2022秋八年级数学上册 第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明 1命题学案（新版）华东师大版

1、精品文档13.11 命题1. 能说出命题、真命题、假命题、公理和定理的含义2. 会区分命题的条件(题设)和结论，奠定推理论证的根底3. 能用举反例的方法证明或判断简单的假命题；进一步学习证明，熟悉证明的步骤与书写格式教材知识详析要点1命题可以判断正确或错误的句子叫做命题，或者说，具有判断性的语句叫做命题理解命题的定义要注意两点：命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句；命题具有明确的判断性，这个判断既可以是肯定的，也可以是否认的命题的判断性是它最明显的特征，而且这个特征要明确、直截了当、毫不模糊如“我很喜欢老师表达句、“这个道理你明白吗？疑问句这两句话都没有判断性，所以都不是命题要想使之成为

2、命题，都需改为“是或“不是的形式：“我是很喜欢老师的学生、“这个道理是很明白的，这才是命题.例1以下语句中不是命题的是()1两点之间，线段最短；2不许大声说话；3连结A、B两点；4花儿在春天开放；5不相交的两条直线叫做平行线；6无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个精析：抓住命题的两层含义：必须是陈述句；能作出肯定或否认的判断故(1)(4)(5)是命题；(2)(3)(6)不是，答案为：C.解答：C.归纳整理：但凡疑问句或命令性语句都不是命题要点2命题的结构一个命题由题设和结论两局部构成，题设是事项，结论是由事项推导出的事项一般地，命题都可以写成“

3、如果(假设)，那么(那么)的标准形式，其中“如果后面引出的事项是题设，“那么后面引出的事项是结论有些命题并没有写成“如果(假设)，那么(那么)的形式，我们可以在保持命题意思不变的情况下，改写成“如果(假设)，那么(那么)的标准形式，再找出它的题设和结论例2请写出以下命题的题设和结论(1)如果两条直线相交，那么一定有一个交点；(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；(3)等腰三角形的两底角相等精析：按照命题的标准形式如果，那么分析题设、结论解答：(1)题设：两条直线相交，结论：它们一定有一个交点(2)这个命题可以直接加上如果，那么，成为标准形式如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等

4、题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：内错角相等(3)这个命题需要断开成两句话，然后扩充成标准形式为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等题设：一个三角形是等腰三角形，结论：这个三角形的两个底角相等关键提醒：在把(3)改写成标准形式时，不能机械地从命题中间断开，然后参加如果，那么，应在理解命题意思的根底上改写，改写注意到：保持命题意思不变；题设、结论的语句完整要点3命题的真、假如果一个命题表达的事情是正确的，那么称它为真命题，如果一个命题表达的事情是假的，那么称它为假命题顿有所悟：1一个命题要么是真命题，要么是假命题，只能是二者中的一个2真命题的条件和结论有着必然的逻辑关系

5、，结论是条件的必然推理结果；而假命题的条件和结论没有必然的逻辑联系，即由条件无法推出结论3要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.例3判断以下命题是真命题还是假命题，假设是假命题，那么举一个反例加以说明(1)直角都相等；(2)相等的角都是直角；(3)如果|a|b|，那么ab.精析：结合的数学知识进行判断解答：(1)是真命题，(2)为假命题，假设AB100°，但A、B不是直角；(3)也为假命题，假设a5，b5，此时|a|b|5，但ab.关键提醒：构造反例的要点：符合命题的题设，但不符合命题的结论要点4公理、定理数学中有些命

6、题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理本册教材把以下真命题作为公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与之平行；同位角相等，两直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等.数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理命题、公理、定理之间的关系如以下图：（1） 命题（2） 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，只有那些经过推理是正确的，且有很大实用价值的命题才叫定理.（3） 在数学中与定理有关的名词还有定义、推论

7、和公式等，推论是由定理派生的，公式是定理的符号化，它们都是真命题.例4以下真命题能作为公理的是 A.等腰三角形的两个底角相等B.平行四边形的对角线互相平分C.经过一点有且只有一条直线与直线垂直D.全等三角形的对应边、对应角分别相等精析：公理是人们在长期的实践中总结出来的，它不需要证明C是在作图过程中通过度量得到的， A、B、C都是利用其他的公理或定理证明出来的，因此C是公理解答：D.归纳整理：理解公理需要明确两点：(1)公理是不需要推理证明的真命题；(2)公理可以作为判定其他命题真假的依据理解定理也要明确两点：(1)定理都是真命题，但真命题不一定是定理；(2)定理可以作为推证其他命题真假的依据

8、要点5证明几何命题的一般步骤1. 审题：理解命题的意思，分清题设、结论2. 画图：根据题意画出图形，并在图形上标明相应的字母注意：图形力求准确，且具有一般性，切忌将图形特殊化3. 写出、求证：把命题中用文字表达的题设、结论，结合图形“翻译成用数学符号表述的“、“求证4. 探究证明思路：从条件出发，结合学过的定义、公理、定理、性质、判定、公式、法那么等，探索由推出结论的思路5. 写出证明过程：把探索的推理思路标准地书写出来，要求每一步有理有据，逻辑严密，最后得出结论注意，不能把结论当作条件使用例5证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高精析：按照证明几何命题的一般步骤进行：如图，在

9、ABC中，ABAC，点D是BC边上任意一点，DEAB，垂足为点E，DFAC，垂足为点F，CGAB，垂足为点G.求证：DEDFCG.证明：连结AD.SABCSABDSACD，又SABC·AB·GC，SABD·AB·DE，SACD·AC·DF，·AB·GC·AB·DE·AC·DF.ABAC，DEDFGC.拓展反思：此题运用面积法证明结论，“面积法是几何解题中的一种重要方法拉分典例探究综合应用题例1要点 推断类题型如图1，把边长为4的正三角形各边四等分，连接各分点得到16个小正三角

10、形1如图2，连接小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF的周长= .62请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形是真命题还是假命题如果是真命题，请你把它改写成“如果，那么的形式；如果是假命题，请在图1中画图说明精析：1正六边形的各边长都等于1，所以周长=6×1=62题中只判断了角，没有确定边，所以是假命题；解答：1正六边形的各边长都等于1，周长=6×1=62命题“六个内角相等的六边形是正六边形是假命题，题设为：一个六边形的六个内角相等，结论为：这个六边形是正六边形反例如以下图等 探索发现：正六边形的各边长相等，各内角相等证明一个图形是正六边形，应从边和角两方面结合进

11、行判断例2要点 表达类题型追求真理是人类永恒的目标 数学不仅要答复“什么是数学真理，还必须答复“为什么它是数学真理 为了证明数学真理，就需要证明，证明就是用人人皆同意的一些“公理与规定名词的意义，把我们以前仅凭直观或实验探索发现过的结论成为公理的逻辑推论，这样就有很强的说服力 请你在以下2个命题中任选一个加以逻辑证明，并在你选证的命题前面括号内打“ 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简称：“等角对等边 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行.精析：假设选择，首先画出图形，分析原命题，找出其条件与

12、结论，然后根据B=C证明ABC为等腰三角形，从而得出结论解答：如图，在ABC中，B=C，求证：AB=AC.证明：在ABC中，B=C，ABC为等腰三角形，AB=AC归纳演绎：此题考查命题的证明，命题证明要画图，写出、求证，然后进行证明探究创新题例3要点 信息给予类题型对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出以下五个论断：ab；bc；ab；ac；ac，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题_解析：这是一道探索性问题，题意是从五个论断中选取两个作为题设，剩下三个中取一个作为结论，组成真命题根本思考方法是：先写出可能的命题，再判断真假解答：真命题有：(1)a，b，c在同一平面内

13、，如果ab，bc，那么ac；(2)a，b，c在同一平面内，如果ab，ac，那么bc；(3)a，b，c在同一平面内，如果bc，ac，那么ab；(4)a，b，c在同一平面内，如果ab，ac，那么bc；(5)a，b，c在同一平面内，如果ac，bc，那么ab；(6)a，b，c在同一平面内，如果ab，bc，那么ac.归纳·演绎：此题考查了命题的表达形式，利用了平行线、垂线的判定方法例4要点 图表信息类题型郭老师在一次探究性学习中，设计如下数表：n2345a221321421521b46810c221321421521(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含有自然数n(n1)的代数式表

14、示：a、b、c.(2)猜测：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜测精析：(1)仔细观察表中数据不难得到an21，b2n，cn21；(2)由n2,3,4,5时，三角形都是直角三角形，于是猜测：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理来判断解答：(1)an21，b2n，cn21；(2)是直角三角形，证明如下：因为a2b2(n21) 2(2n) 2n42n21，c2(n21) 2n42n21，所以a2b2c2，即以a、b、c为边的三角形是直角三角形技法·规律：此题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可例5. 要点 推断类题型甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰的一声，球击中了李大爷家的窗户李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了李大爷问：“是谁闯的祸？甲说：“是乙不小心闯的祸乙说：“是丙闯的祸丙说：“乙说的不是实话丁说：“反正不是我闯的祸如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸A、甲 B、乙 C、丙 D、丁精析：假设甲说的是实话，那么丙说的也是实话，所以甲说的是假话，那么一定不是乙闯的祸；假设乙说的是真话，那么丁说的也是真话，所以乙说的