2020-2021中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析及答案解析

1、2020-2021中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析及答案解析一、旋转1. (1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且 BC= a, AB= b.填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a, b的式子表示)(2)应用：点A为线段BC外一动点，且 BC= 4, AB= 1,如图2所示，分别以AB, AC为 边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE,连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(6, 0),点P为线段AB外一动点，且 PA=

2、2, PM=PB, /BPM = 90。，请直接写出线段 AM长的最大值 及此时点P的坐标.1图1)(图D周可商用到【答案】(1)CB的延长线上，a+b; (2)CD= BE,理由见解析； BE长的最大值为5； (3) 满足条件的点P坐标(2 - J2 , 72 )或(2 - J2，- J2 ), AM的最大值为2 J2 +4.【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据已知条件易证 CA*EAB,根据全等三角形的性质即可得CD= BE;由于线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM, 将4A

3、PM绕着点P顺时针旋转90得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到 PN=PA= 2, BN= AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值，即可得到最大值为2J2+4;如图2,过P作PE x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点 P的坐标.如图3中，根据对称性可知当点 P在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1) ;点A为线段BC外一动点,且 BC= a, AB= b,，当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB= a+b,故答案为CB的延长线上，a+b；(2)CD=

4、BE,理由： ABD与 ACE是等边三角形，AD=AB, AC= AE, Z BAD= Z CAE= 60； / BAD+Z BAC= / CAEZ BAC,即 / CAD= / EAB,AD AB在ACAD与 EAB中，CAD EAB ,AC AE .CA*4EARSAS,.CD= BE；二线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上, .最大值为 BD+BC= AB+BC= 5；(3)如图1,?;Hl将4APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN,连接AN, 则4APN是等腰直角三角形，,-.PN=PA= 2, BN=AM,.A的坐标为

5、(2, 0),点B的坐标为(6, 0),.OA=2, OB= 6,.AB=4,线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值，最大值=AB+AN,. AN= J2AP= 272 ，最大值为2J2+4;如图2,% V过P作PE x轴于E, APN是等腰直角三角形,.PE= AE= 42 ， .OE= BO- AB - AE= 6-4- 72 =2 一6,根据对称性可知当点 P在第四象限时，P2-近,-近)时，也满足条件.综上所述，满足条件的点P坐标(2 - J2, J2)或(2 - J2 , - J2 ), AM的最大值为 2点+4.【点睛】本题综合考查

6、了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2. (1)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O,过点O作直线EF，BD,交 AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD. 求证：四边形 BFDE是菱形；直接写出/ EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图 ，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连 接GD, H为GD的中点，连接 FH并延长，交ED于点J,连接IJ IH、IF、IG.试探究线段 IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把中矩形ABCD进行特殊化探

7、究，如图 ，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角 线AC上一点，连接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60 . (2) IH= J3fH; EG2=AG2+cE?.【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出E0= OF, OB= OD,推出四边形 EBFD是平行四边形, 再证明EB= ED即可. 先证明/ABD= 2ZADB,推出Z ADB= 30 ,延长即可解决问题.(2) IH= J3FH.只要证明IJF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+CE2.如图3中，将4A

8、DG绕点D逆时针旋转90。得到ADCM,先证明DE84DEM,再证明 ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中， 四边形ABCD是矩形， .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO,在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OB ,EOD= BOF.,.DOEABOF,E0= OF, -.OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形，EF BD, OB=OD,.EB=ED, 四边形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 ,，/ADB=30； /A

9、BD=60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 ,/ EBF= 60 .(2)结论：IH=T3fH.理由：如图2中，延长BE至1J M,使得EM=EJ,连接MJ.VI. 四边形EBFD是菱形，/ B= 60 , ,-.EB=BF= ED, DE/ BF, / JDk / FGH,在DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等边三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60在 BIF和AMJI中，BI

10、=MJB= M ,BF=IM .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH JF / BF+Z BIF= 120 : / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；， JIF是等边三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90, /IFH= 60,/ FIH= 30 ,.IH=石 FH.(3)结论：eG2=ag2+cE?.理由：如图3中，将4ADG绕点D逆时针旋转90得到ADCM,S图3c / FADZ DE已 90 , .AFED四点共圆，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDO 45 , / A

11、DF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG,在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDMDG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD- 45 ； AG= CM, / ECM= 90 EC?+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.3.平面上，RtABC与直径为 CE的半圆 O如图1摆放，/B=90,

12、 AC 2CE= m, BC n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点 D随半圆O旋转且 /ECD始终等于/ACB,旋转角记为 a (0 WaW) 180 (1)当 a= 0时，连接 DE,则 /CDE=, CD-;(2)试判断：旋转过程中 里的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明;AE(3)若 m=10, n=8,当a=/ACB时，求线段 BD的长;(4)若m=6, n=4j2，当半圆。旋转至与 ABC的边相切时，直接写出线段BD的长.【答案】(1) 90。，n; (2)无变化；(3) 12Y5； (4) BD=2而或 2/亘4.25,3【解析】CD CE试题分析：(1

13、)根据直径的性质，由 DE/ AB得一 一即可解决问题.求出CB CABD、AE即可解决问题.(2)只要证明ACBCD即可.(3)求出 AB AE,利用AC&4BCD即可解决问题.(4)分类讨论：如图5中，当a =90时，半圆与AC相切，如图6中，当a =904ACB时，半圆与 BC相切，分别求出 BD即可./ CDE=90 :/ CDE=Z B=90 ；DE/ AB,CEAC试题解析：(1)解：如图1中，当叫，连接DE,则CD = 1. -. BC=n, .-.CD=ln.故答CB 22案为 90。，-n.2如图 2 中，当 a =18叫，BD=BC+CD=-|n, AE=AC+CE=| m

14、,-BD- = .故答案为nm(2)如图3中,Z ACB=Z DCE/ ACE=Z BCD.CDCEBC nAC mBD.ACEABCD, AEBC 1AC m(3)如图 4 中，当 a=ZACB时.在 RABC中，.ACMO, BC=8,BD BCAE AC AB= Vac2_BC2 =6.在 RtABE 中,AB=6, BE=BC- CE=3, , AE= VAB2 BE2 = 762 32 =3 V5 ,由(2)可知ACEBCD,BD 8125125.旃=、，.baI25.故答案为125.（4） ,- m=6, n=4&, ，CE=3, CD=2&, AB= 7cA2BC2 =2，如图

15、5 中，当=90 时，半圆与 AC 相切.在 RtaDBC 中，BD=JBC2 cd2= J（4J22（272） 2 =2 瓦. 如图6中，当a =90Z+ACB时，半圆与 BC相切，作 EMXABTM. ZM=ZCBM=Z BCE=90, .四边形 BCEM是矩形，. . BM EC 3, ME 4/2, AM=5, AE=jAM2 ME2=后,由（2）可知瞿=2 ， BA214 .AE 33故答案为2 710或 纽14.3点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出 图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题.4. (12分

16、)如图1,在等边 4ABC中，点D, E分别在边 AB, AC上，AD=AE,连接BE, CD,点M、N、P分别是 BE、CD BC的中点.(1)观察猜想：图1中，4PMN的形状是；(2)探究证明：把 4ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置， PMN的形状是否发生 改变？并说明理由；(3)拓展延伸：把 4ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD=1, AB=3,请直接写出 4PMN 的周长的最大值.AAB P C B F C图1圉2【答案】(1)等边三角形；(2) 4PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形，理由见解析;(3) 6【解析】分析：(1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=A

17、C, ZABC=Z ACB=60,则BD=C1再根据三角形中位线性质得PM/C匕PM=-CE PN/AD, PN=1 BD,从而得到22PM=PN, /MPN=60,从而可判断 4PMN为等边三角形；（2）连接CE BD,如图2,先利用旋转的定义，把 4ABD绕点A逆时针旋转60。可得到 CAE,贝U BD=CE, /ABD=/AC耳 与（1） 一样可得 PM=PN, / BPM=/ BCE, /CPN=/CBD,则计算出 / BPM+/CPN=120 从而得至ij / MPN=60 ；于是可判断 PMN为 等边三角形.（3）利用AB- AD由D系B+AD （当且仅当点 B、A、D共线时取等号

18、）得到 BD的最大值 为4,则PN的最大值为2,然后可确定4PMN的周长的最大值.详解：（1）如图1 . 4ABC为等边三角形，AB=AC, Z ABC=Z ACB=60 . AD=AE, .1. BD=CEL 点M、N、P分别是BE、CD. BC的中点， .PM/CE PM = 1CE PN/AD, PN=1BD, 22.PM=PN, / BPM=/BCA=60 ； Z CPN=ZCBA=60 ；/ MPN=60 ；APMN 为等边三角形；故答案为等边三角形；（2） APMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.理由如下： 连接CE BD,如图2. AB=AC, AEAD, Z BAC=Z D

19、AE=60 ,.把 ABD绕点A逆时针旋转60可得到 CAE, .BD=CE, /ABD=/ACE与（1） 一样可得 PM/Cg PM = 1CE PN/ AD, PN=1BD, 22.PM=PN, /BPM=/BCE, ZCPN=ZCBD, / BPM+Z CPN=Z CBD+Z CBD=ZABC- / ABD+Z ACBZ ACE=60 +60 = 120 ,/ MPN=60 ；APMN 为等边三角形.（3） .PN=1BD, .当BD的值最大时，PN的值最大.2,AB- AD DBC=Z ACB+Z ABC,再由 / BAC=120可得 / ACB+Z ABC=60 , 即可得Z MPN

20、=60 ,所以4PMN是等边三角形；（3）由（2）知，APMN是等边三角形，PM=PN=1BD,所以当PM最大时，4PMN周长最大，当点 D在AB上时，BD最小，PM 2最小，求得此时 BD的长，即可得 4PMN周长的最小值；当点 D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得 4PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为 /BAC=/ DAE=120 ,所以 / BAD=Z CAE,又 AB=AC, AD=AE,所以AB4 4ADE;（2） PMN是等边三角形.理由：二点P, M分别是CD, DE的中点，PM= 1 CE PM / CE 2 点N, M分别是BC, DE的中点，.PN=1

21、BD, PNI/ BD, 2同（1）的方法可得 BD=CE.PM=PN, .PMN是等腰三角形， . PM/CE, ，/DPM=/DCE . PN / BD,/ PNC=Z DBC, / DPN=Z DCB+Z PNC之 DCB+Z DBC,/ MPN=Z DPM+ / DPN=/ DCE+Z DCB+Z DBC之 BCE+Z DBC=/ ACB+Z ACE+Z DBC=Z ACB+Z ABD+Z DBC=Z ACB+Z ABC, / BAC=120 , Z ACB+Z ABC=60 ,/ MPN=60 ；.PMN是等边三角形.1（3）由（2）知，4PMN 是等边二角形，PM=PN=BD,2

22、PM最大时，4PMN周长最大， 点D在AB上时，BD最小，PM最小， . BD=AB-AD=2, PMN周长的最小值为 3；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10, PMN 周长的最大值为 15.故答案为 PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点 D在AB上时，BD最小，PM最小，4PMN周长的最小； 点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，4PMN周长的最大值为15.6. （10分）已知4ABC和4ADE是等腰直角三角形， / ACB=/ ADE=90,点F为BE

23、中 点，连结DF、CF.BSDDE（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段 位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转45。时, 的结论是否仍然成立，并证明你的判断；DF、CF的数量关系和请你判断此时（1）中若 AD=1, AC入 2 , 求可知DF=BR根据（3）如图3,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转90时, 此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半/ DFE=2/ DCE / BFE=2Z BCF,得至

24、U / EFD叱 EFB=2Z DCB=90 , DF BF； (2)延长DF交BC于点G,先证明ADE阵GCF,得至ij DE=CG DF=FG根据AD=DE,AB=BG 得到 BD=BG又因为 Z ABC=90,所以 DF=CF且 DF BF;(3)延长 DF交BA于点H,先证明ADEFAHBF,得到DE=BH, DF=FH,根据旋转条件可 以4ADH为直角三角形，由 4ABC和4ADE是等腰直角三角形， acFW, 可以求出AB的 值，进而可以根据勾月定理可以求出 DH,再求出DF,由DF=BF，求出得CF的值.11 II试题解析：(1)ZACB=Z ADE=90 ,点 F 为 BE 中

25、点,z. DF= BE, CF= BE. . . DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形，. / ABC=45 . BF=DF,/ DBF=Z BDF. / DFE=Z ABE+Z BDF,/ DFE=2Z DBF.同理得：/CFE=2ZCBF, / EFD+Z EFC=2Z DBF+2/ CBF=2Z ABC=90 . .DF=CR 且 DF CF.(2) (1)中的结论仍然成立.证明如下：如图，此时点 D落在AC上，延长 DF交BC于点G. / ADE=Z ACB=90DE/ BC,/ DEF=Z GBF, / EDF=Z BGF. . F 为 BE 中点，EF=BF . . DEF

26、 GBF. . . DE=GR DF=GF .AD=DE, .1. AD=GB. AC=BC,AC-AD=BC-GB.，DC=GC / ACB=90 , DCG是等腰直角三角形. DF=GR DF=CF DF CF.(3)如图，延长DF交BA于点H, ABC和 ADE是等腰直角三角形,AC=BC AD=DE/ AED=Z ABC=45 . 由旋转可以得出，/ CAE1 BAD=90 ； AE/ BC, ，/AEB=/ CBE./ DEF玄 HBF. .F 是 BE 的中点，EF=BF.ADEFAHBF. .1. ED=HB. ACh,，在RtABC中，由勾股定理，得 AB=4. . AD=1,

27、ED=BH=1. . AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得 DH=J10 , *v.DF= , CF= 7 .考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理.7.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到4ADE旋转角为& (0 “V 180)，点B的对应点为点 D,点C的对应点为点 E连接BD, BE.（1）如图，当a =60时，延长BE交AD于点F. 求证：ABD是等边三角形；求证：BF AD, AF=DF;请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线 AB,垂足为点G,连接CE当/ DAG=/ ACB且线 段D

28、G与线段AE无公共点时，请直接写出BE+C印勺值.【答案】（1） 详见解析；3招-4； （2） 13.【解析】试题分析：（1）由旋转性质知 AB=AD, /BAD=60即可得证；由BA=BD EA=ED根 据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+Z ABC=180、 / DAG+Z DAE+Z BAE=180、 / DAG=Z ACB / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AQ,根据三线合一可得 CE! AB、 AC=& AH=3,继而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：（1）:ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到AAD

29、E,.AB=AD, /BAD=60；.ABD是等边三角形； 由得ABD是等边三角形，.AB=BD, ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE,，AC=AE BC=DE又 AC=BCEA=EQ 点B、E在AD的中垂线上，.BE是AD的中垂线， 点F在BE的延长线上， BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF,.AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,.在等边三角形 ABD 中，BF=AB?sinZ BAF=6=3“写,BE=BF- EF=3右-4;(2)如图所示, / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAC, / ACB+Z BAC+Z ABC=Z DAG+Z D

30、AE+Z ABC=180 , 又 / DAG+/ DAE+Z BAE=180 ,Z BAE=/ ABC, .AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z BAE=Z BAC,1ABXCEL,且 CH=HE=- CE,.AC=BC,1.AH=BH=- AB=3,贝U CE=2CH=8 BE=5,.BE+CE=13考点：三角形综合题.8. (1)观察猜想如图，在ABC中，/BAC=90, AB=AC点D是BC的中点.以点 D为顶点作正方形DEFG使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是,(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0

31、,小于或等于 360。)，如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当 AE为最大值时，直接写出 AF的值.GFBDDE【答案】(1) BG= AE.(2)成立.如图，连接AD. ABC是等腰三直角角形,Z BAC= 90,点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE. 分7(3)由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方

32、向旋转 270。时，BG最大，如图.若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF =-【解析】解：(1) BG= AE.(2)成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，Z BAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.(3)由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕

33、点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点 D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形 DEFG绕点D逆时针方向 旋转270)时，BG最大，如图 .若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF= JiT.即在正方形DEFG旋转过程中，当 AE为最大值时，AF=JN .9.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形 EFGH的两边DE、DG上(如图 1),现将正方形 ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋转，旋

34、转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数；(3)如图3,设4MBN的周长为p,在旋转正方形 ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你白结论.图3【答案】(1) 2； (2) 22早；(3)不变化，证明见解析【解析】 试题分析：(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了 450|,从而根据扇形面积公式可求 DA在旋转过程中所扫过的 面积.(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的

35、判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为22R.(3)延长BA交DE轴于H点，通过证明 3D小正金分匚M和式zWMAT可得结论.(1)二力点第一次落在DF上时停止旋转，DA旋转了 450|.45邛 x 22 nDA在旋转过程中所扫过的面积为 3602. MN/AC, /阿%二订然二付呼肝二月。/1=4/.刖=刖一二EN又.BA 二方。.= ON.又.DA = DCDAM =三仪”“所”.=10【田)=22取 .，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 ABCD旋转的度数为4T - 22.50 = 22 . 不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则ADE - 450 -ADM lC

36、DN = 9。-45 - MDM = 45 -。可Ekv = DCtDAU = 1HO0 - 900 = 90 = U)CN . ADAU=ADCN , I. * ,17：淞. =飞励.LN乂 I, , p = MiN + /?M = /iM + CN +存M =加+ = 4，在旋转正方形 ABCD的过程中，P值无变化.考点：1.面动旋转问题；2.正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性 质.10.如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF, EG分别过点 B, C, / F= 30.（1）求证：BE= CE（2）将 EFG绕点E按顺

37、时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分别与AB, BC相交于点M, N.（如图2） 求证：BEMCEN;若AB=2,求4BMN面积的最大值； 当旋转停止时，点 B恰好在FG上（如图3）,求sin/EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；2 ；、五4【解析】【分析】（1）只要证明 BAECDE即可；（2） 利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根据 ASA即可证明;构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 如图 3 中，作 EH，BG于 H,设 NG=m,则 BG=2m, BN=EN=J3 m, EB= m,利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可

38、解决问题.【详解】四边形ABCD是矩形， .AB=DC, ZA=ZD=90 .E是AD中点, ，AE=DE3 ABAEVA ODE, ，BE=CEDXfJ(2)解：如图2中,图2由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,4 / EBC玄 EOB=45,5 / ABC=Z BCD=90/ EBM=Z ECN=456 / MEN=Z BEC=90/ BEM=Z OEN,7 .EB=EO8 .BEMAOEN;. BEMAOEN,.BM=ON,设 BM=CN=x,贝U BN=4-x,Sabmn= ?x (4-x) =- (x-2) 2+2,22-1/2 AP=2f2 ，最大值为2夜+3;如图2,过P作P

39、已x轴于E,APN是等腰直角三角形，PE=AE=V2 ，OE=BO-AB-AE=5-3a/2 =2- & ,p（2-、2, .2）.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正 确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.12.如图，在 ABC中，/CAB=70。，在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到AB的位 置，使得CC/AB求/ BAB的度数.Sam【答案】400.【解析】【分析】先根据平行线的性质，由 CC/AB得/AC C= CAB=70 ,再根据旋转的性质得 AC=AC, /BAB/CAC；于是根据等腰三角形的性质有/ACC2AC C=70M后

40、利用三角形内角和定理可计算出/CAC =40；从而得到/BAB的度数.【详解】 . CC7/ AB, / A CC /CAB=70 ； ABC绕点A旋转到AB白C位置， .AC=AC, /BAB ZCAC；在 ACC 中， AC=AC / ACC ZAC C=70 / CAC =1800 -70 =40 : / BAB =40 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.13.在 4ABC 中，AB=BC=2, ZABC=120,将 ABC 绕点 B 顺时针旋转角 a (0VaV 90) 得AiBCi, AiB交AC

41、于点E, A1C1分别交 AC BC于D、F两点.(1)如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)如图2,当a =30时，试判断四边形 BGDA的形状，并说明理由.【答案】(1) BE=DF； (2)四边形BGDA是菱形.【解析】【分析】(1)由AB=BC得至IJ / A=Z C,再根据旋转的性质得 AB=BC=BC, / A=Z C=Z C1,ZABE=Z C1BF,则可证明 ABECBF,于是得到 BE=BF(2)根据等腰三角形的性质得 ZA=ZC=30 ,利用旋转的性质得 Z Ai=ZCi=30 ；ZABAi = ZCBQ=30 ,则利用平行

42、线的判定方法得到AiCi/ AB, AC/ BG ,于是可判断四边形BGDA是平行四边形，然后加上 AB=BG可判断四边形 BGDA是菱形.【详解】(1)解：BE=DF,理由如下：.AB=BC,Z A=Z C,.ABC绕点B顺时针旋转角 a (00 a90 )得AiBO,.AB=BC=B6, Z A=ZC=Z d , ZABE=Z dBF, 在 ABE和CiBF中 =/gbfJ BA = BC： , Z J =A AB ACiBF, .BE=BF(2)解：四边形BGDA是菱形.理由如下： . AB=BC=2, ZABC=120 ,Z A=Z C=30 ,Z Ai=Z Ci=30 , Z ABAi=Z CBG=30, Z