高一数学《三角函数》总复习资料完美版

1、高一数学三角函数总复习资料1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有 作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：(1) a终边与9终边相同(u的终边在6终边所在射线上)u u=e+2kn(kw Z)，注意： 相等的角的终边一定相同，终边相同

2、的角不一定相等.如与角-1825 ：的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合 弧度。(答：-25°一旦冗)36(2) a终边与日终边共线(a的终边在日终边所在直线上)u a = 9 + kn(k£ Z).(3) a终边与日终边关于x轴对称u 2 =-Q +2kn(ke Z).(4) a终边与日终边关于y轴对称u ot =n+2kn(kw Z).(5) a终边与日终边关于原点对称 仁a =n+日+2kn(kw Z).(6) a终边在x轴上的角可表示为：ot=kn,kwZ；久终边在y轴上的角可表示为：二 k 二二一o(=kn+,kWZ; 口终边在坐标轴上的角可表不为：a = ，

3、k w Z .如a的终边与一的226终边关于直线y=x对称，则a =。(答：2kn+E,kwZ)34、a与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定 .如若a是第二象限角，则巴是第 象限角(答：一、三)25.弧长公式：l耳口 |R ,扇形面积公式：S =2lR =； |a | R2 , 1弧度(1rad) % 57.3 .如 已知扇形AOB的周长是6cmi该扇形的中心角是 1弧度，求该扇形的面积。(答：2 cm2)6、任意角的三角函数的定义：设口是任意一个角，P(x,y)是口的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r = Jx2 + y2 > 0 ,那么sin=",c

4、<o=s , rrP的位置无关。（答：sin« <a <tan« ）；tana =',(x #0 ),三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 x如已知角久的终边经过点 P(5 , - 12),则sn U +cosa的 值为。(答：-L)137.三角函数线的特征 是：正弦线MP站在x轴上(起点在x 轴上)"、余弦线 OM “躺在x轴上(起点是原点)”、正切线 AT “站在点 -1,0)处(起点是A)” .三角函数线的重要应用是比 较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若<5，则sin。8s 4al 8的大小关系为(答：sin 8

5、 <cos <tan9 )；(2)若a为锐角，则a,sin a,tana的大小关系为8.特殊角的三角函数值30°45°60°0°90°180°270°sin a12旦2更 20101cos a忑2旦2121010tana旦31於0/0/cot 口3313/0/09.同角三角函数的基本关系式/,、. 22,sin：（1） sin 口 +cos 仪=1,（2） tana =.cos ;同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角m -3值。如（1）已知sin日=,cos日=m 54-

6、2m/（一：二 u ：二)，贝 U tan50 =(答：-且)12tansin : - 3cos：(2)已知=-1 ,则tan 二 Tsin 工" cos：. 2sin « +sin« cos« +2 =13、5(3)已知 sin 200=a，则tan160等于A、.1 - a2aB 21 -aC、1 -a2（答：B）;。10.三角函数诱导公式k. 一一 ,、一 、一 n +ct）的本质是：奇变偶不变2（对k而言，指k取奇数或偶函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角 的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一

7、般不需用同角三角函数的基本关系式， 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对数），符 函数值， 函数。(1)(2)9二 .7二.cos一+tan(一-)+sin 21n 的值为464已知 sin(540 +叼=一一，贝U cos(ct -270 )=5.、23,若a为第二象限角，则号看象限（看原函数，同时可把口看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2kn+a, 0<o（ < 2n ； （2）转化为锐角三角- 2sin(180 -:)cos(： -360)tan(1801)3100)（答：一1）(3)

8、已知 f (cosx) =cos3x ,贝u f (sin 30)的值为11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin （ot ±P）= since cosP ±cosot sin P 一二t sin20c =2sinot cosacos （a ± C ）= cosot cos P , sin a sin P -cos 20t = cos2 a -sin 2a22=2cos-1 = 1 - 2sin 二tan ：-二 l：, ,:tan： _tan'1 手 tan .： tan :2 1+cos2:=cos 久=221 -cos2:sin ot=

9、tan 2 ：=2 tan ：Z 22-1 Tan -2 1一一如（1）卜列各式中，值为1的是 22 ：:.2 、A 、sin151cos15' B、cos2一 -sin2一 1212Ptan22.5c1 cos30；,较C、2DC）1 -tan2 225.212.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角 与其和差角的变换.如

10、a=（a+P）P=（aP） + P, 2a =（a+P）+（aP）, 2a =（P +a） （P a） , ct+P=22, 2 =（a -1伶-P ）等）.213如（1）已知 tan（口 + P） =g , tan（ P -）=-,那么 tan（« + ）的值是（答：）;1：2（2）已知 0<P < <«,且 cos（口 一一）= 一一 , sin（ 一 一 P ）=一，22923求 cos（。十P ）的值（答：490 ）；72937（3）已知 sin（ a _ 0 ）cos * -cos（a 一 口 ）sin a = -，那么 cos2 口 的值为（答

11、：一）；525三角函数名互化（切割化弦），如求值 sin 50'（1+J3tan10!：）（答：1）；公式变形使用 （tana ±tan B =tan（c（士P X1,tanatanP ）。 如已知A B为锐角，且满足 tan Atan B =tan A + tanB+1,则 cos（A + B）=_（答：一）；-2c 1 cos2:c 1 - cos2：三角函数次数的降升（降哥公式：cos2 口二，$访20（=|与升哥22公式：1+cos2口 =2cos2a , 1-cos2a =2sin 2口）。如若 u W （兀，° n），化简 J1 + 1J-+1cos2&

12、#171; 为 （答：sin ）;22 2 2 22，-25 -(2)函数 f (x ) =5sin xcosx-5，3cos x+J3(xw R)的单倜递增区间为25 二(答：kn ,kn +(k w Z )1212 常值变换主要指"1”的变换(1 = sin2 x+cos2 x = tan. = sin =|等)，2 2.3、如已知 tanot=2,求 sin a +sina cosa -3cos 口 (答：一).513、辅助角公式中辅助角的确定：asinx +bcosx = Ja2+b2sin(x+8 )(其中日角所在的象限由a, b的符号确定，8角的值由tan日=2确定)在求

13、最值、化简时起着重要作用。如a若方程sin x - J3cosx =c有实数解，则c的取值范围是 .(答：2,2)；14、正弦函数和余弦函数的图象 ：正弦函数y=sinx和余弦函数y = cosx图象的作图方法： 五点3 二法：先取横坐标分别为 0,元,一,2n的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到22正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数y =sin x(xw R)、余弦函数y =cosx(xw R)的性质：定义域：都是R。值域：都是1,1，对y =sin x ,当x =2依+(k= Z )时，y取最大值1 ；当3二x =2kn +(k = Z )时，y 取最小值1；对

14、 y =cosx ,当 x = 2依(k= Z )时，y 取最大值1,当x =2kn +n(k w Z )时，y取最小值一1。如(1)若函数y =ab sin(3x + 土)的最大值为3 ,最小值为一1，则2=_, b = _(答： 6221 .a= ,b=1 或 b = -1)；2互冗.(2)函数 f (x) = sin x+ U3 cosx(x可一，一)的值域是(答：1,2)；2 2(3)函数 f (x) = 2cosxsin(x十二)一/3sin2 x+sinxcosx 的最小值是，此时 x3= (答：2； kn+JkZ)。12周期性：y=sinx、y = cosx的最小正周期都是2n

15、；f (x) = Asin(8 x十中)和2f (x) = Acos(0x +平)的最小正周期都是 T =。 Mx如(1)右 f (x) =sin ,则 f (1)+ f (2) + f (3)+111 + f (2007)=(答：33);3-(2)函数 f(x)=cos4x -2sin xcosx -sin4 x 的最小正周期为 (答：冗)；奇偶性与对称性：正弦函数y =sin x(x w R)是奇函数，对称中心是(kn,0)(kWZ),冗对称轴是直线x = kn 十二(k w Z)；余弦函数y = cos x (卢 R诞偶函数，对称中心是 2限n+|,0 |'（ke Z卜对称轴是直

16、线 x = kn（kwZ）（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，对称中心为图象与 x轴的交点）。如（1）函数y =sin ' -2x i的奇偶性是（答：偶函数）；23.一（2） 已知函数 f（x）=ax+bsin x+1（a,b 为常数），且 f（5） = 7,则f （ 一5 ） = （答：5）;（3） 函数y =2cosx（sinx +cosx）的图象的对称中心和对称轴分别是 k：=/k二 二 _(答：(/一8 -、xo+ywz)；（5）单调性：y =sin x在.|2kn -y, 2kir +y(k Z )上单调递增，在二 3 二2k 二 3,2k 二k

17、 w Z )单调递减；y =cosx在12kn ,2kn +n】(k w Z )上单调递减,在12kn+n,2kn+2i】（kw Z ）上单调递增。特别提醒，别忘了 kZ!16、形如y = Asin（0x +中）的函数：1（1）几个物理重：A一振幅；f=一频率；6x +中一相位；中一初相；（2）函数y = Asin（cox +甲）表达式的确定：A由最值确定；o由周期确定；中由图象上的特殊点确定，如f （x） = Asin（cox+cP）（A>0,© >0 ,二一一一一 一一. 一 15 二呼|<一）的图象如图所示，则f（x）=（答：f （x） =2sin（ x+）；

18、223（3）函数y = Asin（®x +中）图象的画法：“五点法”设二3 二X=。x+，令X=0,一尸，,2冗求出相应的x值，计算得出五点的 22坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数y = Asin（cox +中）+k的图象与y = sinx图象间的关系：函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（ 中>0）或向右（< <0）平移|中|个单位得y = sin（x +中）的图1 一 一 .象；函数y =si nx +平）图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的一，得到函数 ©y=sin（8x+中）的图象；函数 y = sin（x

19、 +平）图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y = Asin（0x +平）的图象；函数 y = Asin（0x +甲）图象的横坐标不变，纵坐 标向上（k >0）或向下（k<0）,得到y = Asin（x+5）+k的图象。要 特别注意，若由丫=$访（切乂）得到y =sin（x+平）的图象，则向左或向右平移应平移<P| |个单位,0如（1）函数y =2sin（2 x ）1的图象经过怎样的变换才能得到4y = sinx的图象？（答:31y = 2sin(2 x -)-1向上平移1个单位得y =2sin（2 x ）的图象，再向左平移 一个单位得48y =2sin 2x的图

20、象，横坐标扩大到原来的2倍得y =2sin x的图象，最后将纵坐标缩小到原，1 一一来的即得y =sin x的图象)；2x 二、.x(2)要得到函数y =cos()的图象，只需把函数y = sin一的图象向平移 个2 42-单位(答：左；土)；2(5)研究函数 y = Asin(cox +中)性质的方法：类比于研究 y = sinx的性质，只需将 y = Asin(ox +邛)中的切x +中看成y =sin x中的x，但在 求y = Asin(切x +中)的单调区间 时，要特别注意 A和6的符号，通过诱导公式先将 o化正。如(1)函数y =sin( 2x+L)的递减区间是(答：35, 二 一、

21、kn 冗，kn + ( k = Z )；1212x(2) y = log 1cos( 一十一)的递减区间是(答：2 343 3 二6kn -n,6kn 十(YZ);4 4(3)设函数f (x) = Asin(cox +中)(A ¥0,6 >0,|<中 <2)的图象关于直线x=母对称，它的周期是江，则A、f(x)的图象过点(0,1) B 、f (x)在区间%,空上是减函数 212 3C、f (x)的图象的一个对称中心 是(瑞,0)D、f (x)的最大值是A (答：0 ；(4)对于函数f (x )=2sin，2x 十三i给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图3JI象关

22、于直线x=二成轴对称；图象可由函数 y = 2sin 2x的图像向左平移 二个单位得到；123图像向左平移 三个单位，即得到函数 y = 2cos2x的图像。其中正确结论是 (答： 12)；(5)已知函数f(x) = 2sin(ox+平)图象与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离n为一，那么此函数的周期是 (答：元)317、正切函数y=tanx的图象和性质：n(1)定义域：x|x# 一+kn,kWZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的 2定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是冗，它与直线y = a的两个相邻交点之间的距离是一个

23、周期n。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如y =$所2 x, y =|sin x的周期都是，但y = sinx 1 i11n一 一,一+ cosx 的周期为一，而 y =| 2sin(3x )+|,y =| 2sin(3x )+2 |, y=|tanx| 的周期 2626不变；(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0 1( kw Z 特别提醒：正(余)切,2型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与 x轴的交点，但无对称轴，

24、这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性：正切函数在开区间在整个定义域上不具有单调性。18.三角形中的有关公式：(nn-k二，一22kn l(k w Z )内都是增函数。但'VTTT、/、.，、) :要汪后(1)内角和定理：三角形三角和为 忘记！任意两角和 与第三个角总互补，n ,这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形u三内角都是锐角u三内角的余弦值为正值u任两角和都是钝角 y任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：一矢=一% = 3 =2R(R为三角形外接圆的半径 sin A sin B sin C注意：正弦定理的一

25、些变式：(i)a :b ：c =sin A ：sin B :sinC;).ii sin A =,sin B =,sin C =2R 2R2R(iii )a = 2Rsin A,b=2RsinB,b=2RsinC ；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 222(3)余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bccosA,cosA=b ； 一等,常选用余弦定理鉴定三2bc角形的形状.(4)面积公式：S =2aha ='absinC .特别提醒：(1)求解三角形中的问题时，一定要注意A + B + C =冗这个特殊性：A B CA + B =n -C,sin(

26、A +B) =sin C,sin= cos ； ( 2)求解二角形中含有边角混合关22系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) AABC中，A B的对边分别是 & b,且A=60'，a=J6, b = 4,那么满足条件的 MBC A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D 、不能确定(答：C)；(2)在 MBC 中，A> B则 sinA>sinB 成立；(3)在 &ABC中，(1 +tanA)( 1+tanB)=2,则 log 2snC1、，、2)； (4)在AABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(a +b +c)(sin A

27、+sin B -sinC ) = 3asin B ,则/C = (答：60,)；(5)(6)2 b2 一 2在MBC中，若其面积S = a一,则/C =(答：30 )；4、3在 MBC中，A = 60，, b = 1 ,这个三角形的面积为 J3 ,则 MBC外接圆的直径3SJT（7）在ABC中AB=1, BC=2则角C的取值范围是（答：0<CmL）；619.求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其 标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若Q, P W （0,n），且tana、tanP是方程x2 5x+

28、6 = 0的两根，则求c（ + P的值 （答：包）；4JT（2） AABC中，3sin A 十4cos B=6,4sin B 十3cos A = 1 ,则 NC =（答：二）3风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；

29、因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。所有的结局都已写好 所有的泪水

30、也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代

31、；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。我有所感事，结在深深肠。你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。曾经沧海难为水，除却巫山不是云。回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。半生闯荡，带来家业丰厚

32、，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。一辈子，不说后悔，不诉离伤。 上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选

33、哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。那一年夏天的雨，像天上的星星一样多，给我美丽的晴空，我们都有小小的伤口 ，把年轻的爱缝缝

34、又补补 我会一直站在你左右，陪你到最后的最后。如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。我希望有个如你一般的人。如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的彳t价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏，是一个关于成长的礼物，如果能给你爱和感动，我是多么的幸福 我有过很多的朋友，没有谁像你一样的温柔，每当你牵起我的手，我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因