅值谱X( (f )是频率的偶函数，相位谱是频率的偶函数，相位谱 ( (f ) )是频是频率的奇函数率的奇函数。所以对于实的时间函数，只需知。所以对于实的时间函数，只需知道它在道它在f00的正半

12、部分频谱函数，就等于知道的正半部分频谱函数，就等于知道了整个频谱。了整个频谱。 )(Im)(Re)(fXjfXfX由共轭对称特性还可进一步分析，若由共轭对称特性还可进一步分析，若x( (t) )为实信号，则为实信号，则可得到可得到 上式表明：上式表明：实的时间函数实的时间函数x( (t ),),它的实频谱是频率的偶函它的实频谱是频率的偶函数，它的虚频谱是频率的奇函数数，它的虚频谱是频率的奇函数。)(Re)(RefXfX)(Im)(ImfXfX和和 u线性叠加性若若 x x1 1 ( t ) X ( t ) X1 1( ( ) )， x x2 2 ( t ) X ( t ) X2 2( ( )

13、)则则 a a1 1x x 1 1( t )+a( t )+a2 2 x x2 2 ( t ) a ( t ) a1 1X X1 1 ()+ a)+ a2 2X X2 2 ( () )式中式中,a1,a2 为常数，该式说明一信号的时间函数扩大若干倍，为常数，该式说明一信号的时间函数扩大若干倍，其对应的频谱函数也扩大若干倍；线性特性还表明了任意数量其对应的频谱函数也扩大若干倍；线性特性还表明了任意数量信号的线性叠加性质：若干信号的时域叠加对应它们频域内频信号的线性叠加性质：若干信号的时域叠加对应它们频域内频谱的矢量叠加。该性质使我们可将一些复杂信号的傅立叶变换谱的矢量叠加。该性质使我们可将一些复

14、杂信号的傅立叶变换问题化为计算参与叠加的简单信号的傅立叶变换的问题，使求问题化为计算参与叠加的简单信号的傅立叶变换的问题，使求解简化。解简化。 To 2.3u对称性若若 x ( t )X( x ( t )X( ) )，则，则 X ( t) 2X ( t) 2 x ( x () )To 2.3u尺度变换性若 x(t)X()，则 x( at )(1/a)X( / a)a1 时域尺度压缩a倍，频域频带扩展a倍，幅值减小a倍；a1 时域尺度扩展a倍，频域尺度压缩a倍，幅值增大a倍； To 2.3020)()(ftjefXttxu时移性若x(t)X()，则信号时域平移一个常值，其幅频谱不变，只改变相频谱

15、。 u频移性若 x(t)X(f) 则)()(00 Xetxtju微积分特性 若x (t ) X()，则 微分特性 积分特性 在测量机械振动过程中，若测得振动位移、速度、加速度中任在测量机械振动过程中，若测得振动位移、速度、加速度中任一参数的频谱，可利用该特性得到另外两个参数的频谱。一参数的频谱，可利用该特性得到另外两个参数的频谱。 )()()(fXjdttxdnnn)(1)(fXjdttxtu卷积特性 定义：时域卷积定理：频域卷积定理 dtxxtxtx)()()()(2121)()()()(2121fXfXtxtx)()()()(2121fXfXtxtx函数及频谱函数及频谱 又称为广义函数，是

16、一种物理不可实现的理想信号。又称为广义函数，是一种物理不可实现的理想信号。 v定义 在时间内的一个矩形脉冲，其面积为1，即(t)= 1/ t|-/2| 0 其它 3.几种典型信号的频谱 当0时，(t)的极限称为单位脉冲函数。从极限角度 (t) t=0 0 t0 从面积角度1)(lim0)(dttdttv函数的采样性质 若函数与一连续函数相乘 x ( t ) (t) x（0）(t) 称为强度为x(0)的函数。同理 x (tt0)(t) x（t0）(t) 称为强度为x(t0)的函数。 该乘积在无限区间上的积分则是x(t)在时刻tt0的函数值x(t0)，此性质对连续信号的离散采样十分重要。)()()

17、()()()()()0()()0()0()()()(000000txdttttxdttxttdttxttxdttxdtxtdttxtv函数与其它函数的卷积 x(t)与(t)卷积的结果，就是在发生(t)的坐标处，简单将x(t)重新构图。)()()()()()()()()()()()(000ttxdttxtttxtxdtxdtxttxv函数的频谱 称为均匀谱均匀谱。1)()(02edtetfftj 函数的傅立叶变换对 时域 频域)()()(11)(022000ffeettfttfjftj正、余弦函数的频谱 )()(21)(212cos)()(21)(212sin00220002200000ffff

18、eetfffffjeejtftfjtfjtfjtfj周期单位脉冲函数（梳状函数） Ts：周期 频谱 nssnTtTtcomb)(),(kssskffTffcomb)(1),( 2.2.4 随机信号的描述1。概述l样本函数随机信号的单个时间历程，记做Xj(t)。l随机过程 全部样本函数的集合，记做x(t)=x1(t).xj(t)。l集合平均 将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均。 l时间平均 按单个样本函数的时间历程进行平均。niiNxtxtn111)()(1limTkTxdttxkT0)()(1liml随机过程分：平稳/非平稳随机过程 集合平均统计参数不随时间变化的随机过程称为平稳

19、随机过程。反之称为非平稳随机过程。l平稳随机过程分：各态历经随机过程/非各态历经随机过程 在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计参数相等，且等于总体统计特征，则称为各态历经随机过程。反之称为非各态历经随机过程。 TTxdttxT0)(1lim2.随机过程的主要特征参数1均值、均方值、方差 均值x：表示信号中直流分量的大小，描述随机信号的静态分量。均方值2x：描述随机信号的能量和强度。 dttxTTxT022)(1lim dttxTTxTx202)(1lim方差2x：描述随机信号的动态分量，即偏离均值的波动分量。 x：标准差 三者间关系： 22xxx To 2.31）概率密度函数 表

20、示信号幅值落在指定区间的概率。 x(t)落在区间( x, x+x)内的时间为 当样本函数的记录时间T，则x(t)落在区间( x, x+x)内的概率分布函数 而概率密度函数niixtttT121TTxxtxxPxTlim)(xTTxxxtxxPxpxTxxlimlim00)()( 概率分布函数与概率密度函数间关系X(t)的值落在(x1,x2)内的概率为dxxpxP)()()()()()(122121xPxPdxxpxtxxPxxTo 2.33.相关分析1）相关：用以描述随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间的线性依存关系的数字特征。相关系数：描述变量x和变量y之间的相关

21、程度。 E ：数学期望；xy1：表示x和y是理想的线性相关（1表示斜率为正或负）xy0：表示x和y完全线性无关22)()()(yxyxyxxyxyyExEyxE1|xy2）自相关分析 （1）概念描述信号自身描述信号自身x(t)x(t)和与自身相差一个时差和与自身相差一个时差的信号的信号x(t+)x(t+)之间的相似程度之间的相似程度。 22022020)()()()(1)()()(1)()(1)(limlimlimxxxxTTxxxTTxTxxTxRdttxtxTRdttxtxTdttxtxT则定义自相关函数公式推广：随机信号周期信号瞬变信号dttxtxRdttxtxTRdttxtxTRxTx

22、TTx)()()()()(1)()()(1)(00lim（2）性质Rx()取值范围 2 2x x -2 2x xRRx x()()2 2x x + +2 2x x =0时，Rx()达到最大值 （平均功率或均方值） 若该随机信号的均值x=0，则当=0且x=0时，两信号完全相关 22202max)()()0(1limxxxTTxxdttxRRT1)()(2xxxRn Rx(Rx() )为实偶函数为实偶函数， Rx(Rx()= Rx(-)= Rx(-)n时，时，x(t)x(t)与与x(t+)x(t+)彼此无关彼此无关 x x()0 R()0 Rx x() () 2 2x xn 周期信号的Rx()仍是

23、同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。 例：求正弦函数x(t)=Asin( t+)的Rx()。 解： 可见，正弦信号的Rx()是余弦函数，在 0时达到最大值。 Rx()保留原信号的频率和幅值信息，丢失初始相位信息。cos2)(sin)sin(1)()()(20201AdtttATdttxtxRTTxT 自相关函数可识别混淆在随机信号中的周期信号。 若随机信号中含有周期信号分量，则Rx()中必有周期分量，且很 大，Rx()幅值也不衰减；而对于随机信号，稍大Rx()幅值即衰减。 3）互相关分析（1）概念描述输入信号与输出信号之间的相似程度。yxyxxyxyTTxyRdttytxtRT)()(

24、)()()(01lim2. 性质： 取值范围取值范围 x xy y - -x xy yRRxyxy()()x xy y + +x xy y 时，时，x(t)x(t)与与y(t)y(t)彼此无关彼此无关，xyxy()0 R()0 Rxyxy() () x xy y两个统计独立的随机信号，其两个统计独立的随机信号，其 R Rxyxy（）=0=0 =0=0时，时，R Rxyxy() )不一定达到最大值，而可能在某一时刻不一定达到最大值，而可能在某一时刻=0 0时，时，R Rxyxy() )达到最大值。达到最大值。 非偶非奇函数非偶非奇函数，而是，而是R Rxyxy()= R()= Ryxyx (-)

25、(-) 两个同频周期信号的Rxy()仍是同频的周期信号，且保留了原信号的相位信息。即“同频相关，不同频不相关”例：设有两个周期信号，求Rxy() x(t)=Asin( t+) y(t)=Bsin( t+-)解： 可见， Rxy()保留了两个周期信号的A、B、 、 。)cos(21)(sin)sin(1)(0ABdttBtATRTxy To 2.34)相关函数的工程运用信号识别测速 4.信号的频域分析1）帕塞瓦尔定理能量能量等于在频域中的总表明信号在时域中的总是实函数，有得令令频域卷积定理设dffXdffXfXdttxfXfXtxdffXfXdttxtxtxtxdffXfXdttxtxfdfff

26、XfXdtetxtxfXfXtxtxfXtxfXtxtfj222212121002122121212211| )(|)()()()()()()()()()()()()()()()(0)()()()()()()()()()(),()(02） 功率谱分析 （1）自功率谱密度函数 简称自功率谱或自谱。当满足傅立叶积分条件 时，它的傅立叶变换Gx ( f ) = 2 Sx ( f ) dfefSRdeRfsfjxxfjxx22)()()()(dtRx| )(| 可见，可见，S Sx x(f(f) )曲线下与频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，曲线下与频率轴所包围的面积就是信号的平均功率， S Sx

27、x(f(f) )就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称其为自功率谱密度函数就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称其为自功率谱密度函数 。TxxTxdffsdttxTR022)()(1)0(lim 自谱和幅值谱关系2202| )(|1lim)(| )(|1lim)(1limfXTfSdtfXTdttxTPTxTTTav（2）互功率谱密度函数（互谱） dfefSRdeRfsfjxyxyfjxyxy22)()()()()()(1lim)(fXfYTfSTxy互谱和幅值谱关系（4）功率谱应用n求系统频响函数求系统频响函数)()()()()()()()()()()()()()()()()()(fNfXf

28、MfYfYfXfYfHtmtytytytntxtxfXfYfHnxnxx实际理想 相频特性频响函数的幅频特性和以及输入自谱分析可得通过输入输出的互谱，特性，得不到相频特性析可得频响函数的幅频通过输入输出的自谱分22)()()(| )(|)()(fHfSfSfHfSfSxxyxyn作为工业设备状况的分析和故障诊断的依据作为工业设备状况的分析和故障诊断的依据3）相干函数 1 1）定义）定义 评价测试系统的输入信号和输出信号间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是由输入信号所引起的响应。) 1)(0()()(| )(|)(222ffsfsfsfxyyxxyxy 2 2xyxy(f) (f) 取值有取

29、值有3 3种可能：种可能：2 2xyxy(f)(f)1 1：输出完全是由输入引起的线性响应，完全相干；输出完全是由输入引起的线性响应，完全相干；2 2xyxy(f)(f)0 0：输出完全不是由输入引起的线性响应，完全不相干；输出完全不是由输入引起的线性响应，完全不相干；002 2xyxy(f)1(f)1：系统不完全是线性的，或输出是由输入与其它干扰共同引起系统不完全是线性的，或输出是由输入与其它干扰共同引起 的，或在输出端有干扰混入。的，或在输出端有干扰混入。图中是船用柴油机油泵压油管脉冲间的相关分析。油泵转速n=781r/min，油泵齿轮齿数z=14，压油管压力脉动基频f0=182.24Hz

30、。2 2）应用：）应用：检测信号间的因果关系检测信号间的因果关系 2.3 数字信号处理基础数字信号处理： 利用计算机和专用信号处理设备，以数值计算方法对信号作采集、变换、利用计算机和专用信号处理设备，以数值计算方法对信号作采集、变换、综合、估值与识别等处理，从而达到提取用用信息并付诸于各种应用的目的综合、估值与识别等处理，从而达到提取用用信息并付诸于各种应用的目的。特点：特点：l处理离散数据处理离散数据l计算机的速度和容量有限，因此处理数据长度有限计算机的速度和容量有限，因此处理数据长度有限1 1时域采样时域采样 用周期单位脉冲序列与模拟信号相乘得到离散时间信号来完成。模拟信号模拟信号 x(t

31、) 采样序列采样序列 Ts：采样间隔 fs=1/ Ts：采样频率采样信号采样信号 nssnsTnfTfSnTtts)(1)()()(11nssssTnfXTfSfXfXtstxtx)(1)()()()()()(12.3.1 2.3.1 时域采样和采样定理时域采样和采样定理 2.2.混叠和采样定理混叠和采样定理混叠：信号频域处理时在采样频率附近出现的频率混淆现象。信号频域处理时在采样频率附近出现的频率混淆现象。原因：原因：采样间隔大，即采样频率过低，得到的离散时间序列不能正确反映采样间隔大，即采样频率过低，得到的离散时间序列不能正确反映原始信号的波形特征。原始信号的波形特征。但采样频率过高，计算机必须具有较大内存和较长处理时间。但采样频率过高，计算机必须具有较大内存和较长处理时间。措施：措施：满足香农定理。满足香农定理。频谱混叠 若采样间隔若采样间隔TsTs太大（或采样频率太大（或采样频率fsfs太低），则采样信号的频谱太低），则采样信号的频谱中的高频和低频部分发生混叠，总频谱就失去原先单个频谱的形状，中的高频和低频部分发生混叠，总频谱就失去原先单个频谱的形状，这种现象称为频谱混叠。这种现象称为频谱混叠。 采样定理采样频率采样频率f fs s必须高于信号频率成分中最高频率必须高于信号频率成分中最高频率f fm m的的2 2倍。倍。msff2在信号预处理过程中作抗混叠滤波