2020高考数学必刷试卷04答案

1、A (, 1)U2,B (, 1)U1,) C1,2D 1,2【答案】D【解析】【分析】解分式不等式得集合A,求对数函数的值域得集合 B,再由并集概念计算.2020年高考必刷卷（新课标卷）04数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

2、域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。4 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。1.已知集合A x|xy|y log2(3 x),x A，则 AU B =0x【详解】1 x由题意1 x(11x)(1 x) 0 (xx 01)(x 1) 01 1 x1,1,1 x 1 时,3x4, 1 log2(x 3)2 , B (1,2, AUB ( 1,2 故选：D.0.【点睛】 本题考查集

3、合的并集运算，考查对数函数的性质解分式不等式要注意分母不为1 + i2.已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）iA. 1B. -1C. iD. i【答案】a【解析】【分析】先计算出复数z,求出共轭复数Z，再由复数的定义得结论.【详解】1+ i （1+i）i，.一z =2= 1- i , z 1 i，其虚部为 1.i i故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义.属于基础题.13.已知 a log4 5 , b log16 2 2，cA. b c ab . cab【答案】A【解析】【分析】1利用换底公式化简b ，而a 1,0 c2即可求解.【详解】sin 2,则

4、a , b , c的大小关系是（C. a b cd . c b a1，利用y sinx在,单调性比较c21-的大小关系,21b1lOg16 2 2log2 2421?log 2 22alog 4 5 log4 41 ,一5一.51Q 2<,sin 2sinb c a662故选:A【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题4 在西非肆虐的 埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100附表

5、:咻7)0. 100. 050. 0252. 7063. S415. 024参照附表，下列结论正确的是（）A .在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为 小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B .在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为 小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”;C.有97.5%的把握认为小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D .有97.5%的把握认为小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关【答案】A【解析】试题分析:ioo(jOO-goo r 点曲30门on:，故应选二.考点：独立性检验5.已知函数f X的图象关于原点对称，且满足f(x1) f 3 x0 ,且当 x (2,4)

6、时,f (x)log1(x1)m，若 f(2021) 1 f(1),则m( )224343A.B.C.D.-3434【答案】c【解析】【分析】根据题意首先求出函数的周期为4,从而求出f 2021 f 1 ；再由函数的奇偶性即可求出1f（1） 3，由f（1）f（3），代入解析式即可求解3【详解】因为 fx1 f 3 x f x 3 ,故函数f x的周期为4,则f 2021 f 1 ；1 由 f(2021)1， 2f( 1)可得 f(1)1 ；3而 f(1)f(3)log 1 (3 1) m24解得m .3故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题6

7、.已知空间中三条不同的直线a、b、c和平面 ，下列结论正确的是（）A .若 a , b ，则 a/bB .若 a/, b ，则 a/bC.若 a , b/ ，则 a/bD .若 a c, b c,则 a/b【答案】A【解析】【分析】 利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项【详解】对于A选项，若a , b，由直线与平面垂直的性质定理可知a/b , A选项正确;对于B选项，若a/, b/ ，则a与b平行、相交或异面，B选项错误；对于C选项，若a , b/ ，则a与b平行或异面，C选项错误；对于D选项，若a c, b c，则a与b平行、相交或异面，D选项错误故选：A.【

8、点睛】本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断， 也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题7 .已知公差不为0的等差数列 an ，前n项和为Sn，满足S3 S1 10，且a1,a2,a4成等比数列,则 a3()D. 12【答案】B【解析】【分析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求a3.【详解】3ai3d cai i0设等差数列的公差为d，则2aida ai 3d"口a2a5人亠解得i或i(舍)，故a3223 i 6,d 2d0故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：(1)利用基本量即把数学问题转化为关于

9、基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；(2)利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题.8.已知函数f(x)sin(x ),若方程 f (x)64的解为Xi5X2 (0XiX2)，则 sin(XiX2)由 f(X) sin(X -)且方程 f(X)4的解为5Xi,X2 (0XiX2)，可知Xi，X2关于直线X ?对( )A.B 空1 C.2【答案】B【解析】【分析】22称，从而可得产-，进而可得出答案【详解】由f (x) sin(x )，可知x是函数的一条对称轴,63又方程f(x)4一的解为Xi, X25(0XiX2，即 XiX23所

10、以 sin(xiX2).2故选：B【点睛】本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题9.以下四个命题中，正确的是（）ujur 1 uur 1 uuuA 若OP -OA OB，则P,A,B三点共线2 3rb.若a,b,c为空间的一个基底，则r ,r rr ,r rC. a b c a b cD. ABC为直角三角形的充要条件是rr r ra b,b c,c a构成空间的另一个基底uuu UULTAB AC 0【答案】B【解析】【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D，直角三角形顶点不确定【详解】115r

11、r rr rrA错误，一+ -=1 ,所以P, A, B三点不共线；b正确，假设ab,bc, ca不能构成空间2 3 6r rrr的基底，则存在实数，使得a b （b c） c a，即（1 ）a （1 ）b （ ）c 0, 因为a,b,c为空间的一个基底，所以a,b,c不共面，则10,10,0，无解，故a b,b c,c a构成空间的另一个基底；c错误，a b c a b icos（a,b）i c ；d错误， 直角边不确定.【点睛】rr r在实数运算中，若a,b R，则ab a b，但对于向量a,b却有a b a b，当且仅当b 时等号成立这是因为a b a b icos（a,b）i，而cos

12、（a,b）|1.i n ruur uuuuuu三点P,A,B共线，对空间任一点 O,OP xOA （1 x）OB.10如图，在 ABC 中,BDgsinB CDgsinC , BD 2DC 2.2，AD 2，贝V ABC 的面8过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为AC 2，在三角形中应用余弦定理得到sin得DE DF，则AD为 BAC的平分线，二ABACBD 2DC '8 4 AB2又 cos ADB cos ADC 0，即2 4 AC2解得AC 2 ;在ABC中，cos4222BAC 二 sin BAC，二 S abc8jABgACgsin BAC3、72A 口B 口C 3 3D

13、 3 d2 2【答案】B【解析】【分析】 过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E,F，结合题干条件得到 AD为 BAC的平分线，根ab bd据角平分线定理得到-2，再由cos ADB cos ADC 0,结合余弦定理得到3 7BAC，最终求得面积8E, F ,由 BDgsinB CDgsinC，故选B.【点睛】对余弦定理本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题定要熟记两种形式:(1)a2b2 c2 2bccosA ；( 2)cosA.2 2 2b c a2bc ，同时还要熟练掌握30o,45o,60o 等特6运用两种形式的条件另外，在解与三角形、三角函数有

14、关的问题时，还需要记住 殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用11如图，正方体ABCD ABQU中，E , F , M , N分别为BC , CG , A , C1D1的中【答案】C【解析】【分析】 通过做平行线，得到直线 EF , MN所成角的大小，可转化为 AG与BC1的夹角，三角形 ABG,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果【详解】连接AC1,BG,A1B，根据E , F , M , N分别为BC , CG , A1D1 , GD1的中点，可得到MN是三角形ACP的中位线，故得到 MN PACi,同理可得到BCi PEF，进而直线EF , MN所成角的大小，可转化为 A

15、G与BC1的夹角，三角形 ABG,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形,故得到AG与BC1的夹角为3 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了异面直线的夹角的求法,常见方法有:通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线,进而将空间角转化为平面角12知 f x ,g x的函数，0, f0,-g x则关于x的方程abx20,1有两个不同的实根的概率为（3A.-5【答案】1D.2【解析】由已知,函数是减函数，f 11，又 -g 1-,方程abx222x i 0有两个不等的实根，则4ab -2 5b20,1 ,所以0b彳，因此-0所求概率为P51 0-，故选B.5二、填空题：本大题共4小题，每小题13

16、.已知向量a，b满足|a| 1 , |b|第u卷（非选择题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。2, a （舌b），则a与b夹角的大小是3【答案】-4【解析】由向量垂直的充分必要条件可得ab【分析】X2，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即【详解】由 a （a b）得，a（v b）0，即 V2 Vb 0,V V v VJ V V，I据此可得： a b a b cosfa,bV2,又a与b的夹角的取值范围为o,故a与b的夹角为343【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力 14若下框图所给的程序运行结果

17、为S=20,那么判断框中应填入的关于整数k的条件是【解析】z我r1J/ *±S yZ+| 结卑 |试题分析：由题意可知输出结果为 S 20，第1次循环，S 11 ,k 9，第2次循环，S 20 ,k=8 ,k 8（或k 9）故答案为k 8（或k 9 ）此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为考点：算法框图.15.已知双曲线C :2 2X2每1(a 0,b 0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与a b双曲线C的一条渐近线于交 M、N两点，若 MAN 60°，则C的离心率为【答案】【解析】如图所示,由题意可得 |OA|=a , |AN|=|AM|=b ,

18、/ MAN= 60°|AP|=仝 b,2|0P|= .|0A|2 |PA|2a23b24设双曲线C的一条渐近线吟的倾斜角为。，则tan。罟|2a2 ：b2K又 tan 0=,aa2= 3b2，2”33答案:2.33点睛: 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本c量a,b,c的方程或不等式，再根据 b2 c2 a2和e 转化为关于离心率e的方程或不等式，通过a解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）16.已知函数f x x 1 sinx cosx，若对于任意的 为公20, 为x?，均有2f Xi f X2a ex ex2 |成立，则实数

19、a的取值范围为【答案】1,【解析】叮 X1 X2，0,上为减函2【分析】求导可知函数f x在0,上为增函数，进而原问题等价于对于任意的Xi,X22均有f x1aexi f x2 aeX2，构造函数h x f x aex，则函数h x在数，求导后转化为最值问题求解即可.【详解】解：f x si nx x 1cosx sinxX 1 cosx ,任意的 x-i ,x20,x12X2 ,0恒成立，所以fx单调递增,不妨设x)X2，则 f Xif X2，又exeX2 ,故f X1f x2X1 a eeX2 |等价于f X2f X1aeaeX ,即f x1X| aef x2X2ae ,Xaex 1 si

20、nx cosx0,2易知函数上为减函数,故h'1 cosxaex 0 在0,上恒成立，即2x 1 cosx在上恒成立,1 cosx厂,X 0,-Xcosx x 1 sinx eXx 1 cosx exsinx sinx(ex)2故函数gX在0,2上为减函数，则g(X)max g 0故答案为：1,【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必做题，每个考生都必须作答第22/23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60分 17设数列 a

21、n的前n项和为Sn 已知3=4, an 1=2 Sn+1, n(I)求通项公式 an ；(n)求数列| an n 2 |的前n项和.2,n1,【答案】(I) an 3n1, n N* ； (n)n2 5n 11* ,n 2, n N .2【解析】【详解】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力试题解析:(I)由题意得a1a2a? 4&12a11，则a21,3.又当 n 2 时，由 an 1 an(2Sn 1) (2Sn 1 1) 2an , 得 an 1 3an.n 1*所以，数列 an的通项公式为an 3 , nN.(n)设 bn 3

22、“1 n2 , n N*,E 2,b21.当 n 3时，由于3n 1n 2，故 g3n1 n2,n3.设数列bn的前n项和为Tn，则£ 2,T23.当n 3时，Tn3 9(1 3n2)(n 7)( n 2)3n n2 5n 112,n1,所以，Tn3n n2 5n 11 貉 n*.【考点】 等差、等比数列的基础知识【方法点睛】数列求和的常用方法：(1 )错位相减法：形如数列anbn的求和，其中 an是等差数列， bn是等1比数列；(2)裂项法：形如数列的求和，其中 f n , g nf n g n是关于n的一次函数；(3 )分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分.18.在直

23、三棱柱ABC ABC中，底面 ABC是直角三角形，AC BC AA 2 , D为侧棱AAi的中点(1)求异面直线DC1、EC所成角的余弦值;(2)求二面角B1 DC G的平面角的余弦值【答案】卫:2.103【解析】【详解】试题分析：建立空间直角坐标系，由题意写出相关点的坐标；(1 )求出直线DCsBC所在的方向向ujun uujr量DG,B1C，直接计算即可；(2)求出平面B1DC与平面DCC1的法向量，计算即可试题解析：(1)如图所示，以 C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-XVZ则 C(0, 0, 0), A(2 , 0, 0), B(0 , 2, 0), C1 (

24、0, 0, 2), B1(0, 2, 2), D(2 , 0,1).2, 2)，uuuu ujir所以 cos(DCi, BC)2.5 .8.10.即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为1o10uuuuur所以 DC1( 2,0,1)，BC(0,uuu(2)因为CBuuu(0,2,0) , CAuuuu(2,0,0) , CC1uur uuu(0,0,2)，所以 CB CA0，uuu山也CB CC10，所ujr以CB为平面ACC1A1的一个法向量。uurujurr因为BC (0,2, 2), CD(2,0,1)，设平面B1DC1的一个法向量为n ,n= (x,y,z).r uuur,n B-

25、|C 0,2y 2z 0,人r由 r uur 得令 x= 1，贝V y = 2，z= 2, n = (1>2>_ 2).r uuu 所以 cos(n,CB)n CD 0, 2x z 0.4 2-形3.所以二面角B1DCT 1的余弦值为考点：空间向量的应用【名师点睛】本题考查空间向量的应用，属中档题；在空间求线线角、线面角、二面角，是通过建立恰当的空间直角坐标系，正确写出各点的坐标，则通直线所在的方向向量、平面的法向量，通过向量的夹角间接求解，准确运算是解决这类问题的关键219.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y X上异于坐标原点o的两不同动点A、E满足AO BO(如图所示)（I）

26、求 AOB得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程;2（n） AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（I）设AAOB的重心为XG(x,y),A(x i,yi),B(x2,y2),则 OA 丄 OB kOA kOB1,即 X2又点A，B在抛物线上，有2Xi, y22X2，代入（2）化简得X/22'x1'x21 2 2 2 2 2 2 2 22X1X2X1 y2X2 y1% y?所以重心为G的轨迹方程为 y由(I)得1 6 6S AOB :, X1X2)Saob 1|OA|OB| 2 (X12 y12)(X； y2)2 丄冋，6 x；

27、 2 '2<( 1)6 2 - 2 12 2 26 6当且仅当X1X2即X1X21时，等号成立，所以 AOB的面积存在最小值为怪二;(Vi殳直御湖方程为厂仪“ 0).则渤直线方崔丙尸硏重心蚣刃联立播升=匕rJ=1-®STji> =,T七二粧M式的"字=宁3泊棹r可得三甫形亶心畝谨方程>心弐£+由CO可制加卜為云点十右当且仪比=丄1时取尊臥三甬形啲面稅最小值为1法三(1 »设直鑑伽方程効M和+8謎厂九工£$ ,耳)，矶和»，-A0isar:. x x +兀兀兀兀=_1/丿=虹亠b耽立1導抚-尿亠B = D工+工

28、=応咒工=-£* = -I-J = X由重记心的心戈+戈=S =工叽d F S = 口3 3533消蓮礎重讪迹方程知讥号：2)由上可却直編吗亘过gl):s =亍比策-扌Jh +戈)4工龙专&匚山>1(当k=D腐取等号).-.三角形QB面积存在是小眉11 220.已知函数 f x alnx x a 1 x 1 .2(I)当a=2时，求f (x)的单调递减区间；(n)若a> 1,求f (x)在区间(0, +s)上的极大值与极小值.11 2【答案】(I) (1,2) (n)极大值f(1) a，极小值f(a) alnaa2 a 1.22【解析】【分析】(I)先求出f (X

29、)的导数，根据 f (x)v 0求得的区间是单调减区间；(n)先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于 0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点,求出相应极值即可【详解】(I) f X的定义域为0,，当a 2时,f x2l nx1 2 x23x 1,f x2x3x 3x 2xx(n)f xax a 1x0, f x的单调递减区间为1,2 ；x a 1 x a“0 , Xi1,X2a,xQ a 1 , 在0,1是增函数，在 1, a为减函数，在 a, 为增函数,11极大值f 1a，极小值faal naa 试根据

30、表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； 2 a 1 .22【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据 函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能 力要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，属基础题.21 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中x=1”表示2015年，x=

31、2"表示2016年，依次类推；y表示人数):x12345y(万人)20501001501801 一数与偶数的概率都是一，方格图上标有第0格、第1格、第2格、第20格。遥控车开始在第 0 2格，网购者每抛掷一次骰子， 遥控车向前移动一次若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k到k 1）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k到k 2 ），直到遥控车移到第 19格胜利大本营）或第 20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第n（1 n 19）格的概率为Pn，试证明 Pn Pn 1是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值nXi yi nx y附：在线性回归方程 ？ bX召中，

32、b?斗,? y b?X.2 2Xi nxi 1【答案】（1）? 42x 26，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人；（2）约 400 元【解析】【分析】_55（1） 依题意，先求出 X 3,y 100,xiyi 1920,xi2 55,，代入公式即可得到 $，$，可得i 1i 1回归方程为$ 42X 26，令42x 26 300 , x Nx-8 .所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300万；（2） 遥控车移到第n （ 2剟n 19）格的情况是下列两种，而且也只有两种1 遥控车先到第n 2格，又掷出偶数，其概率为Pn 221 遥控车先到第n 1格，又掷出奇数，其概率为Pn

33、121 1利用累加法求出数列所以Fn Pn 2 2 Pn 1，即可证得Pn Pn 1是等比数列，R的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望【详解】解：（1） X12 3 45 门3,5-20 50100 150 1801005119(2)Xi yi 1 20 2 50 3 100 4 150 5 18019202Xi1222八2,2234555,故 $19205 3 10055 5 942,从而 a y b$x 100 42 326,21 ,2所以所求线性回归方程为 $42x26，*令 42x 26300, x N ,解得 x 8.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人

34、(2)遥控车开始在第0格为必然事件，P。 1,第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概11一率为一，即P遥控车移到第n ( 2剟b 19)格的情况是下列两种，而且也只有两种221 遥控车先到第n 2格，又掷出奇数，其概率为 -巳221 遥控车先到第n 1格，又掷出偶数，其概率为-Pn 1111所以 PiPi2P,1，P1P11(P1 1P12)2221当1剟b 19时，数列Pn巳1是公比为 一的等比数列2R 1R ( E)2,P3 P2( )3, Pn 尺1( 1)n2 2 2 2以上各式相加，得 R 1Pn2 1 ( )n 1( n 0,1,2, ,19)，n 322 1获胜的概率P9 1( -)203 2111 失败的概率P20r81 ()19232X