“费马点”与中考试题

1、“费马点”与中考试题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点一一就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费尔马的结论：对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120 o的点，对于有一个角超过 120 o的三角 形,费马点就是这个内角的顶点.下面简单说明如何找点 P使它到ABC三个顶点的距离之和 PA+ PB+ PC最小？这就是所谓的费马问题解析：如图1 ,把小PC绕A点逆时针旋转60 。得到AAP 'C',连接PP'.则MPP'为等边三角形， AP= PP ：P C = PC,所以 PA+PB+PC= P

2、P '+ PB+ P C点C'可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60。而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P '、C '四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.这时 ZBPA=180 /JAPP=180 o -60 120 0小 PC=ZA P C =180 ° ZAP P =180-60 120 °ZBPC =360 ° BPA- ZAPC =360120 120 120因此，当 AABC的每一个内角都小于120 o时，所求的点P对三角形每边的张角都是120 °可在AB、BC边上分别作120。的弓形弧，两弧在三角形内的

3、交点就是 内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,P点；当有解决问题的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考离之和的最小值为 J2+乔，求此正方形的边仁G例1（2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E至UA、B、C三点的距图2图3分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到 4ABC三个顶点的距离 之和，这 实际是费尔马问题的变形，只是背景不同 .解如图2,连接AC,把加EC绕点C顺时针旋转60°得到二FC,连接EF、BG、AG,可知 EFC'

4、八AGC都是等边三角形，贝U EF=CE.又 FG=AE,?AE+BE + CE = BE+EF + FG （图 4）.?屈、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60。所得）E、F两点都在BG?线段BG即为点E至UA、B、C三点的距离之和的最小值，此时上（图3）设正方形的边长为 a ，那么a.BO =CO = a , GC= 2a , GO=2 2? BG=BO + GO = - 2a + a .2 2?星到A、B、C三点的距离之和的最小值为.6 .a + a= - 、 2 小 ，解得a =2 . 2 2注本题旋转公AEB、ABEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.例2 （2009

5、年北京中考题）如图4,在平面直角坐标系 xOy中，从BC三个顶点的一1坐标分别为A -6,0 , B 6,0 , C 0,4、3,延长AC到点D,使CD=?AC,过点D作DE /AB 交 BC 的延长线于点 E.（ 1 ）求 D 点的坐标；（2） 作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线kx b将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3 ） 设 G 为 y 轴上一点， 点 P 从直线 y 二 kx ? b 与 y 轴的交点出发， 先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的

6、2 倍， 试确定 G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短 .分析和解：（ 1 ） D 点的坐标（ 3, 6 、3 ）（过程略） .（2）直线BM的解析式为y二-八3x 6.3（过程略）解法1 ?/ BQ = AQ, .'MQ + 2AQ最小就是 MQ + AQ + BQ最小，就是在直线 MO 上找点G边三角形的信息，考虑作旋转变换ZWIM B 都是等边三角形，则 QQ =BQ.又 M Q =MQ?MQ + AQ + BQ= M Q + QQ +AQ.（3）如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在.设Q点为y轴上一点，P在y1使他到A、B、M三点的距离和最小?至此，

7、再次发现这又是一个费尔马问题的窈，注意到题目中等5),可知4QQ B、?/ /四、M为定点，所以当Q、Q两点在线段A M上时，MQ + AQ+ BQ最小.由条件可证明Q点总在AM '上，所以A M与0M的交点就是所要的 G点（图6）.可证OG= - MG2轴上运动的速度为v,则P沿M TQFA运动的时间为MQ八AQ ,使P点到达A点所用的2v v时间最短，就是 一 MQ + AQ 最小，或 MQ + 2AQ最小.2把WQB绕点B顺时针旋转60 ° ,得到加'Q'B ,连接QQ'、MM'（图解法2考虑-MQ + AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于

8、K,由0B=6 ,OM = 6. 3 , 21可得 ZBMO = 30 °,所以 QK = - MQ .21 一 要使一 MQ + AQ 最小， 只需使 AQ + QK 最小， 根据“垂线段最短”可推出当点A 、Q、K 在一条直线上时， AQ + QK 最小，并且此时的 QK 垂直于 BM ，此时的点 Q 即为所求的点G （图 7 ）过A点作AH IBM 于H,则AH与y轴的交点为所求的 G点.由 OB=6 , OM = 6、3,可得z/ OBM =60 °? BAH =30 °在 RtzOAG 中，OG = AO tan ZBAH = 2、. 3?G点的坐标为（

9、0, 2、，3 ）（G点为线段OC的中点）.例3（2009年湖州中考题）若点P为加BC所在平面上一点，且/ APB = ZBPC= /则点PCPA=120 叫做ABC的费马点.（1 ）若P为锐角 ABC的费马点，且/ ABC=60 PA=3 , PC=4,贝U PB的值为（2）如图8,在锐角公ABC的外侧作等边 ACB',连结BB求证：BB'i过MBC的费马点 P,且 BB = PA+PB+PC.图8解：（1）利用相似三角形可求 PB的值为2.3 .（2）设点P为锐角 ABC的费马点，即 ZAPB = zBPC = JCPA=120如图8，把MCP绕点C顺时针旋转60 。到AB

10、CE ,连结PE ,则公EPC为正三角形.?在C = ZAPC =120 ° /PEC =60?在C+ ZPEC=180即P、E、B'三点在同一直线上?哥C=120 ° /CPE =60?哥C + /CPE =180 °即 B 、 P、 E 三点在同一直线上? B、 P、 E、 B ' 四点在同一直线上，即BB '过 AABC 的费马点 P .又 PE= PC , BE= PA,? BB =E B'+ PB + PE=PA+PB+PC.注 通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题 时需注意图形旋转变换的基础， 即存在相等的线段， 一般地， 当题目出现等腰三角形 （等边 三角形） 、 正方形条件时，可将图形作旋转6