第02讲运动学

1、第二讲 运动学运动的分解：固定坐标，瞬时坐标 （1、2、3、4、5）速度和加速度的关联性 （6、7、8、9）相对运动ACABBCvvv两线交点的运动 （12、13）矢量投影法 （14、15）（10、11） 1.轰炸机在h高处以v0沿水平方向飞行，水平距离为L处有一目标。(1)飞机投弹要击中目标，L应为多大？(2)在目标左侧有一高射炮，以初速v1发射炮弹。若炮离目标距离D，为要击中炸弹，v1的最小值为多少？(投弹和开炮是同一时间)。 3(1)炸弹飞行时间2htg(2)在地面参照系中，炮弹和炸弹做的都是曲线运动，不易研究我们可以取炸弹为参照物，只要炮弹的合速度指向飞机即可在炸弹参照系中，不用考虑g

2、，炮弹有一水平向左的速度v0和v1，要v0和v1的合速度沿BA方向，而且又要v1最小，显然要v1垂直于BA，此时由v0t=L可得02hLvgv1取这个最小值的条件是炸弹尚未落地，即炮弹的飞行时间要小于炸弹飞行时间将L代人，即： sin001022220v hv hvvhLD2hhvDgcos222200hLDhLD2htvvLDg220ghDv2hD(3)若*炸弹平抛炮弹斜抛可解得最后炮弹恰好击中它，此时v1最小。在地面系中则只能在炸弹刚落地时，min222202200220gghDhDv2h2hDvv hghDv2hD2hhvDg(sin )/1t2h/g2vgsincos/21D2vg/(

3、)221vg2hhD/() ()/220vg2hhDD 2.灯挂在离地板高h、天花板下H-h处。灯泡爆破，所有碎片以同样大小的初速度v0朝各个方向飞去，求碎片落到地面上的半径R。(可认为碎片与天花板的碰撞是弹性的，与地面是完全非弹性的。) 若H =5m，v0=10m/s，g = 10m/s2,求h为多少时，R有最大值并求出该最大值。 3(1)假设碎片不会碰顶，应有此时时，可见，当配方()22022 vghtg()()222222000222 vghv1gtv2ghR4gg()2 4222201g tvgh thR4(2)若h不满足上述要求，则以角飞出的碎片将撞击天花板，飞行轨迹发生变化此时，抛

4、得最远的碎片应该是未撞击天花板而最高点恰好和天花板相切的碎片这时有由以上三式可解得： 即以上假设要求(3)因为 所以最后的结果是当h=375m时，R有最大值1299m求极值，可得当 h = 3.75m时R有极大值下面再考虑碎片碰顶的情况此时所以在不碰顶时，h越大R越大h可取的最大值是 3.一质量为的小球自离斜面上处高为的地方自由落下。若斜面光滑，小球在斜面上跳动时依次与斜面的碰撞都是完全弹性的，欲使小球恰能掉进斜面上距点为的处小孔中，则球下落高度应满足的条件是什么？（斜面倾角为已知）解：取如图所示的x-y坐标，小球第一次弹起的速度为v0ax= g sin, ay = -gcosv0 x= v0

5、 sin,v0y= v0cos 相邻两次与斜面的碰撞之间的时间0022cos2t = cosoyyvvvagg小球在x方向上作匀加速运动，第一次弹起的距离220114sin2oxvxvta tg 以后每碰一次，都比前一次增加2204sinxvxatg 因此 n 次碰撞下行的总距离111111202.1112.1221sinSxxxxxxnxn nnxnxnxxn nvg 又20241 sinSvghhnNn n 4.速度v0与水平方向成角抛出石块，石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小恒定的速率v0沿同一轨道飞行。问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计。解：蚊子作匀速率运动，因此只有

6、法向加速度a石子飞行高度220sinH2vg在 / 2 处的速度： vx=v0cos vy= gH飞行方向= 1tanyxvv可得 tantg= 2 g的法向分量 an = g cos 这就是石子此时的法向加速度，因此有coscos2222xy0vvvgHg可以得到蚊子的向心加速度20nva 5.快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被风吹脱，风沿着快艇以恒定的速度沿与湖岸成 的角飘去。你若沿湖岸以速度行走或在水中以速度游去，（1）人能否赶上快艇？（2）要人能赶上快艇，快艇速度最多为多大？3（两种解法）原解：设人先在岸上跑t1，再在水中游t3（如图）,如果t30 ，故当

7、0.49t1t22.59t1 时能追上。 原解 ：用矢量图解：从O点开始，过了t1秒，人到A点，艇到B点。将人在水中的速度沿OB和AB两个方向分解，并使其沿OB方向的分量v2恰好等于v0，那么人和艇在OB方向上相对静止，靠v2人就一定能追上艇。(关键是上述分解能否进行)OABAED在下图中 故有120AEOAvvOBv 要求20vv 有 AE=v1(定值) 再看角，显然，v0越大，越大，但太大了，v2就可能够不到EC，因此，要求v2能够上EC的最大的角。在直角 中，由于AEC1242vv，故max=30 0max222.8km/hcos45vv=60-15=45 2v故（即v0）的最大值为：v

8、1t1v2(t-t1)vmt利用费马原理可知。最省时的追赶路线是sinsin012v90v可得=300。在位移中用正弦定律由()sinsin1 11100v t2 ttt= 3t4515可得sin/./m1 10mv tv t453 2v2 2m s2 83m s代入可得只要船速v0vm，总可以追上。又解： 6.已知：如图所示装置，v1，求v2OABCOABC因为O点围绕A点做圆周运动，所以V的方向垂直于OA，于是由O、B两点速度关联有：cos()01v90v同样，由O、C两点速度关联有：)2v cos(v由以上两式可解得：cos()sin()21vv 7.如图所示，合页构件由两菱形组成，边长

9、分别为L和L，若顶点以匀加速度水平向右运动，当BC垂直于OC时，A点速度恰为v，求此时节点和节点C的加速度各为多大?思考：如果是在OC和BC成一般角的时候呢？ 2233BAaaa 因为OB的长度总是OA长度的2/3，所以02233BAvvv0232Bcvvv2cvaCOC点的速度沿CB方向： C点的向心加速度: a/a3a/a222/939AcvaaaaaL C点的切向加速度 和向x方向投影之和等于 ，可求出。 8.一根长为l的薄板靠在竖直的墙上。某时刻受一扰动而倒下，试确定一平面曲线 f (x,y) = 0，要求该曲线每时每刻与板相切。(地面水平)。 设某一时刻，A、B两端的速度分别为vA和

10、vB,那么有 因为要求曲线处处与杆相切，则杆上该切点C的速度方向一定是沿杆方向的设C点离A端的距离为a，x、y方向的分速度分别为vA和vy，那么应该有 因此该曲线的参数方程为 曲线的直角坐标方程由有 9.一三角板两直角边分别长a、b。开始时斜面靠在y轴上，板面垂直于墙，然后A、B分别沿y轴和x轴运动。求斜边完全与 x 轴重合时，C点所经的路程。 BabCAyxO(1)任意时刻，A、B、C、O四点共圆，因此有是一个定值，即C点始终在 y=tanx 直线上运动 (2)由关联速度可知，C点的速度vC和B点的速度vB沿BC的分量必须相等同理，vC和vA沿AC的分量也必须相等因此，当BC也垂直于x轴时，

11、vC=O这个位置就是C点由向上运动转而向下运动的转折点所以C点经过的总路程 COBCAB ()()()2222S2abaab2 abab 10.一只船以4m/s的速度船头向正东行驶，海水以3m/s的速度向正南流，雨点以10m/s的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度列式水人地水雨地雨人VVVV水地地水VV,人水水人VV2。作图：如右图3。计算smBCDCBD/5432222smBDABAD/555102222smV/55雨人方向可用BDC和ADB来表示A 11。一滑块p放在粗糙的水平面上，伸直的水平绳与轨道的夹角为，手拉绳的另一端以均匀速度v0沿轨道运动，求这时p的速度和加速度。 2sin

12、10vvntPaaaPQPQvvv地地cos0vv解：由于水平面很粗糙，不沿绳方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿绳的方向那么P的速度在Q系中，P有一个垂直于PQ的速度 现取Q为参照系因为Q无加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度sin22201nvvall因为很小，所以 cos=1，sin=，因此cossincos200lvtvat以上的at，对自学过高等数学的同学，很容易通过求导得出因此tvtvtvtvatsinsincoscossinsinsinsin0001sinsincossin1 2444222000p22vvvalll 12. 如下图，v1、v2、已知

13、，求交点的v0.2解1：在AAO中算出OA在OBB中算出OB（=AO）在中算出解：速度叠加法令1不动，交点在1上的速度 v2A=v2/sin;令2不动，交点在2上的速度v1A=v1/sinAAvvv210220121 22cos/sinvvvv v 13两个半径为R的圆环，一个静止，另一个以速度v0自左向右穿过。求如图的角位置（两圆交点的切线恰好过对方圆心）时，交点A的速度和加速度。 012xvv02sinAvv解：A沿圆环运动，其x方向分量又A在水平方向匀速运动ax = 0,可将a分解在切向at和法向an，有：22024 sinAnvvaRR20sin4 sinn3avaRcossinnta

14、a0( 也可用微元法求vA) 14.缠在轴上的线被绕过滑轮后，以恒定速度拉出。这时线轴沿水平平面无滑动滚动。求线轴中心点的速度随线与水平方向的夹角的变化关系。线轴的内、外半径分别为和。解：轴上A点同时参与两个运动：一个是O点的平动（速度为v），另一个是围绕O点的转动，速度为 r，因为轮和地面之间无滑动，所以有 Rv即 AvRr 将上式投影到AB线的方向上， 0vvcosr将 = v/R 代入，可求得 0cosRvvrR特殊地，当 RcosrR即 r)/R-(Rcos时， 0vv 有 15.一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动(如图)当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求此时竖直杆运动的速度和加速度2(1)取半圆柱体作为参照系在此参照系中，P点做圆周运动，即V杆柱的方