例谈数学求简意识的培养.

1、例谈“数学求简意识”的培养教科室频道 教研论文栏目数学的结构是科学整理中的完美的模型， 它拒绝繁琐，以简驭繁，注重逻辑 联系，尽可能地揭示最本质、最能支配事物的全局的基本理论。 “数学解题即化 简”。这同人类思维的简约有效的要求是十分一致的。高斯说：“去寻求一种最美 和最简捷的证明，乃是吸引我去研究它(数学)的主要动力。 ”学生求简意识和 求简思维的培养，是基础教育中的一种必须而可能的训练项目， 是新课改的需要， 它能有效地把学生从数学思维活动的惰性中挽救出来， 从而调动学生学习数学的 积极性，培养学生的创新意识和创新能力。一、合理开发和运用中学数学教材内容，在知识的发生、发展及形成过程 中培

2、养学生求简意识。数学教材本身无论在其结构还是内容上， 都是人们精益求精的结果，许多内 容都蕴含着求简意识和求简思维。例如：新教材“含绝对值不等式解法”中归纳出x| a (a A 0)和x 0) 的解集之后，直接要求解不等式|x-500乞5和2x+5 7在原教材的基础上删除 了归纳ax + b cc和ax+bAc(c0)型不等式的解法，这样做既培养了学生转化 与化归思想，又避免了 “重复建设”，减轻了学生学习负担。再如，椭圆方程的推导教师必须带领学生探讨：(1)如何适当选用平面直角 坐标系？这实质上是受数学美和求简意识的驱使，使建立的坐标系、所设的点坐 标都对称和谐，使由此所列的数学表达式简单、

3、明了。( 2)推导出式子(x c)2 y ,(c)2 y2 =2a后，为什么还要进一步化简？尽管这已是椭圆 方程，但它所反映的是点与点之间的距离特征， 还没有显示出椭圆本身所具备的 基本特征(几何意义上讲的长半轴与短半轴长)，同时也不符合数学简洁美的要 求。(3)如何化简.(xc)2y2 .(x_c)2y2 =2a ?为什么不直接平方，而要 移项后再两边平方？这是因为尽管两者都可以两次平方达到去根号的目的，但前者会出现x的4次方且式子很复杂，后者整理后为(a2 -c2)x2 a2y2 =a2(a2 -C2) 较为简单，这充分显示了数学变形过程中的目标调控中所包含的求简意识。(4)2 2为什么要

4、令a2 c2二b2 (b .0)，且把方程整理为 笃爲=1 (a b .0) ?通过a b变量代换(补美思想)后变成的标准方程具有简洁、对称美等许多优点，同时可 以看到a正好是长半轴长，b正好是短半轴长，从而可以通过标准方程确定椭圆 的几何特征，这正好印证了拉丁格言“简单是真的印记”的深刻含义。(5)反思距离表达式.(xc)2. (x二c)2y2 2a (2a 2c)与标准方程2 2笃当=1 (a b 0)之间的关系，回到定义反璞归真。如你能否迅速化简a b,(x - 2)2 y2(x-2)2 y2 -8 ?再就不要移项平方了，由条件我们可以得出2 2c=2， a = 4， b2 二a2-c2

5、 =16-4=12，所以，标准方程为1。总之，16 12圆锥曲线标准方程的“标准”含意就是美和简洁，是培养求简意识，优化求简思 维的好素材。又如教材中的公式、定理、概念等无一不是简洁的典范，其逻辑结构的简明， 表达式的简洁和证明方法的简捷是美的极致。 教师在教学过程中要不失时机地引 导学生求简，及时提炼，让学生看到求简的意义和作用，从而潜移默化，能更深 刻地认识自然，刻划自然，决定取舍和详略，去掉芜杂的东西，强调本质的东西， 真正达到思维的寓神于形，形神兼备。二、在解题教学实践中启迪和培养求简意识。数学教学的实质是思维过程的教学，学生求简意识来自教师指导下的灵活、 扎实的思维训练和解题实践，在

6、数学学习的过程中，每个知识点都用一个题目来 包装，而题目枚不胜举，千变万化，如果你不能透过现象看本质，就会被表象所 迷惑，难以从整体上去把握知识，这一切要求教师在解题教学中不失时机地帮助 学生把淹没在题海中的知识点、数学思想方法等抽象出来，从而启迪学生的求简 意识，达到举一反三，把数学书从“厚”读“薄”的目的。(1) 语言转化求简高一新生初次在集合中接触到大量的数学符号语言，在这一阶段能有效 地实行“文字语言” “符号语言”及“图形语言”的相互转化，是把学生思维从 初中的具体过渡到高中的抽象的前提，更是理解高中数学实质的关键。“文字语言”与“符号语言”的转化，充分体现了数学形式的简洁美，而它

7、们与图形语言的结合，更是使许多复杂问题得到较简捷的解决， 而不需要花大量 的运算和推理。在这一阶段的解题训练中，我主要通过用“条件翻译法”训练学生的语言转 化能力和有序书写的习惯。例1已知A =xx2 (P 2)x 1 =0 ,R，若A R丄求实数P的取值范围。分析：本题的关键是集合语言的理解和正确转化集合A表示方程x2 (p 2)x 0的解集，A R丄 译为1 A 二即方程 x2(p 2) x 0 无解，.： 0，求出- 4 ： p . 02 A= 即方程x2 (p 2)x0有两个非正实数解,求出P _0综上知p-4评析：上述解法从条件入手，逐步转化翻译，思路和书写简洁明了，符合高 一新生的

8、年龄和思维特征。(2) 整理代换求简。有些问题，从表面上看很难处理，但实质上若从整体上去把握，处理这些量 之间的关系，会使思路更简洁，解法更巧妙。例 2：若R，求证：a a5 a2 -a 1 0分析：对于高次不等式，用不等式的基本证法来证往往失效， 若采用分解区 间讨论又显麻烦。如果注意到不等式左边的多项式中字母次数的特点，令x二a4来整体处理，则问题变形成证明二次三项式f (x) =x2 - ax (a2 - a 1)之值恒为2 8正，从厶-3(a-)2 - ： 0，可知对任意的实数，f (x) 0恒成立，故原不等3 3式得证。(3) 运用“成论”求简数学题尽管情境千变万化，但我们总可以在这

9、变化的情境中找到不变的知识 点，如果平时多记一些常规的解题方法及一些常用结论，往往可以迅速识别问题，出奇制胜。例3： （ 93天津数学竞赛） 设x、y、zR，且x =6 y , z?二xy - 9，求证:x = y分析：本题可用成论（a b）2_4ab，由条件联想到联系x，y与xy，于是有6?艺 4（z? + 9）二 4z?兰 0 n z = 0 n （x + y ;6 二 x = y .xy = 9评析：成论（a - b）? _4ab，犹如化学反应的催化剂。（4）化动为静求简运动与静止在一定条件下可以相互转化转化，以静制动处理问题，往往可以排除纷繁复杂的过程，迅速抓住问题的本质，迎刃而解。例

10、4过抛物线y = ax? （a 0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长度分别是p、q，则-等于（）p q14A. 2aB.C. 4aD.2aa分析：本题如果直接设直线方程，再与抛物线联立，求出P、Q坐标再求PF与FQ的长度，这算量很大。但若能从选择枝上发现 -为定值，从而化动为p q静，讨论过F的直线与抛物线对称轴垂直这个特殊位置，则过程变得简单清晰。1略解：特殊位置时p二q二丄（通径的一半），易知选Co2a（5）回到定义求简定义是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示。解题过程中，有时若能发现本质，回到定义，可大大简化解题过程。波利亚就提倡“回到定义”。例5已知圆

11、的方程是x2 +y2 =9，动抛物线过点A （0，2），B （0，-2）两 点且以圆0的切线I为准线，求抛物线焦点的轨迹方程。难度大,但若回到定义，根据几何特征,分析：本题直接求轨迹，运算量大则容易而简捷。如图，分别过A、0、B作直线I的垂线, 垂足依次为C、E、D，设抛物线焦点为F(x,y) 则 AC +|BD =20E =6 (中位线)又由抛物线定义知 | AC = AFBD = BF贝U FA + FB =6 而 6 a AB =4A、B为焦点，a =3的椭圆(x = 0)所以由椭圆定义知：F点的轨迹是以2 2 F点的轨迹方程为 H 195(6) 变形整理过程求简数学解题的过程是一个不断

12、变形的过程，不断整理的过程，在这个过程中要 不断地根据目标进行调控，决定变形的方法和取舍。科学的整理要求简约，在数 学整理中，简约是一个十分重要的标志，它往往能在许多复杂的情况中能取到良 好的启发作用，给解题带来意料不到的成功。三、要在培养学生求简意识中优化学生的思维品质通过求简，去粗取精，去伪存真，揭示本质，学生受到求简精神的熏陶，会 逐渐变得善于又透彻、又简约地科学地整理自己的思想， 从而驾驭客观世界，提 高工作效率。例6 (94年全国高考)如果函数y =sin2x acos2x的图像关于直线x =-8 对称，那么a等于()A. 2B. - 2C. 1D. -1分析：引导学生先列出解题计划

13、，然后选优。常规思路，将函数化为k 二y = a2 1sin(2x 巧，其中tan二-a，然后求出对称轴 x二- ，利用242H3兀x，求出辅助角-，再求a - T。语言转化84f(x) =sin2xacos2x的图像关于x 对称，即f (x) = f (-x-)，代入可得84(a - 1)(s in 2x - acos2x) = 0 xR 二 a-1特殊化处理，由知f(x) = f(-x ) R，故令 x =0，则 f(0) = f()，二 a =-1数形结4 4合x时函数取最值8nn、 .1 + a2 = sin2 x(- ) + acos2 x(-)，易求 a - -144通过比较，学生很容易选取种解法，这两种解法反映了较高的思维层次， 体现了思维的批判性、深刻性、广阔性和灵活性，有助于形成学生健康的、