规律探索综合题(几何)全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

1、2019全国各地中考数学压轴大题几何综合八、规律探索综合题1.（2019?十堰）如图1，ABC中，CA=CB,/ACB=a,DABC内一点，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到CBE，点A,D的对应点分别为点B,E,且A,D,E三点在同一直线上.(1)填空：/CDE二2（用含a的代数式表示）；如图2,若a=60°请补全图形，再过点C作CFLAE于点F，然后探究线段CF,AE,BE之间的数量关系,并证明你的结论；若a=90AC=5一，且点G满足/AGB=90°BG=6,直接写出点C到AG的距离.(S1)(图2)解：（1）将CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到CBEACDOA

2、BCE,/DCE=aCD=CE故答案为：一AE=jCF理由如下：如图, -将ACAD绕点C按逆时针方向旋转角60,得至IJ/CBE ACD©ABCE AD=BE,CD=CE,/DCE=60° CDE是等边三角形，且CF_LDEV3 DF=EF二3“ /AE=AD+DF+EF AE=BE+CF3(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CELAG于点E,匚/ACB=90°AC=BC二八2,/CAB=ZABC=45°,AB=10/ACB=90°=ZAGB 点C,点G,点B，点A四点共圆 ZAGC=ZABC=45°且CE±AG ZA

3、GC=ZECG=45CE二GE /AB=10,GB=6,/AGB=90°.AG=AA_Qg2=8 /AC2=AE2+CE2, (5()2二(8-CE)2+CE2, CE=7(不合题意舍去)，CE=1若点G在AB的下方，过点C作CF_LAG,同理可得：CF=7 点C到AG的距离为1或7.2.(2019?宜昌汜知：在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆0.(1)填空：点小(填在”或不在”)0。上；当二5=乔时，tan/AEF的值是；(2)如图1，在EFH中，当FE二FH时，求证：AD=AE+DH；(3)如图2，当EFH的顶点F

4、是边AD的中点时，求证：EH=AE+DH;(4)如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM二FE,连接EM交DC于点N，连接FN，当AE=AD时，FN=4,HN=3,求tan/AEF的值. /EAF=90°。为EF中点，AO弋EF:弋， 点A在O。上»当一_L=J时，/AEF=45° tan/AEF=tan45=1,故答案为：在，1；(2) /EF_LFH, /EFH=90°在矩形ABCD中，/A=/D=90° /AEF+/AFE=90'/AFE+/DFH=90° /AEF=/DFH,又FE=FH, AEF。/DFH(AAS),

5、 AF=DH,AE=DF, AD=AF+DF=AE+DH;(3)延长EF交HD的延长线于点G,AF=DF,/A=ZFDG=90°/AFE=ZDFG, AEF。/DGF(ASA), AE二DG,EF=FG, /EF±FH, EH=GH, GH=DH+DG=DH+AE, EH=AE+DH;(4)过点M作MQ_LAD于点Q.EB皿C图3设AF=x,AE=a, /FM=FEEF_LFH, EFM为等腰直角三角形, /FEM二/FMN=45° /FM=FE,/A=ZMQF=90°/AEF=ZMFQ, AEF©AQFM(ASA), AE=EQ=a,AF=Q

6、M,/AE=AD,AF=DQ=QM二x,/DC/QM,_L/DC/AB/QM,EN-ADa±/FE=FM,工匚ZFEM=ZFMN=45°FENHMN,tanZAEF二弟AEa43.（2019?襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，DQ_LAE于点。，点G,F分别在边CD,AB上，GF±AE.求证：DQ二AE;推断：_L的值为1AE（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，=k（k为常数）.将矩形ABCD沿GF折叠，使点AAB落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点。.试探究GF

7、与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当kM时，若的/CGP=±L,GF=2|ii,求CP的长.H(l)(1)证明：-四边形ABCD是正方形, AB=DA,/ABE=90°=/DAQ. /QAO+/OAD=90°. /AE±DH, /ADO+/OAD=90°. ABE也ADAQ(ASA),AE=DQ.解：结论：1.AE理由：*/DQ_LAE,FG_LAE,DQ/FG,/FQ/DG,四边形DQFG是平行四边形，FG=DQ,/AE二DQ, FG=AE, 1.AS故答案为1.解：结论：二k.AE理由：如图2中，

8、作GMLAB于M./AE±GF, /AOF=/GMF=/ABE=90)/BAE+/AFO=90°/AFO+/FGM=90° /BAE=/FGM, ABEsIGMF,护一IAE/AMG=ZD=ZDAM=90°四边形AMGD是矩形， GM二AD,GPBCAE.BAB(3)解：如图21中，作PM_LBC交BC的延长线于M.D /FB/GC,FE/GP,ZCGP=ZBFE, tanZCGP=tanZBFE=西BF可以假设BE=3k,BF=4k,EF=AF=5k,=rFG=2可 AE=3,i,(3k)2+(9k)2=(3IID2, K=1或-1(舍弃)， BE=3

9、,AB=9, /BC:AB=2:3, BC=6, BE=CE=3,AD=PE=BC=6,/BEF=/FEP二/PME=90°, /FEB+/PEM=90°,/PEM+ZEPM=90°EPBFBEPEPlfl4.(2019?天H)已知ABC内接于OO,ZBAG的平分线交OO于点D，连接DB,DC.AB+AC=(1)如图，当ZBAC=120'时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系式:(2)如图，当ZBAC=90用寸，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论;(3)如图，若BC=5,BD=4,求的值.AB+ACDDDBl0

10、74;解：(1)如图在AD上截取AE二AB，连接BE,/BAG=1201/BAC的平分线交OO于点D,/DBC=ZDAC=60°/DCB=ZBAD=60°0 ABE和BCD都是等边三角形， ZDBE=ZABC,AB=BE,BC=BD, BED©ABAC(SAS), DE=AC, AD=AE+DE=AB+AC;故答案为：AB+AC=AD.(2) AB+AC=V：(AD.理由如下：如图，延长AB至点M，使BM=AC,连接DM,四边形ABDC内接于圆0,/MBD=/ACD,/BAD=/CAD=45, BD=CD, MBDOAACD(SAS), MD=AD，/M=/ACD

11、=45,/N=ZA%=ZDBC二ZDCB,AN二ADBC-BDAD_BDAN-BC又AN=AB+BN=AB+AC,BC=5,BD=4,AD=BD_4ABI-AC|BC55.(2019?岳阳)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE=BF；(2)特例感知：如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类

12、比探究：若DE=a,CF=b. 如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；a、b的式子表示QM与QN之间的数量关 如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含系.(不要求写证明过程)(1)证明：如图1中,图1-四边形ABCD是矩形， AD/BC, /DEF=/EFB,由翻折可知：/DEF=/BEF, /BEF=/EFB, BE二BF.(2)解：如图2中，连接BP,作EH_LBC于H，则四边形ABHE是矩形，EHAED/DE=EB=BF=5,CF=2,AD=BC=7,AE=2,在RtAABE中，I/A=90°BE=5,AE

13、=2,Sabef=sapbe+Sapbf,PM_LBE,PN_LBF,_L?BF?EH=_L?BE?PMa?BF?PN,222/BE=BF,PM+PN=EH=Ai,-四边形PMQN是平行四边形， 四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2.(3)证明：如图3中，连接BP,作EH_LBC于H.A£QED二EB二BF二a,CF二b, AD=BC=a+b, AE=AD-DE=b,EH=AB=V1，,TSaebp-Sabfp=Saebf/BE=BF,PM-PN=EH=lp,四边形PMQN是平行四边形,QN-QM=(PM-PN)QM-QN=PN-PM=如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,

14、同法可证：6.(2019?常德)在等腰三角形ABC中，AB二AC,作CM_LAB交AB于点M,BN_LAC交AC于点N.(1)在图1中，求证：/BMC©ACNB；(2)在图2中的线段CB上取一动点P,过P作PE/AB交CM于点E,作PF/AC交BN于点F，求证：PE+PF=BM;(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE/AB交CM的延长线于点E,作PF/AC交NB的延长线于点F，求证：AM?PF+OM?BN=AM?DE.M12证明：(1)/AB=AC, /CM±AB,BN±AC, /BMC=/CNB=90°在ABMC和ZaCNB中，

15、rZMBC=ZNCEvZBHC=ZCMB,BC=CB BMC©ACNB(AAS);(2) /BMC©ACNB, BM=NC, /PE/AB, CEPsICMB,P£|CPBlf|cB/PF/AC,BFPsIBNC,ppBPNCBCBllBMCBCB'PE+PF二BM;(3)同(2)的方法得到，PE-PF=BM, /BMC也ACNB, MC=BN, /ANB=90°/MAC+ZABN=90° /OMB=90° ZMOB+ZABN=90°/MAC=/MOB,又/AMC=/OMB=90,0Mm1m AM7MB=0M7MC,

16、 AMX(PE-PF)=OM?BN, AM7PF+OM?BN=AM?DE. .(2019?连云港)问题情境：如图1,在正方形ABCD中，E为边BC上一点(不与点B、C重合)，垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由.问题探究：在问题情境”的基础上.(1)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q,连接EQ，并延长交边AD于点F.求/AEF的度数；(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN,将上、APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值

17、.问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A,CN交AD于点F.分别过点A、F作AG_LMN,FH_LMN，垂足分另忱G、H.若AG=八，请直接写出FH的长.问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB=EC;理由如下： 四边形ABCD是正方形， /ABE=ZBCD=90°AB=BC=CD,AB/CD,过点B作BF/MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示： 四边形MBFN为平行四边形， NF=MB, BF±AE, ZBGE=90° ZCBF+

18、ZAEB=90°vZBAE+ZAEB=90° ZCBF=ZBAE,fZBAE=ZCBF在ZaABE和ABCF中，”一I,IZABE二ZBCF=90Q ABE。/BCF(ASA),BE二CF, /DN+NF+CF=BE+EC, DN+MB=EC；问题探究：解：连接AQ,过点Q作HI/AB，分别交AD、BC于点H、I,如图2所示:v四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形,HI±AD,Hl±BC,HI=AB二AD,/BD是正方形ABCD的对角线，/BDA=45°DHQ是等腰直角三角形，HD=HQ,AH=QI, /MN是AE的垂直平分线， AQ=

19、QE,在RtAAHQ和RtAQIE中，儿厂”,IAH二QI RtAAHQ也RtAQIE(HL), /AQH=ZQEI, /AQH+ZEQI=90° ZAQE=90° AQE是等腰直角三角形， ZEAQ=ZAEQ=45°即ZAEF=45°(2)连接AC交BD于点O,如图3所示：则/APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O*, /AO=OD,ZAOD=90° ZODA=ZADO=45°当点P在线段BO上运动时，过点P作PG，CD于点G,过点P作P,_LCD交CD延长线于点H

20、,连接PC,点P在BD上,AP=PC,应PC在AAPB和ACPB中，BF1二BF,.AB二BC APBZCPB(SSS, /BAP=/BCP, /BCD=/MPA=90° /PCN=/AMP, /AB/CD, /AMP=/PNC, /PCN=/PNC, PC=PN, AP=PN,./PNA=45° /PNP三90° /PNH+PNG=90° /PNH+ZNPN=90°/PNG+/NPG=90° /NPG=ZPNH，/PNG=ZNPH,由翻折性质得：PN二PN,rZKPG=ZP'MHPN二P'MZFNG=ZNP?HPGN

21、。/NHP*(ASA),PG二NH,GN=P'H, /BD是正方形ABCD的对角线，./PDG二45,易得PG二GD, GN=DH, DH=PfH,./P'DH=45°故/PDA=45° -点P在线段DO上运动；过点S作SK士DO,垂足为K, 点S为AD的中点» DS=2,贝UP,S的最小值为：:;问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,如图4：则EG=AG十,PH二FH, AE=5,在RtAABE中，BE=&E?-&E'=3, CE二BC-BE=1,/B=ZECQ=90°/AEB

22、=ZQEC,ABEQCE,AEBE=3QEC5'QE二.二AE二-AQ=AE+QE=/AG±MN, /AGM=90°=/B, AGMsiABE,旦.inAM_7IIIAEAB54解得：AM=2&,由折叠的性质得：AB'=EB二3,ZBAZB=90。，ZC=ZBCD=90°, B,M二0弘野矽基看,AC二1，vZBAD=90° ZB'AM=ZC'FA, AFCMAB',AF二祖1AJA78解得：AF二空U丐一亍/AG±MN,FH_LMN,AG/FH,AQ/FP,2FP",即史LAQRd20

23、4解得FP专，1摩128.(2019?威海)(1)方法选择BEBI如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC,BD,AB=BC二AC.求证：BD=AD+CD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM二AD，连接AM小军认为可用补短法证明：延长CD至点N,使得DN=AD请你选择一种方法证明.(2)类比探究【探究1】如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC,BD,BC是OO的直径，AB二AC,试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系，井证明你的结论.【探究2】如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC,BD.若BC是OO的直径，/ABC=300则线段AD,BD,CD之间的

24、等量关系式是BD=QD+2AD.(3)拓展猜想如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC,BD.若BC是。的直径，BC：AC：AB二a：b：c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是解：(1)方法选择：AB=BC=AC,/ACB=/ABC=60如图,在BD上截取DM=AD，连接AM,/ADB=/ACB=60,BD=CD-k5-ADbb-ADM为等边三角形,AM=AD,/AMB=/ADC=120,ABM©AACD(AAS), BM=CD, BD=BM+DM=CD+AD;(2)类比探究：如图， /BC是OO的直径， /BAC=90° /AB=AC, /ABC=/ACB=

25、45°过A作AM，AD交BD于M, /ADB=/ACB=45° ADM是等腰直角三角形， AM=AD,/AMD=45° DM=rAD, /AMB二/ADC=1350 /ABM=/ACD, ABM©AACD(AAS), BM=CD, BD=BM+DM=CD十二AD；【探究2如图，若BC是O。的直径，/ABC=30° /BAC=90°/ACB=60过A作AM_LAD交BD于M, /ADB=/ACB=60°/AMD=30° MD=2AD,/ABD=ZACD,/AMB=ZADC=150° ABMslACD,BD=

26、BM+DM=UCD+2AD;故答案为：BD=f：FCD+2AD;(3)拓展猜想：BD=BM+DM=pCD+：-AD;理由：如图，若BC是OO的直径， ZBAC=90°过A作AM_LAD交BD于M, ZMAD=90° ZBAM=ZDAC, ABMACD,.-AB=cCD谊二b, BM二一CD,/ADB=ZACB,/BAG=ZNAD=90°ADACbD1BCaDM=AD,bBD=BM+DM=CD+二AD.bb故答案为：BD二一CD十二ADbb9.(2019?丹东汜知：在/ABC外分别以AB,AC为边作AEB与AAFC.如图1,AEB与上、EF,以EF为直角边构(DAF

27、C分别是以AB,AC为斜边的等腰直角三角形，连接造RtAEFG，且EF二FG，连接BG,CG,EC.求证：AAEFCGF.四边形BGCE是平行四边形.(2)小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在ABC外分别以AB,AC为斜边作RtAAEB与RtAAFC，并使ZFAC=ZEAB=300取BC的中点D,连接DE,EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及ZDEF的度数.(3)小颖受到启发也做了探究:如图3,在ZaABC外分别以AB,AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使ZCAF+ZEAB二90取BC的中点D，连接DE,EF后发现，当给定/EAB二

28、a时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE=m,AB=n,请你帮助小颖用含m.n的代数式直接写出的值，并用含a的代数式直接表示/DEF的度数.证明：如图1中,EFC与AAFC都是等腰直角三角形，FA=FC,FE=FG,/AFC=ZEFG=90°/AFE=ZCFG, AFE©ACFG(SAS). AE=CG,ZAEF=ZCGF,AEB是等腰直角三角形，AE二BE,/BEA=90'CG二BE,EFG是等腰直角三角形，/FEG=/FGE=45/AEF+/BEG=45°v/CGE+/CGF=45° /BEG=/CGE, BE/CG, 四边形B

29、ECG是平行四边形.(2)解：如图2中，延长ED到G,使得DG二ED，连接CG,FG.S2 点D是BC的中点， BD=CD,v/EDB二/GDC, EB=GC,/EBD=/GCD,在RtAAEB与RtAFC中,v/EAB=/FAC=30° /EBD=/2+60°, /DCG=/2+60°, /GCF=360。-60。-(Z2+60°)-Z3=360°-120°-(Z2+Z3)=360°-120°-(180°-Z1)=60。+Z1,vZEAF=30°+Z1+30°=60°Z1,

30、ZGCF=ZEAF, CGFAEF, ，ZCFG=ZAFE, ZEFG=ZCFG+ZEFC=ZAFE+ZEFC=90° tanZDEF, ZDEF=30°FGEG,/EDEG,ED二FG,如图3中，延长ED到G，使得DG二ED，连接CG,FG.作EH_LAB于H,连接FD. /BD=DC,/BDE=/CDG,DE=DG, CDG©ABDE(SAS),CG=BE=AE,/DCG=ZDBE=a+ZABC,ZACB-(90°-a)=270°- /GCF=360°-ZDCG-ZACB-ZACF=360°(aZABC)-(ZABC+ZACB)=270°-(180°-ZBAG)=90°+ZBAG=ZEAF,EAF©AGCF(SAS),EF=GF,ZAFE=ZCFG,ZAFC=ZEFC,ZDEF