2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示教案(理)(含解析)新人教A版

1、第1讲函数及其表示基础知识整合161.函数与映射的概念函数映射定义建立在两个回非空数 集A到B的一种确定 的对应关系八使对于 集合A中的的任意一 个数口在集合月中都有 理唯二确定的数M)和 它对应建立在两个则非空集 食A到B的一种确定 的对应关系八使对于 集合A中的麴任意一 个元素-在集合B中 都有画唯一1确定的兀 素y与之对应记法 )=/(才)工GA2 .函数的三要素函数由定义域、口07对应关系和值域三个要素构成，对函数 y=f(x), xCA,其中(1)定义域：国8自变量x的取值构成的集合；(2)值域：函数值的集合口丝什(x)| xC A.3 .函数的表示法表示函数的常用方法有：口 10解

2、析法、字列表法、平图象法.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上，因亚对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.1 .函数问题允许多对一，但不允许一对多.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.2 .判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3 .分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并 集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.1.集合A= x|0<x<4, B= y|0WyW2,下列不表示从 A到B的函数的是（）B. f : xfy=gx 3A.,、1f: xfy= 2x2C. f: xy

3、= 3xD. f : xy=/x答案 C解析 依据函数的概念，集合A中任一元素在集合 B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合.2 . (2019 怀柔月考)已知函数 f(x)=5|x|, g(x) =ax2x(aC R).若 fg(1) =1,则 a =()A. 1 B . 2 C.3 D.1答案 A解析 因为 g(x) = ax2 x,所以 g(1) = a1.因为 f(x) =51x|,所以 f g(1) =f(a 1) = 51aT = 1,所以 | a1| =0,所以 a= 1.故选 A.3 .已知 f(x)= 2x，x>°'则 f 4 +f -4 的值

4、等于()fx+1, x<0,33A. - 2 B . 4 C . 2 D . - 4答案 B解析由题意得 f 鼻=2X ,=，. f - = f - - = f - =2X 1=.所以 f+f 33 33333 3334.4. (2018 江苏高考)函数f(x)=Rlog 2x1的定义域为 .答案2 , +oo)解析 由log 2x1 no得xA2,所以函数的定义域为2 ,+8).x , 一+ 1 , xW 0,5. (2019 南京模拟)已知函数f(x) = 2则不等式f(x) >- 1.2-x- 1, x>0,的解集是.答案x|4WxW2x2解析 当xwo时，由题意得2+

5、1 1,解得4W xW0.当x>0时，由题意得一(x1) >1,解得 0<xW2.综上，f (x) > - 1 的解集为x| -4< x<2.6.已知函数y=f (x21)的定义域为#,小,则函数y=f(x)的定义域为 .答案 1,2解析 :ynf (x21)的定义域为43,悯, .xC 也，m,x21 C 1,2,，y=f(x)的定义域为1,2.核心考向突破考向一函数的定义域角度1求具体函数的定义域例 1 (1)函数 f(x) = (x2)0+ yj3X2-的定义域是().1,_1A.+8B. 8, 3 3一,一 1 、C. (8, +oo)D. 2 U

6、(2 ,+8)答案 D计 2,1 11一，解析 要使函数f(x)有息义，只需 业0 所以x>3且xw2,所以函数f (x)、01的定义域是一1，2 U (2 , +8),故选 D.3/ x x + 2(2)(2019 广东深圳模拟)函数y=Y ； j的定义域为()A. ( -2,1) B . -2,1 C . (0,1) D , (0,1答案 C 2-x -x + 2>0,解析由题意得x>0,解得0Vx<1,故选C.In xw0,触类旁通已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式组，得出不等式组的解集即可

7、./2x+1即时训练1.(2019 厦门模拟)函数f(x) =2x2x 1的定义域是()一1A. x xw 21B. x x> 2一1 一C. x xw 2且xwi1D. x x> 2且xwi答案 D解析2x+1>0,由题意得c22x x 1 w 0,一 1 一 ，一解得x> 2且x W 1.故选D.12. (2019 郑州调研)函数f(x) = ln x- + x 2的定义域为()x 1A. (0, +oo)B. (1 , +oo)C. (0,1)D. (0,1) U (1 , +oo)答案 Bx >0解析 要使函数f (x)有意义，应满足x 1x>0,解

8、得 x>1,故函数 f(x) = ln x-x +1 ，一x2的定义域为(1 , +8).故选B.角度2求抽象函数的定义域x例2 (1)(2019 福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(一1,1),则函数g(x)=f 2 +f(x1)的定义域为()A. ( -2,0)C. (0,2)答案 CB. (-2,2)一 1 CD. 2, 0.x .1<<1，解析由题意得 2-1<x- 1<1,-2<x<2,0<x<2,x -0<x<2,函数 g(x)=f 2 +f(x1)的定义域为(0,2),故选 C.-f 口fx+1 7一 (2)若函

9、数 y= f(x)的定义域是1,2019，则 函数 g(x)=一的定义域是 x1答案 x|0 W xw2018,且 xw1解析 因为y = f (x)的定义域为1,2019,所以要使g(x)有意义，应满足1< x+1<2019, x 1 w0.所以0WxW2018,且xwl.因此g(x)的定义域为x|0WxW2018,且xw 1.触类旁通对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为a, b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a< g(x) & b 求出.2若已知函数f g x 的定义域为a,b4Uf x的定义域为g x 在xCa, b上的值域.即时训练

10、3.已知函数 y=f(x+1)的定义域是2,3,则y=f (2x1)的定义域为()5A. -3,7 B . 1,4 C , 5,5 D. 0,-答案 D解析 因为y=f (x + 1)的定义域为2,3,所以一1Wx+1W4.由一1W2x 1W4,得550<x<2,即 y=f(2x1)的定义域为 0, 2.4. (2019 重庆模拟)已知函数f(x)=ln ( x x2),则函数f(2x+1)的定义域为 1答案1，2解析 由题意知，一x-x2>0,1<x<0,即 f(x)的定义域为(一1,0). ，一1<2x+1<0,贝U 1<x< 2.角度

11、3已知定义域求参数范围 一ax +1 例3 (1)(2019 银川模拟)若函数y= , 2-的定义域为R,则实数a的取值范yax 4ax+ 2围是()-1_c1_ c1A. 0, 2 B. 0, 2 C. 0, 2 D. 0, 2答案 D解析 要使函数的定义域为R,则ax24ax+2>0恒成立.当a=0时，不等式为2>0,恒成立；当awo时，要使不等式恒成立，则a>0,a>0,.2. 即 八 一A = 4a4 , a , 2<0, a 2a 1 <0,解得0<a<2.1 ，一由得0W a<2.故选D.(2)(2018 石家庄模拟)设函数f

12、(x) = ax22x+2,对于满足1v xv 4的一切x值都有 f(x)>0,则实数a的取值范围为 .1答案 2, +00解析2_由 f (x) >0,即 ax 2x + 2>0, x e (1,4)得a> x2 + x在xC (1,4)上恒成立.令 g(x) =- x2 + x= 21 一 111C 4, 1 ,所以 g(x)max= g(2)=-, x21 _ 一所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要 a >万即可.触类旁通已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值， 需运用分类讨论以及转化与化归的思 想方法.转化

13、与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解.1 2即时训练 5.若函数y = 2x2 2x+4的定义域、值域都是2,2 b( b>1),则()A. b=2B. b>2C. bC (1,2)D. bC (2 , +oo)答案 A一 .1 212 解析 二.函数y= 2x -2x + 4 = 2(x-2) + 2,其图象的对称轴为直线x= 2, .,.在定义域2,2 b上，y为增函数.当 x = 2 时，y = 2;当 x=2b 时，y=2b.12一 2故 2b= 2x(2 b) -2X2 b+4,即 b3b+ 2=0,得

14、 b1=2, b2= 1.又b>1,，b= 2.6.若函数f(x)= 业飞1的定义域为R,则a的取值范围为 .答案 1,02解析 因为函数f(x)的定义域为R,所以2x+ a-1>0对xCR恒成立，则x2+2ax a>0恒成立.因此有 = (2a)2+4aw0,解得iw a<0.考向二求函数的解析式例 4 (1)已知 f(也+1) = x+24x,则 f(x) =.答案 x2-1(x>1)解析(换元法)令/x+1 = t ,则 x=(t1)2(t >1),代入原式得 f(t) =(t-1)2+2(t 1)=t21,所以 f (x) = x2- 1(x>

15、1).(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f (x+1) 2f (x1) =2x+17,则 f(x) =答案 2x+7解析 (待定系数法)设f (x) = ax+b(aw。)，贝U 3f(x+ 1) - 2f(x-1)=ax+5a + b,所以ax+ 5a+b= 2x+ 17对任意实数x都成立,所以a= 2,5a+b=17,解得a= 2,b=7.所以 f(x) = 2x+7.(3)已知 f x + 1 =x2 +则 f (x)答案 x22(x>2 或 xw 2)解析(配凑法)fx+I+Lx x2_11 22x +2+x2 -2= x+x 2,所以 f(x) =x -2(x>2

16、或 xw 2).1(4)已知函数f(x)的定义域为(0, +8),且f (x) =2f - x解析 (消去法)在f (x) = 2f - 出1中，将x换成二 则换成x,得f1= xx xx触类旁通.21解得 f (x) =tJx + -.33函数解析式的求法(1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法.2换元法：已知复合函数 fg x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取 值范围.3消去法：已知关于 f x 与f 1 或f x 的关系式，可根据已知条件再构 x造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f x .4配凑法：由已知条件 f g x =F x ，可将F x改写成关于

17、g x的解析 式，然后以x替彳t g x ，便得f x的解析式.即时训练 7.已知 f(x)+3f(-x) = 2x+1,贝U f (x) =-1答案-x+4解析 由已知得 f( x) + 3f(x) = 2x + 1 , 解方程组f x +3f x =2x+1, 曰1f -x + 3fx =2x+1, 倚"x)x+4.8.已知f 2+1 =lg x,则f(x)的解析式为 x答案 f(x) = lg -2-(x>1) x 1 人2,，一解析令一+1=t,由于x>0, x， I2，2所以 t>1 且 x=1y,所以 f (t) =lg 二，即 f(x) = lg -2

18、r(x>1) .x 19.若f (x)为二次函数且f(0) = 3,f (x+2) f (x) = 4x+2,则f( x)的解析式为 答案 f(x) = x2x+3解析 设 f (x) = ax2+bx+c( aw0),又 f(0) =c= 3.所以 f(x) = ax2+ bx+ 3,所以 f (x+ 2) -f (x) = a(x+ 2)2+ b(x+ 2) + 3 ( ax2+ bx+ 3) = 4ax+ 4a+ 2b= 4x+ 2.所以4a= 4,4a+2b = 2,所以a= 1,b=- 1,所以所求函数的解析式为f (x) =x2 x+3.考向三分段函数tJx, 0<x&

19、lt;1, 例5 (1)(2017 山东高考)设£。)="2 x- 1 , x>1.若 f (a) = f (a+1),则 f1=()aA. 2 B.4 C.6 D.8答案 C解析 若 0<a<1,由 f(a) = f(a+1)得 g=2(a+1 1),.,.a=;,f 1 =f(4) =2X(4- 1) =6.4 a若 a>1,由 f(a) =f(a+1)得 2(a 1)=2(a+11),无解.综上，f 1 =6.故选C. a(2)(2018 浙江高考)已知入CR,函数f(x) =x 4, x> 入,若函数f(x)恰2当入=2时，不等式f (

20、x)<0的解集是x 4x+ 3, x<入.有2个零点，则入的取值范围是.答案 (1,4)(1,3 U(4, +oo)解析 若 入=2,则当x>2时，令x-4 <0,得2Wx<4;当x<2时，令x24x+ 3<0, 得1<x<2.综上可知1<x<4,所以不等式f(x)<0的解集为(1 , 4).令x 4 = 0,解得x=4; 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略) 可知1入W3或入>4.触类旁通分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属

21、于哪个区间，然后选定相应的解析 式代入求解.2分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行 分类讨论，最后应注意检验所求参数值范围是否适合相应的分段区间.1, 一矛1, x>0,即时训练10.(2019 山西省实验中学模拟)设函数f(x)=若1 一 x<0,xf (a)>a,则实数a的取值范围是 .答案(8, 1)解析 当a>0时，f(a)=1a1>a,解得a<-2,矛盾；当a<0时，f(a)=1>a,解得2aa<1.所以a的取值范围为(一00, 1). 2x + 2x+ 2, x<0,11.设函数 f(x)

22、 =2>0若 f f(a) =2,则 a =.答案 ,2解析 若 a>0,则 f(a) = a2<0, ff(a) = a4 2a2+2 = 2,得 a =啦.若 a<0,则 f(a) =a2 + 2a+2 = (a+1)2+1>0, ff(a) =- (a2+2a+2)2= 2,此方程无 解.(2019 贵州模拟)若函数f(x)满足：在定义域 D内存在实数X0,使得f(X0+1) =f (X0)+ f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数： f(x)=1; f(x) = 2X; f(x) =lg ( X2+2). x其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ()A.B .C .D .答案 B11,解析对于，右存在头数X0,满足f(X0+ 1) =f(X0) +f(1),则；T7=j+1,所以X。1 X0x0 + x0+1 = 0(X0W0