2020高考数学复习--专题三立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系练习含解析

1、第 2 讲空间点、线、面的位置关系做高考真题做高考真题O明命题趋向明命题趋向做真题1.（2019 高考全国卷 n）设 a,B 为两个平面，则 a/B 的充要条件是（）A.a 内有无数条直线与 3 平行B.a 内有两条相交直线与 3 平行C.a,平行于同一条直线D.a,（3 垂直于同一平面解析：选 B.对于A,a 内有无数条直线与（3 平行，当这无数条直线互相平行时，a 与3 可能相交，所以 A 不正确；对于 B,根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于 C,平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正确；对于 D,垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体

2、的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D不正确.综上可知选 B.2.（2019 高考全国卷出）如图，点N为正方形ABCD勺中心，ECD为正三角形，平面ECD_平面ABCDM是线段ED的中点，则（）解析：选 B.取CD勺中点Q连接ONEQ因为乙ECM正三角形，所以EOLCD又平面ECD平面ABCD平面ECD平面ABCBCD所以EQL平面ABC而正方形ABCD勺边长为2,则EO=小,ON=1,所以EN=EO+ON=4,得EN=2.过M作CD的垂线，垂足为P,连接BR则MP=坐，C2|,所以BM=MP+Bp=（3）2+（3）2+22=7,得B阵所以BMhEN连接BDBE因为四边形ABC时

3、正方形，所以N为BD的中点，即ENMB均在平面BD印，所以直线BMEN是相交直线，选 B.A.BMhEN且直线BMEN是相交直线B.BWEN且直线BMEN是相交直线C.BMhEN且直线BMEN是异面直线D.BWEN且直线BMEN是异面直线3.（2018 高考全国卷 H）在长方体ABCDABCD中，AB=BC=1,AA=-=卫二,imin|2乂邓5所以二面角AMAN的正弦值为*?.山东省学习指导意见1 .点、线、面之间的位置关系借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理(四个公理、一个定理).2 .空间位置

4、的判定与说明以立体几何的上述定义，公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定(四个判定定理、四个性质定理)能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.研考点考向研考点考向Q破重点睚点破重点睚点空间线面位置关系的判定考法全练1.（多选）下列命题正确的是（）A.梯形一定是平面图形B.若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D.若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析：选AC.对于A,由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B,两条直线和第三条直线所成的角相等，

5、则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D,若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误.2. （2019江西七校第一次联考）设n是空间中两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m/n,n?a,则m/aB.若m?a,n?3,a/B,则m/nC.若a/（3,mla,则mlBD.若m?a,n?B,m/B,n/a,则a/3解析：选C.若m/n,n?a,则m/a或m?a,所以选项A不正确；若n?a,n?3,a/B,则m/n或m与n异面，所以选项B不正确；由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是

6、正确的；若?0,门？3，1/3，门/0,则0/3或0与3相交，所以选项D不正确.故选C.3. （2019武汉市调研测试）已知两个平面相互垂直，下列命题中，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的命题是（）A.B.C.D.解析： 选C.构造正方体ABCDABCD,如图， ， 在正方体ABCDABCD中， 平面ADDi，平面ABCDAD?平面ADDAi,BD?平面ABCD彳SAD与BD不垂直，故错；连接OC因为AO为圆的

7、直径，所以ACLOC因为SO垂直于底面圆QAC?底面圆O所以ACLSO因为SSOC=Q所以ACL平面SOC又SC?平面SOC所以ACLSC所以SAC为直角三角形，故正确.由于点D是圆O上的动点，所以平面SAM能总垂直于平面SBD故错误，连接DO并延长交圆O于E,连接S耳PO因为P为SD的中点，O为DE的中点,所以OR/SE又OP?平面PABSE平面PAB所以SE/平面PAB故正确，故选 C.5.（2019河北省九校第二次联考）已知两条不同的直线mn,两个不重合的平面a3,给出下面五个命题：，在正方体ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCDl是平面ADDA内的任意一条直线，l与平面ABCt

8、D同AB平行的所有直线垂直，故正确;，在正方体ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCDAD?平面ADDA,但AQ与平面ABCD5垂直，故错;，在正方体ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCD且平面ADDAn平面ABCD：AD,过交线AD上的点作交线的垂线l,则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错.故选 C.4.（2019福建省质量检查）如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B的任意一点， 以AO为直径白圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论：SAC直角三角形；平面SADL平面SBD平面PAB、与圆锥SO的某条母线平行.其中正确结论的

9、个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：选 C.如图，4im/n,mla?na；a/B,n?a,n?B?m/n;m/n,m/a?n/a；mla,m/3?a(3；a“B，Eln,mla?nX3-其中正确命题的序号是.解析：命题，显然正确；命题，m,n可能异面，故为假命题；命题，可能n?a,故为假命题；命题，由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知为真命题；命题，由m/n,mla,得n，a,又a/B,所以n3,故为真命题.综上，正确的命题为.答案：判断与空间位置关系有关的命题真假的 3 种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助于反证法

10、，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.空间中平行、垂直关系的证明典型例题胡回由四棱柱ABCDABGD截去三棱锥Ci-BCD后得到的几何体如图所示.四边形ABC西正方形，O为AC与BD的交点,E为AD的中点，AiEL平面ABCD(1)证明：AO/平面BCD；(2)设M是OD勺中点，证明：平面AEML平面BiCD.【证明】取BD的中点0,连接CO,A1O,由于ABCDABCD为四棱柱，所以AO00CAiO=OC因此四边形AiOCS平行四边形，所以

11、AO/OC.又OC?平面BCD,AO?平面BCD,所以AO/平面BCD.(2)因为AC!BDE,M分别为AD和OD的中点，所以EMLBD又AiEL平面ABCDBD?平面ABCD所以AEBD因为BD/BD所以EMLBD,AEBD.又AE,EM?平面AEMAEnEM=E,所以BD，平面AiEM又BD?平面BiCD,所以平面AiEML平面BiCD.倒侬平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.对点训练I.如图，在四棱锥RABCDK平面PABL平面ABCDAD/BCPA一一一一一 1 一一、，LABCDLAD,B

12、C=CD=/DE为AD的中点.面面平行的判定面面平行的性质面面痛直的判定面面垂直的件质D(1)求证：PACD(2)求证：平面PBDL平面PAB证明：(1)因为平面PABL平面ABCD平面PAH平面ABCDAB,又因为PALAB,所以PAL平面ABCD所以PALCD(2)由已知，BC/ED且BC=ED所以四边形BCD国平行四边形,又CD!ADBC=CD所以四边形BCDEM正方形，连接CE图略)，所以BDLCE又因为BC/AE,BC=AE所以四边形ABCEM平行四边形，所以CE/AB则BDLAB由(1)知PA1平面ABCD所以PALBD又因为PAHAB=A,则BDL平面PAB且BD?平面PBD所以

13、平面PBDL平面PAB2.如图，已知斜三棱柱ABCABC中，点D,D分别为ACAG上的点.“AD公一,十.当等于何值时，BC/平面ABD?DCAD-(2)若平面BCD/平面ABD,求DC勺值.解：,一一AD如图，取D为线段AC的中点，此时=1,DiCi连接AB交AB于点0,连接OD.由棱柱的性质，知四边形AABB为平行四边形，所以点0为AB的中点.在ABC中，点QD分别为AB,AC1的中点,所以OD/BC.又因为OD?平面ABD,BG?平面ABD,所以BG/平面ABD.AiD一所以当k=1时，BG/平面ABD.DG(2)由已知，平面BGD/平面ABD,且平面ABGA平面BDG=BG,平面ABG

14、A平面ABD=DO.因此BG/DO,同理ADIIDG.平面图形的折叠问题典型例题ABGtD3,AD/BG/ADG=90,AB=BG把BAG&AG折起到PAGW位置，使得P点在平面ADGh的正投影O恰好落在线段AG上，如图所示，点E,F分别为棱PG,GD的中点.(2)求证：GDL平面POF若AD=3,GD=4,AB=5,求三棱锥E-GFO勺体积.【解】【解】(1)证明：因为点P在平面ADGh的正投影O恰好落在线段AG上,所以POL平面ADG所以POAG由题意知O是AG的中点，又点E是PG的中点,所以OBPA又OB平面PADPA?平面PAD所以O日平面PAD同理，OF/平面PAD又OEHOF=QO

15、EOF?平面OEF所以平面OEF/平面PAD(2)证明：因为OF/ADADGD所以OFLGDADAO因为DG=OB，ADDG=.DGADAiO又因为而1,OB_DGAD所以 AT1,即君1.考点考点如图，在直角梯形(1)求证：平面OEF/平面PAD又POL平面AD。CD?平面AD。所以POLCD又OFnPO=O,所以CDL平面POF因为/ADC=90,AD=3,CD=4,1 一所以SAC户/X3x4=6,而点OF分别是ACCD的中点，由题意可知ACP边长为 5 的等边三角形,所以 OP=5J3,即点P到平面ACD勺距离为13,又E为PC的中点，所以E到平面CFO勺距离为4,故VE-CFO=gx

16、3-x4-=53.平面图形折叠问题的求解方法(i)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.对点训练,一一-，兀 1-，一.如图 1,在直角梯形ABCW,AD/BC/BA氏万，AB=BC=2AD=a,E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABB&BE折起到图 2 中ABE的位置，得到四棱锥A1-BCDE证明：CDL平面AOC(2)当平面ABE1平面BCDE寸，四棱锥A-BCDE勺体积为 36 啦，求a

17、的值.一，=，.，_1_一.解：(1)证明：在题图 1 中，因为AB=BC=/AD=a,E是AD的中点，/BAA、，所以13SLCFO40ACD=2所以BE!AC即在题图 2 中，BEAQBEOC从而BE!平面AOC又CD/BE所以CDL平面AOC（2）由已知，平面ABE，平面BCDE且平面ABEP平面BCDEBE,又由（1）知，AOBE所以AO,平面BCDE即AiO是四棱锥A-BCDE勺高.由题图 1 知，AO=*AB=*a,平行四边形BCDE勺面积S=BE-OC=a2.从而四棱锥Ai-BCD的体积为V=SxAiO=2xa2xa=-a3,3326由千 w3=36y2,得 a=6.练典型习题练

18、典型习题Q提数学素养提数学素养一、选择题1.（2019合肥市第一次质量检测）平面a外有两条直线 a,b,它们在平面a内的投影分别是直线 mn,则下列命题正确的是（）A.若ab,则mlnB.若mln,则abC.若 m/n,则 a/bD.若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选 D.对于选项 A,当直线a,b相交，且所在平面与平面 a 垂直时，直线m,n重合，故 A 不正确；对于选项 B,不妨在正方体ABCDABC1D中考虑，取面对角线AB,AD,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCDh的投影分别为AB,AD记为mn,此时mln,但a与b不垂直，故 B不正确；对于选项 C,不妨在正方体ABCD

19、ABGD中考虑，取面对角线AB,CD,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCDh的投影分别为ABCD记为mn,此时m/n,但a与b不平行，故 C 不正确；又于选项D,若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故 D 正确，选 D.2.（2019 长春市质量监测（一）在正方体ABCEABCD中，直线AC与平面ABCD所成角的正弦值为（）A.1解析：选 D.由题意画出图形如图所示，取AD的中点为Q连接OC,OA,易知OA，平面ABCD,所以/AiCO是直线AC与平面ABCD所成的角，在 RtAO/AC中，AC=2OA,所以 sin,“OA1/AC8 孑=，.故选 D.AC23.如图，在三棱锥D-ABC,若AB=CBAD=CDE是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A,平面ABCL平面ABDB.平面ABDL平面BCDC.平面ABCL平面BDE且平面ACDL平面BDED.平面ABCL平面ACD且