备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题24平面向量中最值、范围问题Word版含解析

1、【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题；第三

2、步 得出结论.例1设是内一点，且，定义，其中，分别是，的面积，若，则的最小值是（ ）A8 B9 C16 D18【答案】D【解析】考点：向量的数量积公式基本不等式等知识的综合运用.【点评】本题以三角形为背景,通过定义一个新概念的形式精心设置了一道探求最小值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的,解答时先运用向量的数量积公式,求出三角形的面积,再由构建方程,然后在运用变形巧妙地求出的最小值为.例2 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）A2 BC D【答案】C【解析】考点：向量运算，基本不等式【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应

3、用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用.由题意可得，利用三角形重心的向量表示，化简可得.然后利用基本不等式来求得最值.在利用基本不等式时，所用的公式是，需要先配一下系数，使得基本不等式满足一正、二定、三相等. 【变式演练1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）CMNABGQA2 B C D【答案】C【解析】考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, -1），B（4,0），C（2,2）平面区域D由所有满足（1la，1mb）的点P（x,y）组成的区域若区域D的面积为8，则a+b的最小值为 【答案】4考点：1、平面向量的线

4、性运算；2、基本不等式【变式演练3】平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为 【答案】【解析】试题分析：对两边平方可得可化为，据已知条件可得，即，又，则.故本题填.考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解；第三步 得出结论.例3 已知的顶点坐标为， 点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.（1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.考

5、点：向量的数量积，向量共线.【点评】其解题思路为：（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得；（2）设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标；（3）由R在线段OQ上可利用向量共线设R坐标，注意引入的变量范围，然后分别表示出向量利用数量积得出一个关于的二次函数，求这个关于的二次函数的最值即可得. 【变式演练4】已知向量不共线，为实数（）若，当为何值时，三点共线；（）若，且与的夹角为，实数，求 的取值范围【答案】（1）（2）.（）由，则，因为，当时，的最小值为当时，的最大值为所以的取值范围是考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线

6、向量.【变式演练5】若直线与圆交于、两点（其中为坐标原点），则的最小值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】试题分析：直线可化为，恒过定点,圆圆心为径为，当时，最小，取最大值，此时取最小值，此时的斜率为，由垂直关系可得，解得，故此时直线方程为，即，联立，解得，或，取最小值，取最大值，此时最小值故选：D考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算方法三 建立直角坐标系法使用情景：一般向量求最值或取值范围类型解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等

7、求解即可.例3 在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是_.【答案】.【点评】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.例4 在中,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练6】如图，在等腰直角三角形ABC中，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】故选：A考点：平面向量数量积的运算【变式演练7】在平面上，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解

8、析】 考点：平面向量的性质【高考再现】1. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足=,=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线 考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值2【2016高考浙江理

9、数】已知向量a、b, a =1，b =2，若对任意单位向量e，均有 a·e+b·e ,则a·b的最大值是 【答案】【解析】试题分析：，即最大值为考点：平面向量的数量积【易错点睛】在两边同时平方，转化为的过程中，很容易忘记右边的进行平方而导致错误3.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【答案】A【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的

10、最大值问题，本题容易出错的地方是对的理解不到位，从而导致解题失败4.【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .【答案】【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 5.【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ， 【答案】，.【考点定

11、位】1.平面向量的模长；2.函数的最值【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问题等价于当且仅当，时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最小值的本质，两边平方后转化为一个关于，的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.6.【2015高考湖南，理8】已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；

12、2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆上的动点到点距离的最大值.7.【2015高考上海，文13】已知平面向量、满足，且，则的最大值是 .【答案】【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量、的坐标，用坐标表示，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得的最大值.【反馈练习】1【 2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学试卷，理15】已知是的中线，则的最小值是 .【答案】【

13、解析】试题分析：，考点：向量运算.2. 【2017届浙江名校协作体高三上学期联考数学试卷，理15】已知点，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为 【答案】【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于以为直径的圆与圆有交点，故以为直径的圆：，而圆化为标准方程：，圆心距为，即实数的最小值是，故填：考点：1平面向量数量积；2圆与圆的位置关系3【 2017届山西大学附中高三二模测试数学试卷，理15】在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）若，其中，则的取值范围是_【答案】【解析】考点：向量运算4【 2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷理科数学试卷，理14】已知，曲线恒

14、过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 .【答案】【解析】试题分析：依题意可知，设，则，根据可知.考点：向量运算.5【 2016届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试卷，理16】在平面直角坐标系中，设点，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是 【答案】【解析】考点：不等式恒成立6【 016届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷，理14】在半径为1的扇形AOB中，AOB60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是 【答案】【解析】试题分析：设弦中点为,则，若同向，则；若反向，则，故的最小值在反向时取得，此时，当且仅当时取等号，即的最小值是考点：向量数量积、基本不等式求最值7【 2016届江苏省扬州中学高三3月质量检测数学试卷，理15】平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为 【答案】【解析】考点：向量与三角综合8【 2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考数学试卷，文15】已知向量满足，若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是 【答案】考点：向量几何意义9【 2014-2015学年江苏省盐城市高一下学期期末考试数学试卷，理14】已知正方形的边长为1，直线过正方形的中心交边于两点，若点满足（），则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：变形为当取最大值时取得最小值考点：向量的