2.1连续信号的时域描述和

1、第二章第二章 连续信号的分析连续信号的分析第二章第二章 连续信号的分析连续信号的分析2.1 2.1 连续信号连续信号的的时域描述和分析时域描述和分析2.2 2.2 连续信号的频域分析连续信号的频域分析2.3 2.3 连续信号的复频域分析连续信号的复频域分析2.4 2.4 信号的相关分析信号的相关分析2.1 2.1 连续信号的时域描述和分析连续信号的时域描述和分析l信号的时域描述信号的时域描述信号取值随时间的变化关系信号取值随时间的变化关系;直观地反映信号的时间历程直观地反映信号的时间历程;不能反映不能反映信号的频率信号的频率结构结构;用于简单信号的描述用于简单信号的描述.推广：推广：Ot tx

2、 信号取值随其它连续变量的关系信号取值随其它连续变量的关系，如：，如： 表面粗糙度随测量长度的变化表面粗糙度随测量长度的变化; 导线导线电阻随导线长度的电阻随导线长度的变化；变化； 热热变形大小随温度的变化。变形大小随温度的变化。 2.1 2.1 连续信号的时域描述和分析连续信号的时域描述和分析一、时域描述一、时域描述二、时域计算二、时域计算三、信号分解三、信号分解n普通信号的时域描述普通信号的时域描述n奇异信号的时域描述奇异信号的时域描述基本运算基本运算叠加和相乘叠加和相乘微分和积分微分和积分卷积运算卷积运算n分解成冲激函数之和分解成冲激函数之和n正交分解正交分解2.1 2.1 连续信号的时

3、域描述和分析连续信号的时域描述和分析一、时域描述一、时域描述1. 普通信号的时域描述普通信号的时域描述p正弦信号p指数信号2. 奇异信号的描述奇异信号的描述p单位斜坡信号p单位阶跃信号 p单位冲激信号一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 正弦信号正弦信号f表达式：表达式：振幅：振幅：周期：周期：频率：频率：角频率：角频率：初相：初相：21Tf2 fA)(sin)(tAtf一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 正弦信号的性质正弦信号的性质2 2）两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且）两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变频率不变，幅值

4、和相位改变。幅值和相位改变。 1 1）正弦信号的微、积分仍为正弦信号正弦信号的微、积分仍为正弦信号。3 3）频率比频率比为整数为整数的正弦信号合成为非正弦的正弦信号合成为非正弦周期信号周期信号，以，以低频（基频低频（基频f0）为基频，叠加一个）为基频，叠加一个高频高频( (nf0) )分量。分量。 5 5）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦信号的信号的线性组合线性组合。4 4）频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 指数信号指数信号为复数jsAtx

5、t s,e)( 指数衰减指数衰减20,0：0 指数增长指数增长30,0：0 直流信号直流信号10,0：0AO txt时，为实指数信号当0通常通常把把 称为指数信号的时间常数，记作称为指数信号的时间常数，记作 ，代表信号衰减代表信号衰减速度，具有时间的量纲。速度，具有时间的量纲。1一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 指数信号指数信号ttO txRe： O txIm：时，为复指数信号，当00tjAetAeAAtxtttjttjsincoseee)()(js 称为复指数信号的复频率。称为复指数信号的复频率。一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 指

6、数信号指数信号tjtAetxtsincos)(OtOt txRe： txIm： 时，时，衰减衰减的复信号的复信号0 时时, ,发散复信号发散复信号0一、时域描述一、时域描述普通信号的时域描述普通信号的时域描述p 指数信号指数信号正弦信号和余弦信号常借助于复指数信号来表示正弦信号和余弦信号常借助于复指数信号来表示，由由欧拉（欧拉（EulerEuler）公式：）公式：tttjjeej21sintttjjee21costttsinjcose -jtttsinjcose j一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位斜坡信号单位斜坡信号 定义定义 有有延迟的单位斜坡信号延迟的单位斜坡信

7、号OtR(t)11OtR(t-t0)t0+11t0在在t t- -t t0 0 = 0= 0处，导数不连续处，导数不连续在在t=0t=0处，导数不连续处，导数不连续0( )10tR tt无定义000)(ttttR00000)(ttttttttR一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位阶跃信号单位阶跃信号定义定义)21(0 0100)(点无定义或tttu0 ,10)(0000 tttttttu0 , 1 0)(0000 tttttttu有延迟的单位阶跃信号有延迟的单位阶跃信号u(t+ t0)Ot1t0Otu(t- t0)t01Otu(t)1在在 处，信号发生跳变处，信号发生跳

8、变0tt Otx(t)AOtu(t)AOtu(t)AOtu(t)AOtu(t)AOtu(t)A)2()2()(tutuAtx2/2/-000)(ttttR 0100)(tttu)()(tudttdr一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位阶跃信号单位阶跃信号一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位冲激信号单位冲激信号 狄拉克给出的定义：( )0 , 0( )d1 tttt 00d)(d)(tttt 函数值只在函数值只在 t = 0 时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； t =0 时时， ，为无界函数。，为无界函数。 t t0一、时域描述一、

9、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位冲激信号单位冲激信号t)(tpO 12 2 面积面积1 1脉宽脉宽； 脉冲高度脉冲高度； 则窄脉冲集中于则窄脉冲集中于 t=0 处。处。面积恒为面积恒为1 1宽度为宽度为0 0 000tt无无穷穷幅幅度度三个特点：三个特点：考虑：矩形考虑：矩形脉冲函数宽度脉冲函数宽度0 0时的极限时的极限 窗高窗宽的倒数，面积窗高窗宽的倒数，面积1 1当当0时，窗高时，窗高( )0 , 0( )d1 tttt一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位冲激信号单位冲激信号)(t若面积为若面积为k，则强度为，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉

10、冲、抽样函数取三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取 0 极极限，都可以构成冲激函数。限，都可以构成冲激函数。时移的冲激函数时移的冲激函数强度强度221lim0tutu定义：定义：一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位冲激信号的性质单位冲激信号的性质如果如果f(t)在在t = 0处连续，且处处连续，且处处有界，则有处有界，则有 )0(d)()(fttft 积分只与积分只与t=0时时f(t)的取值有关的取值有关（1）抽样性（筛选性）抽样性（筛选性）一、时域描述一、时域描述奇异信号的描述奇异信号的描述p 单位冲激信号的性质单位冲激信号的性质（2）奇偶性）奇偶性)()(

11、tt（3）微积分特性：冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系）微积分特性：冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系 tutd)( )()(tdttdu2.1 2.1 连续信号的时域描述和分析连续信号的时域描述和分析二、时域运算二、时域运算1. 基本运算基本运算p 尺度变换p 翻转p 平移p 复合变换2. 叠加和相乘叠加和相乘3. 微分和积分微分和积分4. 卷积运算卷积运算二、时域运算二、时域运算基本运算基本运算p 尺度变换尺度变换波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。原信号原信号f f( (t t) )以原点以原点( (t t0)0)为基准，沿横坐标轴展

12、缩到原为基准，沿横坐标轴展缩到原来的来的1/a1/a。方法：将原信号方法：将原信号f f ( (t t) )中自变量中自变量t t atat，得到，得到f f ( (atat) )。 ),0( ,常数ataftf幅度尺寸变换：幅度尺寸变换： 基本特性不变，幅度放大或缩小基本特性不变，幅度放大或缩小a a倍倍如线性放大器。如线性放大器。 ),0( ,常数aatftf时间尺寸变换：时间尺寸变换： 基本特性发生变化基本特性发生变化，时间坐标压缩或扩展。，时间坐标压缩或扩展。二、时域运算二、时域运算基本运算基本运算p 尺度变换尺度变换时间尺度压缩或扩展取决于时间尺度压缩或扩展取决于a: a1时间尺度压

13、缩；时间尺度压缩；录音带快放录音带快放 0a1x(t)t01-22-42t24-8x( 0.5 t )01-22-4a1a1时域压缩时域压缩频域（带）扩展频域（带）扩展a1a 0 0，右移，右移( (滞后滞后) ) 01，压缩，压缩a倍；倍； a2、再展缩；、再展缩； 3、后平移；、后平移； 1、先翻转；、先翻转； 二、时域运算二、时域运算基本运算基本运算Ot)(tf1 11解解: :例：已知例：已知f(t)，求，求f(3t+5)。尺度尺度变换变换f(3t+5) = f 3(t+5/3)t)3( tf131O31 t)53( tf12 34 时移时移3t 3(t+5/3)二、时域运算二、时域运

14、算叠加和相乘叠加和相乘若若 是两个连续信号，它是两个连续信号，它们的和（差）定义为：两信号瞬时们的和（差）定义为：两信号瞬时值和（差）值和（差）t t sint t 8sint tt 8sinsin+= 连续系统连续系统叠加叠加12( )( )x tx t、12( )( )( )y tx tx t二、时域运算二、时域运算叠加和相乘叠加和相乘若若 是两个离散是两个离散信号，它们的和（差）定义信号，它们的和（差）定义为：两信号对应点取值之和为：两信号对应点取值之和（差）（差）nxnnynnxn+yn+ += = x nn、y z nx ny n 离散系统离散系统叠加叠加二、时域运算二、时域运算叠加

15、和相乘叠加和相乘 连续系统乘除连续系统乘除若若 是两个连续信号，是两个连续信号，它们的积定义为：两信号瞬时值它们的积定义为：两信号瞬时值之积之积t t sint t 8sint tt 8sinsin=两个连续信号，它们的商定义为：两个连续信号，它们的商定义为：两信号瞬时值之商两信号瞬时值之商)()()(21txtxty12( )( )x tx t、二、时域运算二、时域运算叠加和相乘叠加和相乘 离散系统乘除离散系统乘除离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，即内积。离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，即内积。离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。ny

16、nxnZ z nx ny n二、时域运算二、时域运算微分和积分微分和积分Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ttftfdd微分：冲激信号冲激信号 dtf积分：二、时域运算二、时域运算卷积卷积l信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示为其为其本身与单位本身与单位脉冲函数的卷积。脉冲函数的卷积。l性质：性质：l运算：变量代换运算：变量代换翻转翻转平移平移乘积乘积 积分积分l定义：称定义：称 为信号为信号 和和 的卷积。的卷积。)(*)()()()(2121txtxdtxxtf1( )xt2( )xt12211221( )()( )()( )( )( )( )x

17、x tdxx tdx tx tx tx tdtftf)()()(二、时域运算二、时域运算卷积卷积例：求两信号的卷积例：求两信号的卷积求：求：解：变量代换解：变量代换 t 1232,2,02( );( )40,20,0/2ttx tx tttt 12( )( )x tx t1232,2,02( );( )40,20,0/2xx0.754-224-24422X1()变量代换：变量代换：t ;x2翻转翻转x2(-);左移左移t x2(-+t), t0;t-2时，时，x(t)=0;t=-2时，时，x(t)=0;-2t0时，时，x(t)=3/2*(t+2);t=0时，时，x(t)=3 (max);0t2

18、时，时，x(t)=3 ;2t4时，时，x(t)=0.x2(-)X2()t34-224tx(t)(*)()()()(2121txtxdtxxtx 计算卷积的关键：计算卷积的关键：l正确划分时间变量正确划分时间变量t 的取值区间；的取值区间；l正确确定积分的上、下限。正确确定积分的上、下限。l分段函数分段函数图解法图解法具有的效果好。具有的效果好。120,23(2),202( )( )( )3,023(4),2420,4tttx tx tx ttttt 二、时域运算二、时域运算卷积卷积函数函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积（1） f(t)与冲激函数卷积，结果是与冲激函

19、数卷积，结果是f(t)本身本身)()()(tfttf 证明：证明：根据卷积定义和冲激函数的抽样性质根据卷积定义和冲激函数的抽样性质 dtfttf)()()()()()()(tfdttf )()()(00ttftttf 类似有：类似有：二、时域运算二、时域运算卷积卷积（2） f(t)与冲激偶的卷积与冲激偶的卷积)()()(tfttf (t)称为称为微分器微分器（3） f(t)与阶跃函数的卷积与阶跃函数的卷积 tdftutf )()()(u(t)称为称为积分器积分器推广：推广：)()()()()(tfttfkk )()()(0)(0)(ttftttfkk 三、信号的分解三、信号的分解 为了便于研究

20、信号的为了便于研究信号的传输和处理传输和处理问题，往往将复杂信号问题，往往将复杂信号分解为一些简单分解为一些简单( (基本基本) )的信号之和，分解角度不同，可以分的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量解为不同的分量直流分量与交流分量直流分量与交流分量偶分量与奇分量偶分量与奇分量 脉冲分量脉冲分量实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量 正交函数分量正交函数分量利用分形理论描述信号利用分形理论描述信号三、信号的分解三、信号的分解 tf t fO( (一）分解成冲激函数之和一）分解成冲激函数之和 f, 脉脉宽宽：(1) (1) 矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列窄脉冲面积为：窄脉冲面积为： ()(

21、)fu tu t 将信号分解成一系列将信号分解成一系列脉冲函数脉冲函数的代数和。的代数和。当当 时时脉冲高度：脉冲高度： 在区间在区间 , 内：内： ,t三、信号的分解三、信号的分解 ）tutuf()()( ）tutuftf()()()( tttututud)(d()(lim0）(2) (2) f(t)表示为矩形窄脉冲序列之和表示为矩形窄脉冲序列之和可表示为许多窄脉冲可表示为许多窄脉冲的叠加的叠加到到从从)(,tf 0 令令表示在表示在t t = =时的一个单位脉冲时的一个单位脉冲三、信号的分解三、信号的分解结论：结论：任意信号都可以分解成无穷密集的、不同强度的冲激函任意信号都可以分解成无穷密

22、集的、不同强度的冲激函数之加权和；加权系数该点的函数值。数之加权和；加权系数该点的函数值。 d)()()( tftf所以所以 ,d(3) (3) f(t)表示为单位脉冲函数的代数和表示为单位脉冲函数的代数和0 令令 ）tutuf()()( )f t()td三、信号的分解三、信号的分解( (二）信号的正交分解二）信号的正交分解信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念的概念相似。相似。yxyvC2xvC1AyxvCvCA21 yxvv , 为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。 它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交

23、矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号均可表示成它们的线性组合。1. 正交正交函数集函数集（2）正交函数）正交函数集：集：在区间在区间 上上的的n个函数（非零个函数（非零） ,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数为常数，则称函数集集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。,21tt)(1t )(tn 21)()(ttjidttt , 0 , 0jikjii

24、ik )().(1ttn ,21tt（1）正交）正交函数：函数： 在在 区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数 和和 若满足条件若满足条件 则则函数函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数的正交函数。,21tt)(1t )(2t 210)()(21ttdttt )(1t ,21tt三、信号的分解三、信号的分解函数正交的充要条件函数正交的充要条件是是它们的内积为它们的内积为00)()(2121dttftftt在在（t1,t2)区间内定义两个区间内定义两个非零实函数非零实函数f1(t)和和f2(t),若满足若满足则则f1(t)和和f2(t)在（在（t1,t2）区间内）区间内正交。正交。三、信号的分解三、信号的分解（3）完备正交函数集）完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 )().(1ttn)(t满足等式满足等式 210)()(ttidttt ni,.,2 , 1，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。 .),(sin,.,t sin2 , sin , . , )cos( , . , 2cos , cos , 1tnttmtt 在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。),(00Ttt 2T00t +Tt0, coscos,