人教版八年级数学上册期末试卷专题练习(解析版)

1、人教版八年级数学上册期末试卷专题练习(解析版)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1 .取一副三角板按图(1)拼接，固定三角板AOC(NO = 60',NACO = 3(T),将三角板 ABC(ZBAC = ZBCA = 45 )绕点A依顺时针方向旋转一个大小为。的角(0 K。W 45°) 得到A8W,图(2)所示.试问：(1)当。为多少时，能使得图(2)中48CQ?说出理由,(2)连接80,假设AW与8交于E,8M与CO交于尸，当(0 WK45°)时，探索 ZDBM + ZC4M + ZBDC值的大小变化情况，并给出你的证明.【答案】(1) 15。： (2)

2、 NQ3M + NC4M + N3OC的大小不变，是105、证明见解 析.【解析】【分析】(1)由 48/CQ 得到 N3AC = NC = 30"，即可求出。：2 2) ND8W + NCW + NBQC的大小不变，是 105。,由 NFEM = NC4M + NC， ZC = 30° , /EFM = ZBDC+NDBM , ZA/=45°,即可利用三角形内角和求出答 案.【详解】(1)当“为 15 时，AB/CD,理由:由图,若ABUCD，则NBAC = NC = 30°,a = ACAM = ZBAM - ABAC = 45 -300 = 15%

3、 所以,当。为15。时，AB/CD.注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把ABCD当做条件求出。为15°，第二种：把。为15。当做条件证出A3C£), 这两种解法都是正确的.(2) NQ8M + NC4M + N3OC 的大小不变，是 105。证明：N/EM = NG4M + NC,NC = 30°.:.ZFEM = ZCAM + 30°.ZEFM = ZBDC+ZDBM.ADBM + /CAM + ZBDC = 4EFM + /CAM,： ZEFM + /FEM + ZM=180 , ZM = 45°, ZWC+"BM + NCW

4、 + 300+45。= 180。， NDBM + ZCAM + 4BDC = 1800-30 -45 =105°,所以，NO8W + NC4A/ + N3QC的大小不变，是105°.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角 度和表示为三角形的外角是解题的关键.2.己知：在平面直角坐标系中，A为大轴负半轴上的点，8为）'轴负半轴上的点.如图1,以A点为顶点、A8为腰在第三象限作等腰H/AA5C,若。4 = 2,。3 = 4, 试求C点的坐标：如图2,若点A的坐标为（26,0），点8的坐标为（。,一2）,点。的纵坐标为，以

5、 4为顶点，84为腰作等腰RAA8D.试问：当4点沿）'轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2机+ 2-56的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变 化，请说明理由；如图3, E为轴负半轴上的一点，且OB = OE, OFtEB于点、F ,以。8为边作等 边AOBM,连接EM交OF于点、N ,试探索：在线段石尸、EN和中，哪条线段等 于屈W与OV的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(DC(-6,-2);(2)不发生变化，值为JJ： (3) EN=-(EM-ON),证明见详解.2【解析】【分析】(1)作CQ_lOA于点Q.可以证明aAQC三804,由Q

6、C=AD.AQ=BO,再由条件就可以求 出点C的坐标：(2)作 DP_LOB 于点 P,可以证明403 三aBP。，则有 BP=0B-P0=m-(-n)=m+n 为定 值，从而可以求出结论2? + 2-5jJ的值不变为-(3)作BH_LEB于点B,由条件可以得出乙 1=30。,2=43=乙EM0 = 15。/E0F=4BMG=45。,E0=BM,可以证明ENO三5GM，则GM=0N,就有EM-0N=EM-GM=EG最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=i(EM-2ON).【详解】(1)如图(1)作CQ工0A于Q.乙 AQO90。, AA3C为等腰直角三角形, aAC=ABxCAB=90&#

7、176;/ .ZQAC+ZOAB=90% 2QAC+ZACQ=9O。，4 ACQ 二4 BAO,又 AC=AB .zAQC=ZAO B, .AQC m8O4(AAS),.,.CQ=AO,AQ=BO,vOA=2zOB=4,CQ=2,AQ=4,OQ=6, C(-6厂2).如图(2)作DPLDB于点P, ZBPD=9O。， 45。是等腰直角三角形， AB=BD.乙 ABD=4ABO+4 OBD=90。，4OBD+4 BDP=90。，ZABO=Z_BDE又AB=BD,ZAOB=4BPD=90。，:公 AOB 三 4BPD.-.AO=BBvBP=OB-PO=m-(-n)=m+n,0A=2G.-.m+n=

8、 2 5/3,当点B沿y轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=2jJ,，整式22 + 2-5/J的值不变为-6 .(3) EN=；(EM -ON)证明：如图(3)所示，在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并延长，交x轴于H. 03M为等边三角形，.BO=BM=MO.zOBM=zOMB=zBOM=60°, .EO=MOzEB M= 105°,z.l=3 0°,vOE=OB,，OE=OM=BM,，4 3=4EM0=15。， 乙 BEM=30。,乙 BME=45。，vOFlEB, 乙 EOF=4BME,：. ENO 三 aBGM , BG=EN,vON=MGz 4

9、2=Z.3, 42=15。， ZEBG=9O。，1 aBG=-EG, 21EN二一 EG,2vEG=EM-GM,I.-.EN=y (EM-GM),1/.EN=-(EM-ON).2【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外 角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.23.如图，在中，BC = 5 ,高A。、4E相交于点。，8。= 一8 ,且4石=8石. 3求线段A。的长；动点P从点。出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点4运动，动点。从点8出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，忆。两点同时出发，当点。到达A点时，R

10、Q两点同时停止运动.设点夕的运动时间为，秒，AP。的而积为S,请 用含，的式子表示S ,并直接写出相应的，的取值范围；在(2)的条件下，点厂是直线4c上的一点且 3 = 8。.是否存在，值，使以点B,O,P为顶点的三角形与以点尸,CQ为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条 件的/值;若不存在，请说明理由.【答案】(1)5： (2)当点。在线段8。上时，。=2-寺，/的取值范围是。</<!：当点0在射线OC上时，。=勿-2,，的取值范围是!</45： (3) 22存在，=1或g.【解析】【分析】(1)只要证明AOEgABCE即可解决问题：(2)分两种情形讨论求解即可当点Q

11、在线段BD上时，QD=2-4t,当点Q在射线DC 上时，DQ=4t-2时;(3)分两种情形求解即可如图2中，当OP=CQ时，BOPAFCQ.如图3中，当OP=CQ 时，BOPgAFCQ；【详解】解：(1)AO是高，ZAOC = 90,/ 8E 是高，： ZAEB = /BEC = 90 ZEAO + ZACD = 90 , NEBC + ZECB = 90 , . ZEAO = /EBC在A4QE和MCE中，ZEAO = AEBCAE = BEZAEO = ZBEC . . AAOE g ABCE AO = BC = 5：2(2) V BD = -CD. BC=53/- BD=2 CD=3,根

12、据题意，OP = l, BQ = 4f,当点Q在线段80上时，QD = 2-4tf* S = - z（24z） = -2厂 + /,，的取值范围是。< r < .当点0在射线0c上时，。=4/一2,，5 = 1«4/-2） = 2/一，“I勺取值范围是Lvf «5 22（3）存在.如图 2 中，当 0P=CQ 时，V0B=CF, NP0B=NFCQ. A ABOPAFCQ.ACQ=OP,，5-4t=t,解得t=l,如图 3 中，当 OP=CQ 时，VOB=CF, NPOB=NFCQ, /.ABOPAFCQ.，CQ=OP,A4t-5=t,解得t=:.综上所述，t=

13、l或2s时，ZiBOP与FCQ全等.3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.4.探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）"，试探究NBDC与NA、NB、NC之间的数量关系，并说明理 由：（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图（2）,把一块三角尺XYZ放置在AABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过 点 B、C,若NA=40，则NABX+NACX=0 .如图（3） , DC 平分NADB, EC 平分N

14、AEB,若NDAE = 40，, ZDBE = 130° ,求NDCE 的度数.图（1）图（2）图（3）【答案】（1）/BDC=NBAC+NB+NC,理由见解析：（2）50：NDCE=85°.【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质，即可判断出NBDC= ZBAC+ZB+ZC：（2）由（1）可得NA+NABX+NACX=NX,然后根据NA=40° , ZX = 90° t 即可求 解：（3）由NA=40, , NDBE = 13（T ,求出NADE+NAEB的值，然后根据NDCE = ZA+ZADC+ZAEC r求出NDCE的度

15、数即可.【详解】（1）如图，NBDC=NBAC+NB+NC,理由是：过点A、D作射线AF,VZFDC=ZDAC+ZC, NBDF= NB+NBAD,AZFDC+ZBDF=ZDAC+ZBAD+ZC+ZBtHP ZBDC= ZBAC+ZB+ZC：（2）如图（2） , VZX = 90° ,由（1）知：ZA+ZABX+ZACX= ZX = 90° ,VZA=40° ,AZABX+ZACX=50° ,故答案为：50；如图（3） , V ZA=40° , ZDBE=130° ,AZADE+ZAEB = 130° -40° =

16、90° ,DC 平分NADB, EC 平分NAEB,11AZADC=-ZADB, NAEC=-NAEB, 22.ZADC+ZAEC=（ZADB + ZAEB） =45° ,A ZDCE= ZA+ZADC+ZAEC=400 +45° =85° .【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5.如图，AA8C是等腰直角三角形，NR4C = 90°，点。是直线BC上的一个动点（点 D与点、B、。不重合），以A。为腰作等腰直角石，连接CE.（1）如图，当点。在线段3c上时

17、，直接写出8CCE的位置关系，线段8cs ,CE之间的数量关系；（2）如图，当点。在线段8C的延长线上时，试判断线段BC, CE的位置关系，线段 BCCDCE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点。在线段C8的延长线上时，试判断线段3CCE的位置关系，线段 8CCDCE之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析：（2） BC1.CE, CE = BC+CD,理由见解析；（3）BC上CE,CD = BC + CE,理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件 AB=AC, ZBAC=90% AD=AE, ZDAE=90% 判定ABDgZkACE （SAS）,利用两角的和即可得出8C_LC

18、E：利用线段的和差即可得出8C = CE + CD：（2）同（1）的方法根据SAS证明4ABD也ZXACE,得出BD二CE, NACE=NABD,从而得出 结论：(3)先根据SAS证明ABDgACE,得出NAQ3 = NAEC, BD = CE，从而得出结 论.【详解】(1):ABC、是等腰直角三角形， ，AB=AC, AE=AD, 在ABD和4ACE中AB=AC< N8AC=NOAE = 90° , AD=AE.,.ABDAACE (SAS),.NB=NACE, BD=CE,又.,ABC是等腰直角三角形，A ZB+ZACB=90°,A ZACE + ZACB= 90

19、°，即 5C _L CE,VBC=BD+CD, BD=CE, BC = CE + CD ；(2) BCrCE, CE = BC + CD,理由如下：V MBC > AAT应是等腰直角三角形，:.AB = AC. AD = AE, ABAC = ZDAE = 90° , ABAC+ZDAC = ZDAE+ADAC即 ABAD = ZCAE,在AABD和A4CE中AB=AC /BAD = NCAE AD=AE . A48。三 AACE(81S) .BD = CE ：BD = BC+CD:CE = BC + CD, ZABD = ZACE， ZABD + ZACE = 90

20、° ZACE+ ZACB = 90° BCLCE.(3) BC± CE,CD = BC + CE,理由如下：VAAOE是等腰直角三角形， AB = AC. AD = AE, ABAC = NDAE = 90° ,: ZBACNBAE = ZDAE/BAE ,即 4AO = NC4£,在AABD和MCE中AB=AC< /BAD = ZCAEAD=AEAABD = AACE(SAS),:.ZADB = ZAEC, BD = CE,: CD = BD+BC,:.CD = CE+BC,V ZADE + ZAED = 90° ,即 ZAO

21、3 + NCDE + ZAEZ) = 90° ZAEC + ZCDE + ZAED = 90°，ZDCE = 90° » 即 8C_LCE.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2, 3),点8 (-2, 1).(1)请运用所学数学知识构造图形求出A8的长；(2)若RD48C中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用 计算写出你能写出的点C的坐标：(

22、3)在x轴上是否存在点P,使%=P8且%+P8最小？若存在，就求出点P的坐标；若不 存在，请简要说明理由(在备用图2中画出示意图).【答案】(1)人8=2好：(2) C2 (0,7)» C4 (0, -4) , Cs (-1,0)、C6(1,0) ； (3)不 存在这样的点P.【解析】【分析】(1)如图，连结A8,作8关于y轴的对称点。，利用勾股定理即可得出A8：(2)分别以4 B, C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可：(3)作48的垂直平分线&则b上的点满足力=P8,作8关于x轴的对称点6,连结AB',即x轴上使得力+P8最小的点，观察作图即可得出

23、答案.【详解】解：(1)如图，连结A8,作8关于y轴的对称点。，由已知可得，80=4, AD=2.在RtA48D中,AB=2小(2)如图，以人为直角顶点，过A作A_L48交x轴于C1，交y轴于Cz.以8为直角顶点，过8作，2_L48交x轴于C3,交y轴于C4.以C为直角顶点，以八8为直径作圆交坐标轴于C5、C6、G.(用三角板画找出也可) 由图可知，C2 (0,7) , Ci (0, -4) , C5 (-1,0)、C6 (1,0).(3)不存在这样的点P.作48的垂直平分线£则"上的点满足力=P8,作8关于x轴的对称点g,连结八&,由图可以看出两线交于第一象限.不

24、存在这样的点P.【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称-路径最短问题的综合作图分 析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题.7.如图，在等边AABC中，点。，E分别是AC, A8上的动点，且AE = C£>, BD 交CE于点尸.(1)如图 1，求证NBPC = 120°(2)点M是边8C的中点，连接PA, PM .如图2,若点A, P,历三点共线，则A尸与尸M的数量关系是；若点A，P，M三点不共线，如图3,问中的结论还成立吗？若成立，请给出证明, 若不成立，请说明理由.【答案】(1)证明过程见详解：(2)AP = 2PM ；结论成立，证

25、明见详解【解析】【分析】(1)先证明AECaCO8(SAS),得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角 相等即可得出结论：(2) ®AP = 2PM :由等边三角形的性质和已知条件得出AM_L8C, NC4>=30。，可得 PB = PC,由N8PC=120。和等腰三角形的性质可得NPCB = 30。，进而可得AP=PC,由30。角 的直角三角形的性质可得PC=2PM,于是可得结论；延长8P至。，使PD=PC,连接4)、8,根据SAS可证4CDg/8CP,得出4)=8P, ZADC=ZBPC=120°,然后延长 PM 至 N,使 M/V=MP,连接 CN,易证C

26、MN丝BMP(SAS),可得 CN=8P=4), NNCM=NPBM,最后再根据 SAS 证明ADPANCP,即可 证得结论.【详解】(1)证明：因为ABC为等边三角形，所以N4 = NAC8 = 60。AC = BC(/A = NAC8,."ECmCOB(SAS),./正。=/88， AE = CD在四边形4£P。中， NAEC + NEP£>+NPD4 + NA = 360°, ZAEC + AEPD+180°- ZCDB+60° = 360°,:.AEPD = 120°, A ZBPC = 120

27、76;；(2)如图2, .48C是等边三角形，点M是边8c的中点，A ZBAC= ZABC= Z/ACB=60°, AM1BC, ZCAP= - ZBAC= 30 :PB=PC, 2V ZBPC= 120 ：.ZPBC=ZPCB=30：.PC=2PM9 NACP=600-30° = 30°=NC4P,，4P=PC, .AP=2PMI故答案为：AP = 2PM ：4P=2PM成立，理由如下：延长 8P 至。，使 PD=PC,连接 4D、CD,如图 4 所示：则 NCPD= 180。- N8PC= 60。, PCD是等边三角形， ：.CD=PD=PC, NPDC=NP

28、C。=60°,:.ABC 是等边三角形，：.BC=AC, ZACB=60° =ZPCD9 ；.NBCP=NACD,A AACDABCP (SAS),：.AD=BP. NAOC=N8PC= 120°, /. NADP= 120° - 60° = 60%延长PM至N,使MN=MP,连接C/V, 丁点M是边BC的中点，：.CM=BM. :.ACMN冬 ABMP ( SAS),：.CN=BP=AD, NNCM=NPBM, :.CNBP, AZ/VCP+Z8PC=180% ：.ZNCP=60° = ZADP,在AOP 和NCP 中，9：AD=N

29、C. /ADA/NCP, PD=PC9 :.ADPANCP (SAS),：.AP=PN=2CM-A【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、含30。角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角 形全等是解题的关键.8.如图1 f AABD "ACE都是等边三角形,(1)求证：AABEAADC ;(2)若 NACD=15。，求NAEB 的度数:(3)如图2,当AABD与4ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证： ACBE .【答案】(1)见解析(2) ZAEB=15°(3)见解析【解析】

30、试题分析：(1)由等边三角形的性质可得AB=AD , AE=AC , ZDAB=ZEAC=60°,即可得 ZDAC=ZBAE ,利用SAS即可判定ABEADC ； ( 2)根据全等三角形的性质即可求 解：(3)由(1)的方法可证得4ABE名AADC,根据全等三角形的性质和等边三角形的性 质可得NAEB=NACD=60° ,即可得NAEB=/EAC ,从而得 ACBE .试题解析：(1)证明：.'ABD "ACE都是等边三角形.AB=AD , AE=AC ,ZDAB=ZEAC=60" , AZDAC=ZBAE , 在"BE和4ADC中，&

31、#39;AB=AD.< ZBAE=ZDAC ,，植二 AC/.abeAadc ;(2)由(1)知 4ABE /"DC, AZAEB=ZACD ,ZACD=15° .，ZAEB=15° ；(3)同上可证：ABEgZkADC, AZAEB=ZACD ,XVZACD=60" , , ZAEB=60° f / ZEAC=60° f AZAEB=ZEAC , ，ACBE .点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得ABEgZkADC 是解决本题的关键.9.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

32、2.线段垂直平分线. 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是 线段48的垂直平分线，P是MN上任一点，连结力、PB,将线段48沿直线MN对称，我 们发现以与P8完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点 到线段的距离相等.己知：如图，MNLA8,垂足为点C, 4C=8C,点P是直线MN上的 任意一点.求证：PA = PB.分析：图中有两个直角三角形APC和8PC,只要证明这两个三 角形全等，便可证明%=P8.明过程.定理应用：(1)如图，在ABC中，直线m、分别是边8C、47的垂直平分线，直线m、的交 点为0,过点0作OHL48于点

33、M求证：AH=BH.(2)如图，在ABC中，AB=BC,边48的垂直平分线/交4c于点。，边8c的垂直平 分线k交4c于点E.若N48c=120°, 4c=15,贝U。£的长为【答案】（1）见解析：（2） 5【解析】【分析】定理证明：先证明PACgaPBC,然后再运用三角形全等的性质进行解答即可:（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD, BE,证明ABDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明： / MNLAB,：.Z PC4 = Z PCB = 90°.又,.,AC=8C, PC=PC,：. PAC Q PBC （

34、SAS）, . PA=PB.定理应用：（1）如图2,连结04 08、OC. 直线m是边8c的垂直平分线, 08 = 0C, 直线是边4C的垂直平分线，J 04 = 0C,/. OA = OB / OH LAB,：,AH=BH；, BA = 8C, Z/4BC=120%/. Z A = N C=30°,V边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E, DA = DB, EB=EC9.NA = N 084 = 30°, Z C=Z EBC=30°,/. Z 8DE=N 4+N D8A = 60°, Z BED=N C+Z EBC=60

35、76;, 8DE是等边三角形，：.AD=BD=DE=BE=EC,/ AC= 15 =AD+DE+EC=3DE,：.0E=5,故答案为：5.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性 质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.10.如图，在等边AA3C中，线段AM为8。边上的中线.动点。在直线AM上时，以 CO为一边在CO的下方作等边ACQE,连结鸵.（1）求NC4M的度数；（2）若点。在线段AW上时，求证：AADC = ABEC：（3）当动点。在直线AM上时，设直线4E与直线AW的交点为。，试判断NAQ3是否 为定值？并说明理由.备用图1

36、备用图2【答案】（1）30。： （2）证明见解析；（3） ZAO8是定值，ZAOB = 60°.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论：（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC = AC, DC = EC,ZACB = ZDC£ = 60%由等式的性质就可以N3CE = NACO,根据S4s就可以得出 MDC =2EC；（3）分情况讨论：当点。在线段AM上时，如图1，由（2）可知AACQ=MCE,就可 以求出结论：当点。在线段AW的延长线上时，如图2,可以得出A4CD三MCE而有 NCBE = NC4O = 30。而得出结论；当点O在线段的延长线上时，如

37、图3,通过得出 A4CD三ABCE同样可以得出结论.【详解】(1) .A48C是等边三角形，/. ABAC = 60°.线段AW为8C边上的中线，/. ZCAM=-ZBAC, 2，NC4M=3O°.(2) 243c与 MEC都是等边三角形，AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 6O。,ZACD + ADCB = ADCB + ZBCE,:./ACD = NBCE.在MDC和ABEC中AC = BC< ZACD = /BCE ,CD = CEAACZ) = ABCE(SAS)：(3) NAO8是定值，ZAOB = 60°,理由如下：当

38、点O在线段AM上时，如图1,由(2)可知 A4CQ=MCE,则 NC3E = NC4。= 30。，又 NA5C = 60。，.ZC5E + ZABC = 60o + 30o = 90°,.AABC是等边三角形，线段AM为8C边上的中线,AM 平分 ZBAC, RP ZBAM = - ABAC = lx 60° = 30° 22/. ZBa4 = 90°-30o = 60°.当点。在线段AM的延长线上时，如图2, 与AOEC都是等边三角形，/.AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 60。,.ZACB + ZDCB = Z

39、DCB+ZDCE ,:.NACD = NBCE,在MCD和ABCE中AC = BC< ZACD = ABCE ,CD = CE：.SACD = ABCE(SAS) 9，NC5E = NC4D = 30°,同理可得：BAM = 30°,/.4。4 = 90。-30。= 60°.当点D在线段MA的延长线上时，AA8C与AOEC都是等边三角形，/. AC = BC> CD = CE，ZACB = ZDCE = 60。,：.ZACD+ZACE = ZBCE+ZACE = 60° ,:./ACD = NBCE，在MCD和ABCE中AC = BC-ZAC

40、D = ZBCE ,CD = CE .ACD = ABCE(SAS) 9/. ZCBE = ZCAD,同理可得：ZCAM =30°/.ZCBE = ZG4D = 150°/. ZCBO = 30° , ZBAM = 30°,：.NBQ4 = 900-30° = 60°.【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解 题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11 .阅读材料：若 m? - 2mn+2n2 - 8n+16=0,求 m、n 的值.解：Vm2 -

41、2mn+2n2 - 8n+16=0t /. (m2 - 2mn+n2) + (n2 - 8n+16) =0(m - n) 2+ (n - 4) 2=01 .* (m - n) 2=0> (n - 4) 2=0,，n=4, m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x?+2xy+2y2+2y+l=0,求 2x+y 的值:(2)已知 a - b=4, ab+c2 - 6c+13=0,求 a+b+c 的值.【答案】(1)1： (2)3.【解析】【分析】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而 可以得到2x+y的值；(2)根据a-b=4, ab+c

42、2-6c+13=0,可以得到a、b、c的值，从而可以 得到a+b+c的值.【详解】解：(l)Vx2+2xy+2y2+2y+l=0,(x2+2xy+y2)+(y2+2y+l)=0,.,.(x+y)2+(y+l)2=0,/ x+y=Ot y+l=O»解得，x=l, y=-l,A2x+y=2xl+(-l)=l；(2)Va-b=4,a=b+4»将 a=b+4 代入 ab+c2-6c+13=0» 得b2+4b+c2-6c+13=0,A(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=0,A(b+2)2+(c-3)2=0,，b+2=0, c-3=0,解得，b=-2, c=3,Aa=b+

43、4=-2+4=2,Aa+b+c=2-2+3=3.【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题：利用因式分解解决证明问 题：利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形 时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12.材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：(/-/?)2>0,将左边展开 得到a2 -2ab + b2 >0» 移项可得:a2 + b2 > lab.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数6、，都存 住m +之2屈，并进一步发现，两个非负数？、”的

44、和一定存在着一个最小值.根据材料，解答下列问题：(1)(2x)2+(5y)2> (x>0, y>0) . x2+ 1 >(x>0)：(2)求6% + ；(x>0)的最小值: 4人9（3）已知x>3,当X为何值时，代数式2x + 2007有最小值，并求出这个最小2x 6值.-99【答案】（1） 20xy , 2； （2） 2/；（3）当工=一时，代数式2x + 2007的22x-6最小值为2019.【解析】【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论：（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论：9（3）把已知代数式变为2x-6 + 2013,再利用阅读材料介绍的

45、方法，即可得到2x-6结论.【详解】（1）Vx>0, y>0,（2x） +（5y）2 > 2x2x-5y = 20a>?,V x > 0,x2 + L' >2x-l = 2： xj x（2）当x>0时，2x.二均为正数， 2x.6x + - > 2 5=2 炳所以，61+上的最小值为2疝.2x9（3）当x>3时，2X，, 2x-6均为正数,2x-69/e 2x 4+ 20072x-6,9= 2x 6 + 20132x 6> 2J（2x6）- +2013 = 2+2013 = 2019由（a可知，当且仅当时，/+取最小值,99，

46、当2工一6 =,即工=一时，有最小值.2x 62Vx>39Q故当x = 一时，代数式2x + 2007的最小值为2019.22x - 6【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法.13.阅读材料：若 m2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0,求 m、n 的值.解：V m2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0 ,二(m2 - 2mn+n2 ) + ( M - 8n+16 ) =0 (m-n)2+(n-4) 2=0(m - n ) 2=0 , ( n - 4 ) 2=0 ,，n=4 , m=4 .根据你的观察，探究下面的问题：(1) x2 -

47、2xy+2/+6y+9=0,求 xy 的值：(2)已知aABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2 - 10a - 12b+61=0,求4ABC 的最大边c的值；(3)已知 a - b=8 , ab+c2 - 16c+80=0,求 a+b+c 的值.【答案】(1)9； (2) 4ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10 ；(3)8.【解析】试题分析：(1)直接利用配方法得出关于x ,y的值即可求出答案；(2)直接利用配方法得出关于a , b的值即可求出答案：(3)利用已知将原式变形，进而配方得出答案.试题解析：(1 ) Vx2 - 2xy+2y2+6y+9=0 ,，(x2 -

48、2xy+y2 ) + ( y2+6y+9 ) =0 , (x - y ) 2+ ( y+3 ) 2=0 ,Ax - y=0 , y+3=0 , e-x= - 3 z y= - 3 , ,.xy= ( -3)x( - 3 ) =9 ,即xy的值是9 .(2 ) Va2+b2 - 10a - 12b+61=0 ,，(a2 - 10a+25 ) + ( b2 - 12b+36 ) =0 ,，(a-5)2+(b-6)2=0 ,A a - 5=0 f b - 6=0 ,Aa=5 , b=6 z6 - 5 < c < 6+5 t c>6 ,/6<c< 11 ,.'.A

49、BC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10 .(3 ) Va - b=8 , ab+c2 - 16c+80=0 ,A a ( a - 8 ) +16+ ( c - 8 ) 2=0 ,工(a-4)2+(c-8) 2=0 ,，a - 4=0 f c - 8=0 ,a=4 , c=8 , b=a - 8=4 - 8= - 4 , a+b+c=4 - 4+8=8 ,即a+b+c的值是8 .14.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增 加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问 题等都有着广泛的应用.例如：若代数式M=a2-2ab

50、+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值：O2 - 2ab+2b2 - 26+2 =a2 - 2ab+b2+bz - 2b+l+l= (a - b) 2+ (b - 1) 2+l.V (a-b) 2>0, (b- 1) 2>0,.当a=b = l时，代数式M有最小值1.请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4Q+:(2)若代数式M=l/+2o+l,求M的最小值：4(3)已知/+2b2+4c2-2ab-2b-4c+2=0,求代数式 Q+b+c 的值.【答案】(1)4： (2) M的最小值为-3： (3) ac=2-.2【解析】【分析】(1

51、)根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可：(2)先提取?，将二次项系数化为1,再配成完全平方，即可得答案；(3)将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a, b, c的值，从而问题得解.【详解】(1) Va2+4a+4= (a+2 ) 2故答案为：4：(2) M=-a2+2a+l4=-(a2+8a+16) -34=-(a+4) 2 - 34tM的最小值为-3(3) Va2+2b2+4c2 - 2ab - 2b - 4c+2=0t/. (a-b) 2+ (b- 1) 2+ (2c- 1) 2=0,A a - b=0, b - 1=0, 2c - 1=01，a = b=l, c=,2.a+b

52、+c=2 .2【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式 子的值.15.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(l+x)l+x+x(x+l)=(l+x)2(l+x)=(1+X)3上述分解因式的方法是,共应用了_次.若分解l+X+X(X+l)+X(X+l)2+.+X(X+l产叫则需应用上述方法_次，结果是一.分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l产+x(x+lm为正整数).【答案】(1)提公因式，两次：(2) 2004次，(x+1) 2005；a+1产【解析】【分析】(1)根据已知材料直接回答即可：(2)

53、利用已知材料进而提取公因式(1+X),进而得出答案：(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.【详解】(1)上述分解因式的方法是：提公四式法，共应用了 2次.故答案为提公因式法，2次；(2) 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+.+ x(x+l)2004,=(l+x) 1+X+X (1+X)+.+X(X+1 尸83 _(l + x)2 (l + x)(l + x).(l + x)2003 个(l+x)=(1+X)285,故分解1+X+X (x+1) +x (x+1) 2+.+x(x+l)2。，则需应用上述方法2004次，结果是： (x+1) 2。5.(3)分解因式:1+x+x (x+

54、1) +x (x+1) 2+x(X+1) n (n为正整数)的结果是：(x+1)n+1*故答窠为(x+1) n+1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16 .我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的 基本性质：类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为其分式：反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，, x +1 x 1 + 2 x 12.2如：=+= 1

55、+;x-l x-1 x-l x-1 x-l2x 3 2x + 2 5 2x + 2-5。，5、=+ = 2 + (-).x + 1x + 1x + 1 x + 1x + （填序号）（1）下列分式中，属于真分式的是：片；三；品;之 （2）将假分式如口化成整式与直分式的和的形式为:2。一14a+ 32a （3）将假分式匚2化成整式与真分式的和的形式:。一1c/+36/ -154【答案】(1)；(2)2, - ； (3)a + l+ 2a-1 - 1【解析】试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可：（2）根据题意的化简方法进行化简即可：（3）根据题意的化简方法进行化简即可.试题解

56、析：（1）中的分子分母均为1次，中分子次数大于分母次数，分子次数小于 分母次数，分子分母次数一样，故选./ . 4+ 3 4。255us#、， c(2)hbn = 2 +罚，故答案为2, 2 + jJ + 4-l)(+士+ 上,故答案为a+l+上 。一 1 。一 1。一 1 a 1 a - 1。- 117 .阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程二 十 =1的解为正数，那么a的取值范围是什么？x- -x经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于X的分式方程，得到方程的解为x=a - 2 .因为解是正数，可得a-2>0,所以a>2.小强说：本题还要必须03,所以a取值范围是a>2且=3 .（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x的方程竺二I+'