第4章机械振动

1、第第 4 章章 机械振动机械振动1. 简谐振动的运动特征与能量特征；简谐振动的运动特征与能量特征；2. 拍现象，相互垂直简谐振动的合成；拍现象，相互垂直简谐振动的合成；3. 阻尼振动、受迫振动和共振。阻尼振动、受迫振动和共振。1. 简谐振动的动力学方程；简谐振动的动力学方程； 2. 简谐振动的运动学方程；简谐振动的运动学方程； 3. 旋转矢量法；旋转矢量法；4. 同方向、同频率谐振动的合成规律。同方向、同频率谐振动的合成规律。掌握：掌握：了解：了解： 物体所受合外力的方向指向固定点；物体所受合外力的方向指向固定点； 离开固定点越远所受合外力越大，越近越小。离开固定点越远所受合外力越大，越近越小

2、。最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动 振动振动 ？物体在某固定位置附近作周期性的往返运动。物体在某固定位置附近作周期性的往返运动。 具体弹性的系统受到外界扰动。具体弹性的系统受到外界扰动。振动产生的原因：振动产生的原因：任一物理量在某一数值附近往复变化。任一物理量在某一数值附近往复变化。 广义振动广义振动推广：推广：简单振动简单振动？物体围绕固定点作一维直线振动。物体围绕固定点作一维直线振动。必然要受到必然要受到回复力回复力的作用。的作用。xFx回复力与回复力与x最简单的关系是线性关系：最简单的关系是线性关系：F = -kxox4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征 F复杂振动

3、复杂振动简谐振动简谐振动合成合成分解分解如：如：F = -kx线性回复力线性回复力：作简谐振动：作简谐振动设物体质量为设物体质量为m，则它作简谐振动的，则它作简谐振动的动力学方程动力学方程为：为：令令 ，得振子，得振子简谐振动微分方程简谐振动微分方程：2k =mF = ma222d x+ x = 0dtx = Acos(t +)其解为简谐振动的其解为简谐振动的运动学方程运动学方程注意：注意：“位移位移x”既可以为既可以为线量线量，也可以为，也可以为角量角量 等。等。式中式中A、 、 为常量，为常量， 其中其中A、 可由初始条件确定。可由初始条件确定。 （振动方程振动方程）：）：作简谐振动的物体

4、，它的位移作简谐振动的物体，它的位移x随时间随时间t按余弦（或正按余弦（或正 弦）规律变化。弦）规律变化。判断简谐振动的标准之一判断简谐振动的标准之一!22d xm= -kxdt 由振动方程可以得到物体（谐振子或振子）的速度与加速由振动方程可以得到物体（谐振子或振子）的速度与加速度，分别为：度，分别为： x = Acos(t+)00 x = Acos v = -Asin注意：注意： 还应结合初始条件还应结合初始条件共同确定。共同确定。初始条件：初始条件： (t=0)vdx=dt22ad x=dt速度：速度：加速度：加速度：22002vA =x+= -Asin(t +)= Acos(t + +)

5、22= - Acos(t +)2= Acos(t + )00vtan = -x 选静止平衡位置为坐标原点选静止平衡位置为坐标原点o，平衡时：平衡时：一、几种常见的简谐振动系统一、几种常见的简谐振动系统 水平放置的弹簧振子系统水平放置的弹簧振子系统振子受力：振子受力：mkxF是一个是一个理想的系统模型理想的系统模型！ 是线性回复力是线性回复力F = -kx有位移有位移x时，弹簧谐振子受力为：时，弹簧谐振子受力为：0F = mg-k(+x)l0mg = k l 竖直悬挂的弹簧振子系统竖直悬挂的弹簧振子系统mkox0lxo不记空气阻力、摩擦力、弹簧质量。不记空气阻力、摩擦力、弹簧质量。= -kx 作

6、简谐振动作简谐振动令令 ，得，得简谐振动（微分）方程简谐振动（微分）方程：2k =m222d x+ x = 0dtx = Acos(t +)选垂直纸面向外为转轴的正向，摆锤对转轴选垂直纸面向外为转轴的正向，摆锤对转轴的力矩：的力矩：c 单摆单摆mgoTM=-mg sinlo5M-mg l 线性回复力矩线性回复力矩负号表示力矩与角位移反向！负号表示力矩与角位移反向！35sin=-+-3!5!222d -mg =mdtll222d+ =0dt由转动定律得：由转动定律得：令令 ，得简谐振动微分方程：，得简谐振动微分方程：2g =l简谐振动方程：简谐振动方程： 考虑在竖直平面内作小角度（考虑在竖直平面

7、内作小角度（5）摆）摆动的单摆，摆长为动的单摆，摆长为l，摆锤质量为，摆锤质量为m。 =cos(t +)当当 5时，受时，受线性回复力矩：线性回复力矩： 复摆复摆22d -mgh = Jdt类似单摆，动力学方程为：类似单摆，动力学方程为：复摆的小角度摆动也是简谐振动。复摆的小角度摆动也是简谐振动。 复摆是一绕不过质心的水平固定轴转动的复摆是一绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。刚体。mgco 刚体质量为刚体质量为m，转动惯量为，转动惯量为J。等效于单摆：等效于单摆：摆长为质心摆长为质心c至轴心至轴心o的距离的距离h， 摆锤质量为摆锤质量为m。 oM-mghh222d+ = 0dt2mgh =J令

8、令 ，得：，得： =cos(t +)简谐振动方程：简谐振动方程：一、简谐振动的振幅、周期、频率和位相一、简谐振动的振幅、周期、频率和位相 由谐振子的振动方程由谐振子的振动方程 可见，振子的位可见，振子的位x = Acos(t+)22002vA =x+简谐振动简谐振动等幅振动！等幅振动！ 振幅振幅xA移量：移量：最大位移的绝对值最大位移的绝对值谐振子完成一次全振动所需时间。谐振子完成一次全振动所需时间。用用T标记标记周期周期振动方程为周期函数，则：振动方程为周期函数，则： x(t) = x(t+T)Acos(t +T)+T= 22T= Acos(t +)即：即：或：或：振幅由初始条件确定：振幅由

9、初始条件确定：1 =T单位时间内完成振动的次数。单位时间内完成振动的次数。频率频率=24-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学 ( 、T) 决定于系统的性质，每个振动系统有自己确决定于系统的性质，每个振动系统有自己确定的频率定的频率。 = 2用用 表示表示:单位（单位（ SI ） ：rad s-1单位时间内完成振动的次数的单位时间内完成振动的次数的2 倍倍圆频率（圆频率（角频率角频率）弹簧振子：弹簧振子：1k =2m单摆：单摆：k =mmT = 2k1g =2lg =lT = 2gl固有频率固有频率x = Acos(2t+)2x = Acos(t+)T振动方程也可表示为：振动方程也可表示为：2

10、=T即：振动的即：振动的位相相同位相相同 振动状态（振动状态（x,v）相同）相同! 在同一个周期中在同一个周期中振动状态不同。振动状态不同。 在在不同周期中不同周期中振动状态可以相同。振动状态可以相同。位置：位置：x = Acos(t+)速度：速度：v = -Asin(t +)可见：可见：t时刻的时刻的振动状态振动状态由由 t+ 确定确定。 位相（位相（相位相位） t = 0 时刻的位相：时刻的位相： 确定确定t = 0的振动状态的振动状态约定：约定：02 - 或：或：振子的振子的振动状态振动状态由（由（x,v）确定！）确定！振动的位相振动的位相初位相初位相00vtan = -xxotTTA0

11、 xv3t位相不同位相不同位相差位相差2k 12tt4t00 x0; v000 x0; v000 x0; v000 x0; v03 220 23 2 2xotT1A同相同相位相差反映两个振动之位相差反映两个振动之 间的间的步调差异步调差异！ 位相差位相差 ：两振动位相之差。：两振动位相之差。 对两对两同频率同频率的谐振动：的谐振动：初位相差初位相差1111x = A cos( t + )2222x = A cos( t + ) = 2 - 1 当当 2 - 1 = 0 当当 2 - 1 = 两振动步调相同！两振动步调相同！两振动步调相反！两振动步调相反！2AxotT1A反相反相2A位相差：位相

12、差： = ( 2t + 2) - ( 1t + 1)称称x2比比x1超前超前（或（或x1比比x2落后落后）速度：速度：加速度：加速度：v = Acos(t+)22a = Acos(t+ )位移：位移：x = Acos(t+)v比比x领先领先 /2a比比x领先领先 13 =2xot2322振子的振子的x、v、a的位相的位相比较：比较： 若若 0 2 - 1 例：如图，证明密度计的运动为简谐振动，求角频率。例：如图，证明密度计的运动为简谐振动，求角频率。解：解：设密度计截面设密度计截面S，质量质量m，液体密度，液体密度 不考虑黏滞阻力。不考虑黏滞阻力。以密度计平衡位置为原点建立以密度计平衡位置为原

13、点建立ox 坐标系，当将密度计下压坐标系，当将密度计下压 x 高度时受力：高度时受力：F = -xSg22d xm= -xSgdt22d xSg+x = 0dtmSg =mf 是是线性回复力，运动为简谐振动。线性回复力，运动为简谐振动。动力学方程动力学方程为：为：mgoxx系统等效于劲度系数系统等效于劲度系数 k = 29.4 N/m 的弹的弹簧，其振动周期为：簧，其振动周期为：例：如图，将例：如图，将294.0g的水银注入的水银注入U形玻璃管，静止时两侧水形玻璃管，静止时两侧水 银柱等高。忽略水银与管壁的摩擦，银柱等高。忽略水银与管壁的摩擦， 证明水银柱受证明水银柱受 扰动后其液面作简谐振动

14、；扰动后其液面作简谐振动；求求振动周期。（已知每振动周期。（已知每 厘米水银柱的质量为厘米水银柱的质量为15.0g）解：解：如图，以平衡位置为原点，向上建立如图，以平衡位置为原点，向上建立ox坐标系。当坐标系。当液面位移为液面位移为x时，水银柱所受力为时，水银柱所受力为F，则：，则：F =F-2x g .().15 0= -x1029 8 即：水银柱受线性回复力作用，其液面作简谐振动。即：水银柱受线性回复力作用，其液面作简谐振动。mT = 2k -3294.0 10= 229.4 . 0 63s = -29.4xxoFoo o 例：如图，在半径为例：如图，在半径为a的实心球中挖去一半径为的实心

15、球中挖去一半径为a/2的球形空的球形空 腔，其球心距实心球心的距离为腔，其球心距实心球心的距离为a/2。将该球放在光滑。将该球放在光滑 的水平面上处于平衡位置，求证：的水平面上处于平衡位置，求证：该球以小角度偏离该球以小角度偏离 平衡位置时能否作简谐振动；平衡位置时能否作简谐振动； 如能，求如能，求振动周期。振动周期。oo o 即两串联弹簧等效一个弹簧，其频率为：即两串联弹簧等效一个弹簧，其频率为：1212kx =xk +k12012k k =m(k +k )01 =km00 = 212112k kk1=m(k +k )2m211k =k3例：例：劲度系数为劲度系数为k1的轻弹簧垂直悬挂质量为

16、的轻弹簧垂直悬挂质量为m振子，振子，若在振若在振 子和弹簧之间串接另一轻弹簧，使系统的频率减少一子和弹簧之间串接另一轻弹簧，使系统的频率减少一 半。问串联弹簧的劲度系数半。问串联弹簧的劲度系数k2应是应是k1的多少倍？的多少倍？得得m所受力：所受力： 弹簧弹簧1的原频率：的原频率：要使：要使：有：有：解：以解：以m的平衡位置为原点建立的平衡位置为原点建立ox坐标。设坐标。设m处处于于x时弹簧时弹簧1、2分别伸长分别伸长 x1、 x2，即：，即：两弹簧连接点处的弹力：两弹簧连接点处的弹力：m1k2koxx由上两式得：由上两式得：22F = -k x12x +x = x1122k x = k x1

17、212k kk=+k-x得：得：k1=k2？例：如图，两劲度系数分别为例：如图，两劲度系数分别为k1=3k2=30N/m的轻弹簧自然伸的轻弹簧自然伸 长，与质量长，与质量m=75g的物体连接置于光滑的水平面上。的物体连接置于光滑的水平面上。 试证该系统能作简谐振动；试证该系统能作简谐振动；求物体振动的频率；求物体振动的频率；为为 使物体振动起来，给它一个向右的初速使物体振动起来，给它一个向右的初速3m/s，求物体的，求物体的 振动方程。振动方程。12F = F = F121212FFx = -x = -kk；12x = x +x1212k kkF-+k=x1k2koxx由胡克定律有：由胡克定律

18、有： 即：即： 解：解：取平衡位置为坐标原点，建取平衡位置为坐标原点，建立立ox坐标系。当物体的位移为坐标系。当物体的位移为x时，时，设弹簧设弹簧1、2的伸长量分别为的伸长量分别为x1、x2。由于物体受力等于弹。由于物体受力等于弹簧簧1或弹簧或弹簧2的弹性力，即有：的弹性力，即有：线性回复力，能作简谐振动线性回复力，能作简谐振动12FF= -kk1212k +k= -Fk k可见两弹簧等效于劲度系数为可见两弹簧等效于劲度系数为 的弹簧，得物体的弹簧，得物体1212k kk +k1212k k =(k +k )m00t = 0:x = 0v = 3m s，2200vA =x +()00vtg =

19、 -x 3x = 0.3cos(10t +)(m)2初始条件为：初始条件为：振动方程：振动方程：则：则：振动的频率为：振动的频率为：10 30=10(rad/s)(10+30) 0.07523=0+() = 0.3(m)103 =2解：解：当子弹穿过后摆锤的最大偏转角当子弹穿过后摆锤的最大偏转角，则，则摆锤作简谐振动。设子弹穿过后摆锤获得初始角摆锤作简谐振动。设子弹穿过后摆锤获得初始角速度为速度为 0，最大偏转角为，最大偏转角为 m。例：如图，质量例：如图，质量M=100g摆线长摆线长l =1m的单摆处于静止状态。的单摆处于静止状态。 若一质量若一质量m=10g的子弹，以的子弹，以v0=100

20、m/s的速率射穿摆锤的速率射穿摆锤 而过，速度减为而过，速度减为v=98m/s。试证明摆锤随后作简谐振试证明摆锤随后作简谐振 动；动；求简谐振动方程。求简谐振动方程。00mv = J +mvll ；00v - v =10 l 20m= arccos(1-)2gl0vmv得：得：子弹射穿过程子弹射穿过程角动量守恒角动量守恒，摆锤的转动过程机，摆锤的转动过程机械能守恒（静止摆锤位置为势能零点）：械能守恒（静止摆锤位置为势能零点）：100-98= 0.2(rad/s)10 120m1J= Mg (1-cos )2l 20.2= arccos(1-)2 9.8g =l00t = 0: = 0 = 0.

21、2rad s，00tan = - 3 = 0.06cos(3.13t+)(rad)2最大偏转角最大偏转角 m即为振幅即为振幅 初始条件：初始条件：单摆角频率：单摆角频率：作简谐振动作简谐振动振动方程：振动方程：om3.669.8=3.13(/s)l 有有：3 =2 0.06rado二、二、简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法：解析法：2. 曲线法：曲线法：x = Acos(t+)3. 旋转矢量法旋转矢量法 旋转矢量旋转矢量 （质点的位矢）质点的位矢）A 考虑一质点在半径为考虑一质点在半径为A的的圆上圆上作匀速圆周运动，角速作匀速圆周运动，角速度为度为 。t 时刻质点在时刻质点在x轴

22、上投影点轴上投影点p的坐标为：的坐标为：At = 0At =tt +t=0时刻时刻 跟跟x轴夹角为轴夹角为 。Ax = Acos(t+)则则t时刻，时刻， 与与x 轴的夹角为轴的夹角为 t+ 。Axp(x)A 直观地直观地Axt 曲线曲线t +2Att +p(x)旋转矢量旋转矢量 端点的速度端点的速度在在x轴上的分量也就是作轴上的分量也就是作A2t +vxv = Acos(t+)2xvt时刻，时刻， 与与x 轴的夹角为：轴的夹角为：v 质点的速度质点的速度 在在x轴上的分量轴上的分量xvvt时刻时刻 在在x轴上的分量为：轴上的分量为：v简谐振动简谐振动p点的速度。点的速度。oxAtt +p(x

23、)t + at + t时刻质点向心加速度在时刻质点向心加速度在x轴上的分量为：轴上的分量为：旋转矢量旋转矢量 端点的向心加速度端点的向心加速度在在x轴上的分量轴上的分量A2xa = Acos(t+)xa2na = At时刻，时刻， 与与x 轴的夹角为：轴的夹角为：a 质点的向心加速度质点的向心加速度 在在x轴上的分量轴上的分量axa即是作简谐振动即是作简谐振动p点的加速度。点的加速度。ox40= 20(Hz)2 0.05 例：如图，质量例：如图，质量m=0.05kg的振子在光滑的水平面上振动，的振子在光滑的水平面上振动， 振幅振幅a=0.1m，弹簧劲度系数，弹簧劲度系数k=40N/m。当振子运

24、动至。当振子运动至 最大位置时，另一等质量的滑块以速率最大位置时，另一等质量的滑块以速率u=4m/s沿沿ox轴轴 负向与之碰撞并粘在一起。求：负向与之碰撞并粘在一起。求：新系统的振动方程；新系统的振动方程； 新振子第一次回到碰撞位置所用时间。新振子第一次回到碰撞位置所用时间。解：解：滑块、振子、弹簧组成新振动滑块、振子、弹簧组成新振动系统。新振子质量为系统。新振子质量为2m，则新振动系，则新振动系统的角频率：统的角频率：k =2m0m(-u) = 2mv2200vA =x +()auxo以碰撞时刻为计时起点，则新振子的初位置：以碰撞时刻为计时起点，则新振子的初位置：x0=0.1m由完全非弹性碰

25、撞，设新振子的初速度由完全非弹性碰撞，设新振子的初速度v0，有：，有：则新振子的振幅：则新振子的振幅：0v = -u 2 = -2m s22-2=0.1 +() = 0.1 20.14(m)200v = -Asin 00 xcos =Ax = 0.1 2cos(20t +)(m)43 =2 = 20(rad s)t =op=0.1 oA=0.1 2；xo 旋转矢量法旋转矢量法：作旋转矢量图，旋转矢量：作旋转矢量图，旋转矢量 应在第一象限。应在第一象限。直角三角形直角三角形opA中中：新振子的振动方程：新振子的振动方程：新振子第一次回到碰撞位置，旋转矢量转过角度新振子第一次回到碰撞位置，旋转矢量

26、转过角度:旋转矢量的角速度：旋转矢量的角速度：新振子所用时间：新振子所用时间：新振子的初位相：新振子的初位相：00vtan = -x-2= -=120 0.15 =or44 = 43 2=0.24(s)20pAB有：有：0.12=20.1 2 =4t=1s时时v=0，则：，则：即：即：在在Rt opA中中：vo( )p v例：如图为某振子简谐振动的例：如图为某振子简谐振动的vt的的 关系曲线。试求振子的振动方程。关系曲线。试求振子的振动方程。3-31.5o1t s-1v (m s )A解：设解：设 v 的振动方程为：的振动方程为：作关于作关于 v 的旋转矢量图。的旋转矢量图。0mvcos =v

27、 = -3mv = v cos(t +)v = 3cos(t-)3. 1 5=30 = 3cos(-)35 =6 即：即：()0-3 5v = 3cos(t-)63 dx=dt5dx =3cos(t-)dt63 185x =cos(t-)c5656 () 1855x =cos(t-) m566得：得： t=1s时时x=A= ，则：，则：c = 0 185得振动方程：得振动方程：作旋转矢量图：因作旋转矢量图：因01s时间段振子速度时间段振子速度从从v0vm0，因此，因此t=0时旋转矢量在第三时旋转矢量在第三象限，有：象限，有：v =Acos(t + 2) mmv2 = v cos( + 2) =

28、 2- = 5 6 =tmvA =1857x =cos(t +)(m)566xot = 0由图知由图知vm= A=3，t=0时时v0=vm/2，即：即：振动方程：振动方程： 另法：设简谐振动方程为：另法：设简谐振动方程为：则：则：x = Acos(t +) sin = -1 2则：则：01s时间段旋转矢量转过的角度为：时间段旋转矢量转过的角度为：5 65=16318=(m)5 65 = 7 6or11 6 = 7 63-31.5o1t s-1v (m s ) 动能：动能：2k1E =mv2221=kA sin (t+)24-3 简谐振动的能量简谐振动的能量 势能：势能：2p1E =kx2221

29、=kA cos (t+)2v = -Asin(t +)2k =mt+T2ppt11E =E dt =kAT42kp1E = E =kA4平均值：平均值：t+T2kkt11E =E dt =kAT4 机械能：机械能：机械能守恒机械能守恒!21=kA2kpE = E +Ex = Acos(t +)以弹簧振子为例以弹簧振子为例1=E2 势能位移图势能位移图 KPE = E +E例：振子例：振子质量为质量为0.25kg的弹性的弹性振子系统，振子系统，开始振动时具有势开始振动时具有势 能能1.2J和动能和动能0.8J，弹簧的，弹簧的倔强系数倔强系数k=25N/m。求：求： 振幅；振幅；动能等于势能时动能

30、等于势能时物体的位置；物体的位置；位移为振幅位移为振幅 的一半时的动能和势能；的一半时的动能和势能；物体物体经平衡位置时的速度经平衡位置时的速度。 解：解：系统总能量：系统总能量：动能和势能各占总能量一半：动能和势能各占总能量一半：位移为振幅的一半：位移为振幅的一半：=1.2+0.8= 2.0J则：则：21=kA22EA =k22=25 .= 0 4m2p1E =kx2()2p11E =kA222x =A2 21 1=kA2 2（）k3E =E41=E4平衡位置时平衡位置时：. 0 28 .= 0 5 J.=1 5 J2k1E =mv2= E2Ev =m22= 4m s0.25 4-4 简谐振

31、动的合成简谐振动的合成振动叠加原理振动叠加原理主要讨论两种叠加形式：主要讨论两种叠加形式： 平行简谐振动叠加平行简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率 垂直简谐振动叠加垂直简谐振动叠加同频率同频率不同频率不同频率力的叠加原理：力的叠加原理：振子同时受到多个线性回复力的作用振子同时受到多个线性回复力的作用 时，各回复力将产生各自的分振动；时，各回复力将产生各自的分振动；振子实际的振动是各分振动位移矢量的振子实际的振动是各分振动位移矢量的 叠加合成。叠加合成。反过来：一个复杂的振动可以分解成几个简单的分振动。反过来：一个复杂的振动可以分解成几个简单的分振动。物体受多个力的作用时，各个分力产生物体

32、受多个力的作用时，各个分力产生各自的加速度；物体的实际运动状态是各自的加速度；物体的实际运动状态是各分加速度引起的运动状态的合成。各分加速度引起的运动状态的合成。应用到振动系统：应用到振动系统：一、同方向同频率的简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成分振动分振动 :x1=A1cos( t + 1)合振动合振动 :合振动是简谐振动，其频率仍为合振动是简谐振动，其频率仍为 ！x =A cos( t + )x2=A2cos( t + 2)x = x1+ x22212122111221122A =A +A +2A A cos( - )A sin +A sintg =A cos +A cos其中

33、：其中：A22xx1A2Aox11x46页页分析合振动的振幅：分析合振动的振幅：若两分振动同相若两分振动同相 21= 0 or 2 若两分振动反相若两分振动反相 21= 如果如果 A1=A2 A=0则则A=A1+A2则则A=|A1-A2|如果如果 A1=A2 A=2A122121221A =A +A +2A A cos( - )1212A -A A A +A若若 21取值为其它情况，则有：取值为其它情况，则有：可见：可见：位相差在同频率简谐振动的合成中起决定性作用！位相差在同频率简谐振动的合成中起决定性作用！ 两分振动相互减弱两分振动相互减弱 两分振动相互加强两分振动相互加强例：有两个同方向同

34、频率的简谐振动，其合成振动的振幅为例：有两个同方向同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m，位相与第一振动的位相差为，位相与第一振动的位相差为 /6，已知第一振动，已知第一振动 振幅为振幅为 ，求第二振动的振幅，以及两振动的位，求第二振动的振幅，以及两振动的位 相差。相差。222211A = A + A -2A Acos30说明说明A1与与A2间夹角为间夹角为 /2， 即两振动的位相差为即两振动的位相差为 /2。0.1 3 m解：由题意作旋转矢量图，由图知：解：由题意作旋转矢量图，由图知：22= (0.1 3) +(0.2) -2 0.1 30.2 cos= 0.016得：得：2A =

35、 0.1m22212A = A + A合振动的初位相：合振动的初位相：221212A =A +A +2A A cos( 3)22= 0.1 +0.05 +2 0.1 0.05 0.5=0.13(m)11221122A sin +A sintan =A cos +A cos22222A sin( 2)+A sin( 2+ 3)5 3= -2A cos( 2)+A cos( 2+ 3)3o-1o5 3 =180 -tan ()109.111.90rad3x = Acos(t+) = 0.13cos(100t+1.9)(m)1A2AoxA 3例：振子同时参与两个同方向同频率的简谐振动，其角频例：振子

36、同时参与两个同方向同频率的简谐振动，其角频 率率 =100Hz，振幅，振幅A1=2A2=0.1m，初位相差，初位相差 2- 1= /3， 已知第一振动的初位相已知第一振动的初位相 1= /2。求合振动方程。求合振动方程。见图，合矢量在第二象限，则初位相为：见图，合矢量在第二象限，则初位相为：合振动方程为：合振动方程为： 解：由题意作旋转矢量图，由图知：解：由题意作旋转矢量图，由图知：合振动：合振动：当当 2 1时：时： 2 - 1 2 + 1二、同方向不同频率的简谐振动的合成二、同方向不同频率的简谐振动的合成合振动可看作合振动可看作“振幅缓变的简谐振动振幅缓变的简谐振动” x = x1+x2

37、合振动不是合振动不是简谐振动简谐振动2121 - += 2Acos(t) cos(t+)2221 +x = A(t)cos(t+ )221 -2以低频以低频 随随t缓变缓变 21 +2以高频以高频 随随t快变快变 分振动分振动 :x1=Acos( 1t + )x2=Acos( 2t + )21 -2Acos(t)2振幅：振幅：振幅缓变的频率：振幅缓变的频率：21 -21 +x = A(t)cos(t+)21拍拍21 -2Acos()t2振幅：振幅： 21 -A(t) = 2Acos()t2合振动的振幅出现周期性变化合振动的振幅出现周期性变化的现象称为的现象称为拍拍。振幅每变化一个周期振幅每变化

38、一个周期即称为即称为一拍一拍。单位时间内拍出现的次数单位时间内拍出现的次数称为称为拍频拍频。 2121 -= - 2拍振幅角频振幅角频三、垂直方向同频率简谐振动的合成三、垂直方向同频率简谐振动的合成分振动：分振动：x = Axcos( t+ x)y = Aycos( t+ y)222yxyx22xyxyxyxy+-2cos( - ) = sin ( - )AAA A振子位于振子位于xy平面内运动，平面内运动， 为：为：yxAy =xA 当当 y- x=0、 时，轨迹方程：时，轨迹方程：振子作简谐振动，振动频率与分振动相同。振子作简谐振动，振动频率与分振动相同。直线直线2222xyxy+=1AA

39、当当Ax=Ay时轨迹则为圆！时轨迹则为圆！ 当当 y- x= /2、3 /2时，轨迹方程时，轨迹方程:正椭圆正椭圆当当 y- x= /2时，时，因因y轴分量超前轴分量超前x轴分量，此时振子在轴分量，此时振子在 轨迹上沿顺时针方向旋转，运动周期与分振动相同。轨迹上沿顺时针方向旋转，运动周期与分振动相同。yx3 - = 0424xoyxoyxoyxoyxoyxoyxoy振动方向垂直、同频率两简谐振动的合成振动方向垂直、同频率两简谐振动的合成xoyyx537 - = 424四、垂直方向不同频率简谐振动的合成四、垂直方向不同频率简谐振动的合成在在xoy平面，其合运动轨迹跟两分振动的频率、初相平面，其合

40、运动轨迹跟两分振动的频率、初相 位有关，一般轨迹曲线不稳定、非闭合。位有关，一般轨迹曲线不稳定、非闭合。当两振动的频率成当两振动的频率成整数比整数比，轨迹曲线才是稳定、闭合。，轨迹曲线才是稳定、闭合。位相差：位相差： = ( 2t + 2) - ( 1t + 1)随时间变化。随时间变化。yx : = 1:21:32:3李萨如图形不同李萨如图形不同 两分振动的频率比不同两分振动的频率比不同 判断两分振动的频率。判断两分振动的频率。李萨如图形可以应用到电子技术中测量频率。李萨如图形可以应用到电子技术中测量频率。 轨迹称为轨迹称为1. 阻尼振动阻尼振动*4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共

41、振共振阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼：消耗振动系统能量的原因。在流体（液体、气体）中低速振动的物体，所受阻力：在流体（液体、气体）中低速振动的物体，所受阻力： ：阻力系数：阻力系数rdxf = -v = -dt 当振动系统受到外界的阻力作用，振幅不断衰减，这样当振动系统受到外界的阻力作用，振幅不断衰减，这样的振动称为的振动称为阻尼振动阻尼振动。 22d xdxm= -kx-v = -kx-dtdt振子的动力学方程为振子的动力学方程为： 2202d xdx+2+ x = 0dtdt ：阻尼系数：阻尼系数 0：无阻尼时振子系统的固有角频率：无阻尼时振子系统的固有角频率令令 ，即：，即：20k =2 =mm，如：摩擦、辐射、如：摩擦、辐射、弱阻尼作用弱阻尼作用 ( ：过阻尼运动：过阻尼运动特点：振子缓慢地从特点：振子缓慢地从初始位置向平衡位置初始位置向平衡位置运动，运动，无周期性无周期性。弱阻尼与过阻尼弱阻尼与过阻尼 之间的之间的状态状态!0 = ：临界阻尼运动：临界阻尼运动0 （ ）0 = 2. 受迫振动受迫振动振动系统受周期性外来振动系统受周期性外来策动力策动力作用形成的振动。作用形成的振动。202d xdxm= -kx- + F cosptdtdt弹性力弹性力 阻尼力阻尼力策动力策动力22002d xdx+