青岛版八年级上册数学《什么是几何证明》

1、?什么是几何证明?教案探究版教学目标知识与技能1了解根本领实的作用，掌握8条根本领实以及等式和不等式的根本性质.2知道证明的意义，初步了解几何证明的步骤和书写格式，体会推理要步步有据，合乎逻辑.过程与方法让学生在学习过程中体会数学推理的严密性和重要性.情感与态度形成相信真理、相信科学的思想，激发学生的学习兴趣.教学重点证明的必要性和证明的根本步骤.教学难点证明的根本步骤.教学过程一、复习导入以下句子哪些是命题？如果是命题，请指出命题的真假.(1) 同角的余角相等；(2) 在直线AB上任取一点C;(3) 相等的角是对顶角；(4) 全等的两个三角形的面积相等；(5) 不相交的两条直线叫做平行线；(

2、6) 所有的质数都是奇数.师生活动：学生讲解.答：命题有：(1)( 3)( 4)( 6);真命题有(1)( 4)；假命题有(3)( 6) 师：如何说明一个命题是假命题呢？生：举反例即可.(3)如图，AB/ CD，那么/ 1 = Z 2，但/ 1与/ 2不是对顶角.62 是质数，但不是奇数师： 那如何说明一个命题是真命题呢？ 学生讨论交流设计意图：采用以题代知识点的形式复习旧知，同时又为学习本节课的内容做铺垫， 初步感受证明要步步有理有据二、探究新知探究一：根本领实思考： 怎样运用推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 1为什么要规定根本领实？教师讲解： 真命题的证明根据必须是以前证明的命题，而已证

3、明的命题依据是更前面 的已证实的命题，这个过程不可能无限地追根溯源因此必定存在某些原始的命题， 在它们的前面不再有已证实的命题这种不加证明而成认其真实性的命题，称之为“根本 事实.从已经了解的数学命题中，挑选出一局部人们通过长期实践总结出来，被大家所公认 的命题作为 根本领实，用根本领实作为证实所有其他几何命题的起始依据.2. 教师出示根本领实：1两点确定一条直线； 2两点之间线段最短；3过一点有且只有一条直线与直线垂直； 4两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；5过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7两角及其夹边分别相等的两

4、个三角形全等；8三边分别相等的两个三角形全等.学生回忆： 等式和不等式的根本性质， 教师说明：等式的根本性质和不等式的根本性 质都可以看作根本领实，讲解“等量代换的含义.用符号表示就是："如果 a = b, b= c,那么a= c，“如果a>b, b= c,那么a> c.我们把它们也作为根本领实，称为“等量代换.除上述根本领实外,以前所学过的以及今后要学到的其他几何命题,都需要由根本领 实、定义、已证实的结论及条件出发,通过逻辑推理的方法加以证实.推理的过程叫 作证明 .3. 思考： 怎样证明命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等的真实性呢？师生活动： 留给学生充足的

5、时间思考,尝试独立写出,然后教师板演讲解,务必说明 每一步的依据,做到有理有据,标准学生书写格式.分析：证明前要先分清待证命题的条件和结论为了推理时表达方便，还要把用文字 语言表达的条件和结论“翻译成图形语言和符号语言画出图形，标注字母，再按照图 形和标出的字母，根据条件和结论，分别写出和求证然后再引导学生思考证明过程， 由“可以“推出什么，由“推出的结论，又可以“推出什么.直到推出求证 的结论然后，把以上几步按照先后顺序写在一起，便完成对该命题真实性的证明.：如图，/ AOC和/ BOD是对顶角.求证：/ AOC = Z BOD .证明：I/ AOC和/ BOD是对顶角，/ AOC+Z AO

6、D = 180°,/ AOD + / BOD = 180°平角的定义./AOC+/ AOD = / AOD + / BOD 等量代换. / AOC=/ BOD 等式的根本性质.思考：/ AOD = / BOC吗？你能试着证明一下吗？师生活动：留给学生充足的时间思考，尝试独立写出，然后学生板演讲解，教师点评 补充，要求学生写出每一步的依据.：如图，/ AOD和/ BOC是对顶角.求证：/ AOD = / BOC.证明：T/ AOD和/ BOC是对顶角， /AOD + /AOC = 180°,/ AOC+/ BOC= 180。平角的定义. / AOD + / AOC

7、= / AOC + / BOC 等量代换. / AOD = / BOC 等式的根本性质.教师讲解：上述命题得到了证实.我们把经过推理得到证实的真命题叫作定理，定理可以作为今后证明其他命题真假的依据.思考：你能用简单的文字语言来表达上面的定理吗？师生活动：学生交流讨论，我们把这个定理称为对顶角的性质定理，简单说成：对顶角相等.设计意图：让学生经历根据根本领实来推导求证结论的过程，感受证明的必要性，初 步接触综合法的证明思路.探究二：几何证明的步骤回忆并分析上面定理的证明过程，包括了哪几个步骤？你认为今后在定理证明的书写格式上有哪些应当注意的问题？师生活动：学生交流讨论，畅所欲言，总结归纳.1根据

8、题意，画出图形；2结合图形，根据条件、结论，写出、求证；3找出由推出求证的途径，写出“证明.设计意图：学生自己总结证明的步骤，加深理解.三、例题精讲例1.求证：同角的余角相等.：如图 5-3,/ 1与/ a互余，/ 2与/ a互余.求证：/ 1 = / 2.师生活动：学生尝试独立完成，学生代表板演，学生交流，相互补充，教师点拨，规 范书写格式.证明：V/ 1与/ a互余，./ 1+/ a= 90° 余角的定义./ 1 = 90°/ a 等式的根本性质.又V/ 2与/ a互余，./ 2+/ a= 90° 余角的定义. / 2= 90°/ a 等式的根本性质

9、. / 1=/ 2 等量代换.设计意图：通过例题，让学生了解什么是推理，以及推理的形式，体会推理要步步有 据，符合逻辑.四、课堂练习1. “两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行这句话是 .A .假命题B.定义 C.定理D .根本领实2. 如图，直线a, b相交，/ 1 = 55°,那么/ 2=。，推理的依据是 b3阅读并理解以下各题的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据.：如图，B, C是线段AD上的两点，且AB= CD .求证：AC = BD .ABC D证明： AB = CD (), AB+ BC = CD + BC (), AC= BD ().4阅

10、读并理解以下各题的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据.：如图，/ ABC = Z A'B'C', BD和B'D'分别是/ ABC和/ ABC'的平分线.求证：/ 1 = / 2.证明：/ ABC = Z A'B'C'(),11 / ABC=/ A'B'C'(),221/ 1=/ ABC (角平分线的定义)，21/ 2=/ A'B'C'(),2/ 1=Z 2 ().5.求证：同角的补角相等.：/ 1 + Z 2= 180°,/ 1 + Z 3= 180&#

11、176;求证：/ 2=/ 3.参考答案：1. D.2. 55°,对顶角相等.3 ；等式的性质；线段和的定义.4；等式的性质；角平分线定义；等量代换.5.证明：/ 1 + Z 2 = 180°,/ 1 + Z 3= 180。()，/ 2= 180°-/ 1,/ 3= 180° -/ 1 (等式的性质)./ 2=/ 3 (等量代换).设计意图：通过练习，熟练掌握证明的根本步骤，做到有理有据.五、课堂小结1. 根本领实：公认为正确的命题叫做根本领实.2. 8大根本领实：(1) 两点确定一条直线；(2) 两点之间线段最短；(3) 过一点有且只有一条直线与直线垂直

12、；(4) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；(5) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(6) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(7) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；(8) 三边分别相等的两个三角形全等.3. 定理:经过推理得到证实的真命题叫作定理.4. 几何证明的根本步骤：(1) 根据题意，画出图形；(2) 结合图形，根据条件、结论，写出、求证；(3) 找出由推出求证的途径，写出“证明设计意图：通过知识梳理，使学生形成知识体系，加深对所学知识的理解.六、目标检测1. 阅读并理解以下各题的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据. ：如图，点

13、 B在直线 AC上，/ ABE与/ DBC互为余角.求证：DE丄BE.)./ ABE +Z DBC = 90°(点B在直线AC 上(),:丄 ABC= 180°()./ ABE +Z EBD +Z DBC = 90° (角的和的定义)，:丄 EBD = 90°(). DE 丄 BE ().2. ：如图，直线 AB, CD相交于点 0,且/ AOC是直角.求证：/ C0B，/ BOD，/ DOA都是直角.3.求证：等角的余角相等.：/1 + / 2= 90°，/ 3 +/ 4 = 90°，/ 1 = / 3.求证：/2=/ 4.4.求证

14、:等角的补角相等.：/1 + / 2= 180°，/ 3+/ 4= 180°，/ 1 = / 3.求证：/2=/ 4.5.如图,点 O在直线 AB上，射线 OC，OE分别平分/ AOD和/ BOD .求证：/COD和/ DOE互为余角.参考答案：1. ；余角定义；平角定义；等量代换；等式性质；垂直的定义.2. vZ AOC是直角，/ AOC= 90 ° 直角的定义./ AB是直线，/ COB= 180°/ AOC 补角的定义./ COB= 180° 90° = 90° 等量代换./ COB是直角直角的定义.同理可证：/ BOD，/ DOA都是直角.3. 证明：/ 1 + Z 2 = 90°,/ 3 +Z 4 = 90° ，/ 2= 90°-/ 1, / 4= 90°-/ 3 等式的性质.V/ 1=/ 3 ，/ 2=/ 4等量代换 .4. 证明：V/ 1 + / 2 = 180°,/ 3+/ 4= 180。，/ 2= 180°-/ 1,/ 3=180°-/ 4等式的性质 .V/ 1=/ 3,/ 2=/ 4等量代换 .5