数学模型第三版_课后习题答案

1、数学模型作业解答第二章（1） （2008年9月16日）1 .学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1） .按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者；（2） . § 1中的Q值方法；（3） .d ' Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除， 其商数如下表：I-12345A 235117.578.358.75 B333166.511183.25 ,1 I I 'l I !C43221614410886.4将所得商

2、数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线， 表中A、B、C行有横线的数分别为2, 3, 5,这就是3个宿舍分配的席位. 你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种 方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：n1 =3, n2 =3, n3 =4方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第10个席位：计算Q值为Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为1=2, 1=3, %=5方法三（d' Hondt方法）此方法的分配结果为：n1 = 2, n2 = 3, n3 =

3、 5来源：网络转载此方法的道理是：记r和q为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A、R C宿舍).包是每席位代表的人数，取ni =1,2,，从而得到的 包中选较大者，可使nini来源：网络转载对所有的i,也尽量接近. ni再考虑N =15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的 结果列表如下：宿舍(1) (2)(3)(1) (2)(3)A322443B333555C455667总计1010101515152,试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t + &时间内录像带

4、缠绕在右轮盘上的长度，可得 tnvdt = (r+wkn)2n kdn,两边积分，得 10vdt = 2冗 k (r + wkn)dn第二章(2) (2008年10月9日)15.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是P,用量纲分析方法 确定风车获得的功率P与v、S、P的关系.解：设P、v、S、P的关系为f (P,v,s, P) = 0 ,其量纲表达式为：P= ML2T； v= LT ts= L2, P= ML"，这里 L,M ,T 是基本量纲.量纲矩阵为：21 2 -3 (L)_100 1 (M)=：3 -1 0 0 JT)(P) (V) (S)(：齐次线性方程组为：它的基

5、本解为y =(-1,3,1,1)由量纲Pi定理得n = P,v3s1 P1 , P =九v3s1 P1 ,其中人是无量纲常数.16.雨滴的速度v与空气密度P、粘滞系数N和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正 比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v, pj,g的关系为f(v, p ,g ) =0.其量纲表达式为v=LM071,P=L-3MT°,曰=MLT2 (LT1L-1)1L-2=MLI-2T_2T=L1M_J, g=LM0T2,其中 L, M,T是基本量纲.-3 -11(L)110(M)0-1

6、-2 (T)(；)()(g)量纲矩阵为一10 A=:1(v)齐次线性方程组Ay=0,即 的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲Pi定理得v =v3g . . v16* .雨滴的速度v与空气密度P、粘滞系数R、特征尺寸y和重力加速度g有关, I , . _ _"其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的 I乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v, PJG, g的关系为”3%出,9) = 0.其量纲表达式为 X jT-7, ；=v=LMT1, P=L-3MT°, k=MLT2 (LT1L-1) -1L-2=ML

7、I-2T2T=L1M_-1, Y=LM0T0,g =LM0T-2其中L, M, T是基本量纲. 量纲矩阵为1-3-11(L)0110(M)00-1-2(T)()(：)()(g)一1 0 A= 二1 (v) 齐次线性方程组Ay=0即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量即丫="号6%丫3/2%1/2)口 =%：由(再尸2) = 0，得加产率俨力二D/vg(Y3/2Pg1/2n-)洪中中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比 给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算 原型摆的周期.解：设阻尼摆周期上摆长1,质量

8、m,重力加速度g,阻力系数k的关系为其量纲表达式为:0 0_0_ 00 _ 00 2_2_t = L M T,1 = LM T ,m = L MT ,g = LM T ,k = f v = MLT (LT )=L0MT、其中L , M , T是基本量纲.量纲矩阵为01010(L)A= 00 101(M)一10 0-2-1(T)(t) (1)(m) (g) (k)齐次线性方程组'，:口的基本解为得到两个相互独立的无量纲量.+ _1 _ ：/_、_ _ k11/2, , t1 , 1 = ( 2),21/2 gmg1 j' % .一、 - I. J t = ,口气耳2)，其中华是未

9、定函数.,g mgm , mL时 l考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量 分别为 t, t' ； 1,1''-L 卜 |当无量纲量m = m数学模型作业解答第三章1 (2008年10月14日)1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货 周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺 货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本.10对于不允许缺货模型，每天平均费用为:令dC=0, 解得丁*=匡 dT c2r由、=rT , 得Q

10、*=rT*=，21r与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果没有变. /.j'C j .八20对于允许缺货模型，每天平均费用为：,I京 C"二0令乐 ，得到驻点：I： 1： '： IC=0QQ与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果减少.2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数k,销售速I I f- I率为常数r, k>r .在每个生产周期T内，开始的一段时间(0<t<T°)一边生产一边销售，后来的一段时间(T。<t <T)只销售不生产，画出贮存量g(t) 的图形.设每次生产准备费为Ci,单位时间每件产品贮存费

11、为C2,以总费用 最小为目标确定最优生产周期，讨论 k AA r和kr的情况.解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：K二：".贮0费变为C2二小”于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用(单位时间内)为dC c1 r(k -r)2 c2dT T2 2kdC=0,得T*=2c1kdTc2r (k-r)易得函数C(T)在T呦取得最小值，即最优周期为：T*=26kc2r(k -r)当kx>r时，丁拓定/%.相当于不考虑生产的情况. c2r当k七r时，T拓t如.此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量./产八d j第三章2 (2008年10月16日)3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑

12、消防队员的灭火速度 九与开始救火时的 火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型 .解：考虑灭火速度九与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度K将减小,k我们作如下假设：Mb)=, b 1 r-I分母b十1中的1是防止bT 0时人t如而加的.总费用函数C(x)笆+卷皆fc2*3x最优解为x =kb2 2c2b(b 1尸 (b 1) (b 1) - 2c3k2k5.在考虑最优价格问题时设销售期为 T,由于商品的损耗，成本q随时间增长,设q(t)=q0+Pt, P为增长率.又设单位时间的销售量为x = a-bp(p为价格).今将销售期分为0<t <T2和% <t <T

13、两段，每段的价格固定，记作 访印2 .求P1, P2的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0 ,再求P1, p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为又丫 q（t） =q°+Pt .于是总利润为,1、. 口 .2 I .二(abp) ptq°t 一万t '2 +(a -bp?) p2t -q°t -t2 T一12二(a -bPi)(PiTqoTI2-)(a -bP2)(p2Tq0t 3：T2、一 _)令四=0,里=0,得到最优价格为： ；论中2在销售期T内的总销量为于是得到如下极值问题:利用拉格朗日乘数法，解得:即为Pi,

14、 P2的最优值.第三章3 （2008年10月21日）6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即 到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用?解：已知：每天角钢的需要量r=100（吨）;每次订货费c1 = 2500 （元）；每天每吨角钢的贮存费C2=0.18 （元）.又现在的订货周期丁。= 30 （天）根据不允许缺货的贮存模型：C（T） = c1 + -C2rT +krT 2/口2500得：C(T) = 丁 9T 100k令dC=°,解得：T*2500 _ 5093,、

15、-、* 5050，一 .一，由实际意义知：当T =50 (即订货周期为5°)时，总费用将最小.33*3 250050又 C(T ) = 3 2500 +9二卫+100卜=300+ 100k503C(T0) -2500 9 30 100k =353. 33+ 100k 30-*2C（T0） C（T ）= （353. 33+ 100k） （ 300+100k） =53. 33. 3故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T* = 5°,能节约费用约53. 33 3元.数学模型作业解答第四章（2008年10月28日）1.某厂生产甲、乙两种产品，一件甲产品用A原料1千克，B原料

16、5千克；一件乙产品用A原料2千克，B原料4千克.现有A原料20千克，B原料70千克.甲、 乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大?解：设安排生产甲产品x件乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：丁ImaxS=20x+30yx 2y <201 Is.t.5x + 4y <70I. J /-JX, y >0,x, y w Z这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线 11: x+2y=20,l2：5x+4y = 7012y以及x=0,y=0组成的凸四边形区域直线1 : 20x+30y=c在可行域内1平行移动./I a XXJ L

17、9;易知：当1过11与12的交点时，11xS取最大值.x=10J =5x+2y=20 解得5x+4y =70止匕时5）（=20父10十30父5=350 （元）2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表:货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润 （百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24立方米，重量不超过13百斤.试 问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解：设甲货物、乙货物的托运箱数分别为Xi, X2,所获利润为z.则问题的数学模型可表小为这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线12 : 2xi

18、 +5X2 =13及Xi =0,X2 =0组成直线l :20Xi +10X2 =c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l 1与l 2的交点时，Z取最大值5X1-2X14x2 = 245x2 =13/2二4=1ZmaX =20 4 10 1 =90.I J / I / J_3.某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉 .已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉 所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为 100个单位，工时为120个单位，且甲型、乙型微波炉产量分别不低于 6台和12 台.试建立一个数学模型，

19、确定生产甲型、乙型微波炉的台数，使获利润最大.并 _ _ .求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉X件，乙型微波炉y件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：maXS=3X+2y2x 3yM 100s.t.0X +2y <120x 之 6,y 之 12,x,y w Z这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线 l1 : 2x+3y=100,l2：4x+2y=120及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l : 3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l1与l2的交点 时,S取最大值.,2x+3y =100右“日由解得4x+2y =120'x =20

20、- .y =20Smax = 3M20 + 2M20 = 100.数学模型作业解答第五章1 (2008年11月12日)1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：11(1)若% >工,则i(t)先增加，在s = L处最大,然后减少并趋于零；s(t)单调减 acr少至s:?1(2)若S0 Y1,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至院.a解：传染病的SIR模型(14)可写成1 I y/ / / ；，、一1(1)若S0 » '.由s单调减少.二s(t) < S0 . a1 一， 1di(2)若s0 Y2,则st 尸 1,从而ars-1T 0. % V0.；一一二

21、dt4.在5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 刍=4.bi初始兵力X0与y0相同. I :; 1(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负.解：用x(t)y(t成示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：0 a现求(1)的解:(1)的系数矩阵为A= 0b 0二(1 口勺通解为<y（t ）二 C1 i 2 e 融 C2127 乙 一abteJ,1再由初始条件，得其解为 ay2 bx2 = k, 而卜=ay； -bx2当Ei时，y(L)=2

22、2ay。- bx0d b、.3=y0 1 - -T- Vo .a2即乙方取胜时的剩余兵力数为3y0.2又令x(ti )=0，由(2)得x02abti-y0 e 1 +x0y0 e-喇=0.注意到 xO = y°,得e2*abt1x02y02 abt1. e =3,2 y0 - x0In 3 t=4b(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则dx由（4得丝= dyay-,BPbxdx = aydy - rdy.相轨线为-bx22,ay - 2ry - bx = k,k = ay2 -2ry-bx.0或 a y -r 2-bx a2-L = k.此相轨线比书图11中的轨线上

23、移 a了 L乙方取胜的条件为k>0,亦即y0aIbx2r：.a a第五章2 (2008年11月14日)6.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型(只有中心室)，在快速静脉注射、恒速静脉滴注(持续时间为7)和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形.解：设给药速率为f0(t，中心室药量为x(t，血药浓度为C(t )容积为V,(1)快速静脉注射：设给药量为D0,则f0(t)=0,C(0)=D，解得COe”.(2)恒速静脉滴注(持续时间为t):设滴注速率为k°,则fo(t)=ko，C(0)=0，解得(3) 口服或肌肉注射:f00 koiD0e401t (见

24、5.4节(13)式)解得3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3 (2008年11月18日)8.在5.5节香烟过滤嘴模型中，(1)设 M =800mg,1 =80mm,2 = 20mm,b = 0.02, P = 0.08,v = 50mm/s,a = 0.3求、和、1/q2.(2)若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上，比较全部吸完和只吸到li处的情况 下，进入人体毒物量的区别.aw0va/ba/bliv0.3 10 50e0.7 0.020.08侬 /0.7>0.02#0、501 -e 50上 229.857563(毫克)(其中 Wo =M /Ii =10 ),aw0v对于一支不带过滤嘴的

25、香烟，全部吸完的毒物量为Q3=aw-1bl2只吸到Ii处就扔掉的情况下的毒物量为 Q4 = awWeF aba bl1 ” 1-e4.在5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 - = 4. b初始兵力X0与y0相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负.解：用x(t)y(t成示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为: 0- a现求(1)的解:(1)的系数矩阵为A = ； 00a,a , x(t )(1的通解为t = CiU(t b+ C2

26、2 3而1J,1再由初始条件，得2'2("2k = ay2 -2ryo -bx。或a y i1k a)了 L乙方取胜的条件为k>0,亦即y。aIbx2r2.a a又由（> 可得上二其解为 ay-bx2 -L = k.此相轨线比书图11中的轨线上移a bx2 = k, 而卜=ay0 -bx2当项)=0时，yd4CqayLbxLy l上B义. ；a aa 2即乙方取胜时的剩余兵力数为3yo.21 L”? 又令 x（ti）=Q由（2）得 色y°'e的1 + 3 + y0'e砒1 =0.221 I /i L, ,八 1/三二注意到 X0 = y。

27、,得e2、丽=x0 +2y° .二/函1 =3, I： ,=也.2 y0 - X。4b 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则I由（4 得 dx = ay一-,BPbxdx =aydy - rdy.相轨线为 ay2 -2ry - bx2 = k, dy -bx数学模型作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic规律，而单 位时间捕捞量为常数h.(1)分别就h aN/4 , h<rN/4, h = rN /4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡 点及其稳定状况.(2)如何获得最大持续产量，其结果与 6.1

28、节的产量模型有何不同.解：设时刻t的渔场中鱼的数量为x(t),则由题设条件知：x(t )变化规律的数学模型为x己 F (x) = rx(1) - hN(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由 F(x 片0,得 rx(12)一h = 0.即x2 - rx h =0N2 4rh4h =r=r(r),Nn(1)的解为:N - .YNx1,2 -2N l,、c2- , F (x1)>0 , F (x2)<0当hrN/4, A<0, (1)无实根，此时无平衡点；当h=rN/4, A=0, (1)有两个相等的实根，平衡点为x0=N. 2F (x) =r(1 -=)-？=-纲F (x0)

29、 =0不能断定其稳定性.n n nx rNdx但 Vx x。及 x Yx0均有 F (x) =rx(1-)-T0 ,即一0 .，x0不稳止;N 4' dt当h<rN/4, 下0时，得到两个平衡点：易知：x1 :二 N ,x22二平衡点x1不稳定,平衡点x2稳定.(2)最大持续产量的数学模型为x即 maxh=rx(1 -), N* N m，rN勿(于x0 = 止匕时h =,24但x；=N这个平衡点不稳定.这是与6.1节的产量模型不同之处.2要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x>N,且尽量接近-，但不能等于-. 2222.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是G

30、ompertz模型：x'(t )=rxlnN ,其中r和N的意义与Logistic 模型相同. x设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h = Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0 .解：x(t茂化规律的数学模型为“N L记 F(x)=rxln -Ex xN-令 F(x A°,得 rxlnN Ex = 0. x° = Ne'r , x1 =° . x此时渔场鱼，平衡点为 x° x1.又又 F(x)=r In N r E , F(x° )=-r &l

31、t;°,F'(x1 )= . x量水平x° =- e3.设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为:dx(t)x.二rx(1 一一)dtN其中r为固有增长率，N'为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.1°.求渔场鱼量的平衡点，并讨论其稳定性;20 .试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0.解：1°. x（t）变化规律的数学模型为dx（t2 = rx（1-）-h记 f(x) =rx(1 - NX-)xr 2_h,令 rx(1 -一)_h = 0,即一x _rx+h = 0

32、- (1) NN4h N - 1- . N才一弛二r（r.竺），（1）的解为：一=1rNN N2当AY 0时，（1）无实根，此时无平衡点；当4=0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为 =史. 2f (x) = r(1 -工 上=一% f'（丸）=0不能断定其稳定性.rN - dx.、_Y。 即_ Y0. x0不稳定;4dtX X fN N N但 V x、0 及 x T：x0 均有 f （x） =rx（1 -x）当AA0时，得到两个平衡点：4hN - N 1 - V rN“一 24 hN N . 1 - rN,x2 -2易知 xL?, x2 " £，f'(x1

33、 )>_0 , f'(x2)-：0，平衡点Xi不稳定,平衡点X2稳定.20.最大持续产量的数学模型为:maxhs.t. f (x) -0即 maxh=rx(1 一字一* NrN.* N ,易得 =此时h=，但 =一这个平衡点不稳定.242要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 x,且尽量接近N，但不能等于-. 222数学模型第七章作业(2008年12月4日)1.对于7.1节蛛网模型讨论下列问题:（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的 价格，所以第k+1时段的价格yk书由第k + 1和第k时段的数量xy和Xk决定，如 果仍设Xk书仍只取决于yk ,给出稳定平

34、衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2 .已知某商品在k时段的数量和价格分别为Xk和yk,其中1个时段相当于商品 的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 yk=f（xk）和Xk+ =g（yk ；yk）.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3 .已知某商品在k时段的数量和价格分别为Xk和yn其中1个时段相当于商品I L二的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 yk书=f （XkXk）和 Xk： =g（yk）.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.数学模型作业解答第七章（2008年12月4日）2.对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因

35、为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的 价格，所以第k+1时段的价格yk书由第k + 1和第k时段的数量Xk 卡和Xk决定，如 果仍设Xk书仍只取决于yk ,给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了 yk中由Xk +和Xk决定之外，Xk4也由前两个时段的价格yk和yk确 定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：在Po（Xo,yo）点附近用直线来近似曲线f,h ,得到由（2）得X" Xo = P（yk+ 一yo）（3）（1）代入（3）得 *日-Xo X。）对应齐次方程的特征方程为 2九2+ctP九

36、+aP =o特征根为2当aP28时，则有特征根在单位圆外，设aP <8,则即平衡稳定的条件为0fp < 2与P207的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在 Po（xo，yo）处附近的直线近似表达式分别为:由（5）得，2（Xk书Xo） = B （y¥ y0 +y y°）（6）将（4）代入（6）,得对应齐次方程的特征方程为4九3+那九2 + 2oft< +o（P=0代数方程（7）无正实根，且-都，-土日-史不是白WL设的三个非 24零根分别为兀，%，九3 ,则,“aP对（7）作变换：=，则121其中 p = 4（2：':一2 - 21 81 3y

37、： "212 ），q=4（1236"4号十杵'飞”戋十审 用卡丹公式：4 =wj：聘）2+净3 +w2j*92+（93.1 i , 3其中w二求出已，卜2卅3 ,从而得到九1，九2 , % ,于是得到所有特征根用< 1的条件.2 .已知某商品在k时段的数量和价格分别为Xk和丫 其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk = f（Xk）和Xk1 =g（yk , yk'）.试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件 2解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk = f (xk)和xk41 = g( yk + yk

38、).2设曲线f和g相交于点Po(xo，yo),在点Po附近可以用直线来近似表示曲线 f(D和g :yk y yo -(xk _ xo ), -：s0yk2ykj，T(2)从上述两式中消去yk可得2xk攵 +aB xk书+aE xk =2(1+aP)x0, k =1,2，,(3)上述(3)式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方 程.为了寻求Po点稳定平衡条件，我们考虑(3)对应的齐次差分方程的特征方程: :/11 1'j 11； 11容易算出其特征根为(4)当OtP8时，显然有- - - . (-：- )2 -8-：i -1 _.：?.-r -44(5)从而h21A

39、2,九2在单位圆外.卜面设o(08,由(5)式可以算出。2要使特征根均在单位圆内，即 儿/Y1 ,必须3日Y2 .故Po点稳定平衡条件为aP Y 2 .3 .已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk,其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk书=f(xk,xk)和2xk+=g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件解：已知商品的需求函数和供应函数分别为y = f（XM1；xk）和Xk+=g（yk）.设曲线f和g相交于点Po（Xo，yo）,在点Po附近可以用直线来近似表示曲线 f和g :Xk 1 - xk 、八，八yk + -y0 =

40、 V (2- xo ), Ct 0( 1 )Xk+-X0 P(yk-y0), 口导0 (2)由(2)得Xk% Xo = P(yk4y0) (3)（1）代入（3）,可得：（一”）二 2Xkq2+ap Xk书+nP Xk =2Xo +2otPXo, k =1,2. , （4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方 程.为了寻求Po点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程:容易算出其特征根为-«P ±(aP)2 -8«P4(4)当aP28时，显然有- (-：»,)2 &：34c(P< _4(5)j

41、aP从而h|»2,九2在单位圆外.下面设uPY8,由（5）式可以算出入1,2=2 要使特征根均在单位圆内，即 ,2 Y 1 ,必须up Y 2 .故Po点稳定平衡条件为aP Y 2 .数学模型作业解答第八章（2008年12月9日）1.证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质:(1)A的秩为1,唯一非零特征根为n ;(2)A的任一列向量都是对应于n的特征向量.证明:(1)由一致阵的定义知：A满足a。ajk =aik , i, j,k =1,2,，n于是对于任意两列i, j ,有 也=aij ajk,(k =1,2,，n )即i列与j列对应分量成比例.从而对A作初等行变换可

42、得:八初等行变换Ab120bin0这里B10 .，秩(B)=1 ,从而秩(A )=1U / 广工一一.再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵_ _ 1PAP = BP-0C12c1n0-01 1, 呼-00, CC110易知C的特征根为C11，0,，0(只有一个非零特征根)又丫 AC，二A与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c11,又对于任意矩阵有 +% +% =Tr(A)=a11 +a22+i+ann =#1+1 = n .故A 的唯一非零特征根为n .(2)对于A的任一列向量 厮色，ank T , (k=1,2,，n)工 a1j a jkZ a1kj"j 二nn乙

43、 a2j ajkZ a2kjhajT ann工 anjajk1z ank一jw一j 4nnA(ak,a2k,an. T_nankna2k=n(a1k,a2k,an. T. A的任一列向量值住e2口，ank:都是对应于n的特征向量.7.右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向 Hamilton 圈为 3t 1t 4T 5T 2T 3.所以此竞赛图是双向连通的.等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为令e=（1,1,1,1,1T ,各级得分向量为S。）= Ae =0,2

44、,1,2,3:，S（2 ）= AS。）= （4,3,2,4,5 / ,S（3）=ASf ） = （7,6,4,7”，43S4AS 3）=：13,11,7,13,17 T由此得名次为5, 1 （4） , 2, 3 （选手1和4名次相同）.注:给5位网球选手排名次也可由计算 A的最大特征根九和对应特征向量S得到:九=1.8393, S =（0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 T数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素,拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”解：

45、目标层 准则层 方案层的层次结构图.越海方案的最优经济收2.简述层次分析法的.酎于当地捽工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么?答：层次分析法的基本步骤为：（1） .建立层次结构模型；（2） .构造成对比 较阵；（3）.计算权向量并做一致性检验；（4）.计算组合权向量并做组合一致性检验.对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法般可分解为目标层、准则层和方案层这 3个层次.目标层是选择工作岗位，方 案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发 展、声誉、关系、位置等.3.用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪 3个层次？试给出一致性

46、指标 的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次；一致性指标的定义为：CI J-n . n阶正互反阵A是一致阵的充要条件 n -1为：A的最大特征根=n.第九章（2008年12月18日）1 .在9.1节传送带效率模型中，设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种 简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数 m，比如增加一倍，其它条件 不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变， 于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可I " I以挂上产品，这种办法

47、用的钩子数量与第一种办法一样. 试推导这种情况下传送 带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好.解：两种情况的钩子数均为2m.第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩 子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子.由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为当上较小，n»1时，有 2mD =1 - E , E 光-n-4m下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对， 考虑一个周期内 通过的m个钩对.任一只钩对被一名工人接触到的概率是 -; m 1任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1 -1 ；m、一 11记p= ,q=1.由

48、工人生产的独立性及事件的互不相容性.得，任一mm钩对为空的概率为qn,其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上1件产品的概率为npqn：其空钩数为m .所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为于是带走产品的平均数是2m m（2qn +npqn）,未带走产品的平均数是n-（2m-m（2qn+npqn»）,此时传送带效率公式为近似效率公式：由于11 nII,mn n -1 1 n n -1 n - 2 12当n>1时，并令E'=1-D',则E'" 工6m两种办法的比较：2由上知：E化匚，E'生工v2nr , :. e3m4m 6m2n ,

49、 一.二 E'/E=,当 m"n 时, 3m所以第二种办法比第一种办法好.数学模型作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部实出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每 100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表：售出报纸数r （百份）012345概率P（r）0. 050.10.250.350.150.1试问报童每天订购多少份报纸最佳（订购量必须是100的倍数）?解：设每天订购n百份纸，则收益函数为n收益的期望值为 G（n）=、（11r -4n）P（r）+7n

50、0 P（r）r =0r f 1现分别求出n = 0,1,2,3,4,5时的收益期望值.G(0)=0; G(1)= -4X0.05+7X 0.1+7X (0.25+0.35+0.15+0.1) =6.45;G(2)=(-8 0.05 3 0.1 14 0.25) 14 (0.35 0.15 0.1) = 11.8;G(3)=( -12 0.05 -1 0.1 10 0.25 21 0.35) 21 (0.15 0.1) =14.4G(4)=( -16 0.05 -5 0.1 6 0.25 17 0.35 28 0.15) 28 0.1 =13.15G(5)=-20 0.05 -9 0.1 2 0

51、.25 13 0.35 24 0.15 35 0.1 =10.25当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章1 .原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型，按北京师范大学刘来福 教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.,：-, ： ； ' j ： 巾缶词直观模型如玩具、照片等形象模型,上、物理模型如某一试验装置模型:'思维模型如某一操作抽象模型，符号模型如地图、电路图数学模型2 .数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法，通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数d 2x学结构，称为此实

52、际问题的一个 数学*II型.例如力学中着名的牛顿第二定律使用公式F = mdv来dt描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口 N (t )随时间t自由增长过程的微分方程= rN (t) dt3 .数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说，数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题，为了一个特定的目的，运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型，最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善数学建模过程流程图为:实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数

53、归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数否检验模型（用实例或有关知识）符合否?是什评价、推广并交付使用产生经济、社会效益4 .数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用5 .数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类，常见的有:a.按模型的应用领域分类'人口模型交通模型环境模型（污染模型） 数学模型生态模型城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型b.按建模的数学方法分类初等数学模型 几何模型 微分方程模型 数学模型图论模型组合数学模型 概率模型 规划论模型'描述模型分析模型c.按建模目的来分类数学模型预报模型优化模型决策模型卜空制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权 向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为 A的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幕法、和法、根法4.在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形， 其余条件不变.试构造模型并求解.解