中考数学专题训练---平行四边形的综合题分类含答案

1、中考数学专题训练一平行四边形的综合题分类含答案一、平行四边形1 .如图，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H, 折痕为EF,连接BP、BH.4 厂£”©BC（1）求证：/APB=/ BPH;（2）当点P在边AD上移动时，求证： 4PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小彳直时，求 AP的长.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3） 2.【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出 /PBC1 BPH,进而利用平行线的性质得出ZAPB=Z

2、 PBC即可得出答案；（2）首先证明 ABPQBP,进而得出 BCHBQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）过 F作 FMXAB,垂足为 M,贝U FM=BC=AB,证明 EFM BPA,设 AP=x,利用折 叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）解：如图1,二 .PE=BE / EBP土 EPB.又 / EPH玄 EBC=90, / EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即 / PBC之 BPH.又 AD/ BC,/ APB=/ PBC./ APB=/ BPH.(2)证明：如图2,过B作BQ

3、77;PH,垂足为Q.由(1)知 Z APB=Z BPH,又 / A=Z BQP=90 , BP=BP在4ABP和4QBP中，APB BPH A BQP 90 , BP BP .ABPAQBP (AAS), .AP=QP, AB=BQ, 又 AB=BC,BC=BQ.又/C=/ BQH=90 , BH=BH, 在 BCHABQH 中，BC BQ C BQH 90 , BH BH .BCHABQH (SAS , .CH=QH. PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 .PDH的周长是定值.(3)解：如图3,过F作FMLAB,垂足为 M,贝U FM=BC=AB.又

4、二EF为折痕,EF± BP. / EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90, / EFM=Z ABP.又 Z A=Z EMF=90 , 在 EFM和ABPA中,EFM ABP EMF A , FM AB .EFMIABPA (AAS). .EM=AP.设 AP=x在 RtAPE 中，(4-BE) 2+x2=BE2. 2解得 BE=2+-,82 .CF=BE-EM=2+x-x 8，x21.BE+CF= -x+4=- (x-2) 2+3.当x=2时，BE+CFB最小值， .AP=2.考点：几何变换综合题.2.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A, B的坐标分别为(4

5、, 0),(4, 3),动点M, N分别从O, B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点 M作MPLOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了 x秒.(1) P点的坐标为多少(用含 x的代数式表示)；(2)试求4NPC面积S的表达式，并求出面积 S的最大值及相应的x值;(3)当x为何值时，4NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.03【答案】(1) P点坐标为(x, 3-x)4(2) S的最大值为:，此时x=2.4216128(3) x=,或 x=,或 x=395.【解析】试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求 OM和PM的长，已知了 OM

6、的长为x,关键是 求出PM的长，方法不唯一， 可通过PM/ OC得出的对应成比例线段来求； 也可延长 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根据CQ的长和/ACB的正切值求出 PQ的长，然后根据 PM=AB-PQ来求出PM的长.得出 OM和PM的长，即可求出 P点的 坐标.(2)可按(1) 中的方法经求出 PQ的长，而CN的长可根据CN=BC- BN来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出S, x的函数关系式.(3)本题要分类讨论： 当CP=CN时，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的长即x和/ABC的余弦值求出 CP的表 达式，然后联立 CN的表达式即可求出 x的值；当CP=PN时，那

7、么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的长，然后根据 QN=CN- CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值.当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的长，联立CN的表达式即可求出 x的值.试题解析：(1)过点P作PQ± BC于点Q,有题意可得：PQ/AB,.CQPCBA,OP AB"：:-：-x 4 _ 3解得：QP= x,43.PM=3- -x,4M (x, 0) , N (4-x, 3),在 ANPC 中，NC=4-x,0< x<4-x2 +4x)由题意可知，C (0, 3),3P点坐标

8、为(x, 3 - x)4(2)设ANPC的面积为S,3NC边上的高为二工，其中，3，S的最大值为,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有PQ, BC.若NP=CR ,. PQ± BC, . NQ=CQ=x.55 若 CP=CN 贝U CN=4 x, PQ=x, CP二 x, 4 x=- x,4416x= 9 , 若 CN=NP,贝U CN=4- x.NQ=4 2x,.在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2,3(4-x) 2= (4-2x) 2+ ( x),44 一 16 128综上所述，x=-,或 x=,或x=-395：考点：二次函数综合题.3.操作：如图，边长为 2的正方形

9、ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直线与 AP所在直线交于点 F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时， 若/BAP=30,求/AFE的度数；若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点 P会在线段BC的什么位置？并求出此时 /AFD 的度数.归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与 B, C重合），/AFD的度数是否会发 生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2,若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论.mi卸【答案】（1）45° ；BC的中点，45。； （2）不会发生变化

10、，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析 .【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出/ DAE度数，在三角形 AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形 BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B, C重合），/AFD的度数不会发生变化，作 AG± DF于点G,如图1 （a）所 示

11、，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出/1 + /2的度数，即为ZFAG度数，即可求出/F度数；（3）作出相应图形，如图 2所示，若点P在BC边的延长线上 时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGLDE于G,得/DAG=/ EAG,设/ DAG=Z EAG=%根据/ FAE为/ BAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）当点P在线段BC上时，/ EAP土 BAP=30 ,，/ DAE=90 -30 °X 2=30,° 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30°, . . / ADE=/ AED= （180 - 30 °） +2

12、=75,° 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 °, Z ADF=75 °, ZAFE=180 -60 - 75 =45 °点 E 为 DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：图1如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC, = EG/ AD,1 iiDE=EF，EG='AD=1, AB=AE, .点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上， ，AF垂直平分线段 BE, .OB=OE) / GE/ BP,/ OBP=/ OEG,/OPB=/OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=E

13、G=1 即 P 为 BC 的中点， . / DAF=90 , / BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ;° ( 2) / AFD 的度数不会 发生变化，作 AGDF于点G,如图1 (a)所示，图 1(a)在 AADE 中，AD=AE, AG, DE, AG 平分/DAE,即 /2=/DAG,且1/1 = /BAP, . . / 1 + /2)>< 9=45 ；即 /FAG=45,° 贝U/AFD=90，45 =45； (3)如图 2所示，/ AFE的大小不会发生变化，/ AFE=45 ,图3 cF 作

14、 AG± DE于 G,得 / DAG=Z EAG,设 / DAG=Z EAG通,IIZ BAE=90 ° +2.kZ FAE= / BAE=45 ° , + 忘/ FAG=Z FAE- / EAG=45 ;在 RtAAFG中,ZAFE=90 - 45 =45 :考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4.如图，矩形 ABCD中，AB=6, BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交 AB, CD边于点 E, F.（1）求证：四边形 BEDF是平行四边形；EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）4,、T33【解析】分析：（1）根据平行四边形

15、 ABCD的性质，判定 BOEDOF （ASA）,得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出EF的长.详解：（1）证明：二四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，/ A=90 ； AD=BC=4, AB/ DC, OB=OD,/ OBE=/ ODF,在 BOE和 DOF中,OBE ODFOB ODBOE DOF.,.BOEADOF (ASA),EO=FO,四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BD± EF,设 BE=x,则 DE=x,

16、AE=6-x,在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2,.x2=42+ (6-x) 2,13解得：x= 一,3 bd=Jad2 ab2 =2x/i3 , .OB=1bD= ,13 ,-BDEF,EO= . BE2 OB2 =2y3，EF=2EO=4, 13 .3点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质, 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键BE 交 AD5.如图，四边形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°, BD=BQ点E为CD的中点，射线 的延长线于点F,连接CF.(1)求证：四边形 BCFD是菱形；(2)若 AD=1

17、, BC=2,求 BF 的长.【答案】（1）证明见解析（2） 2 J3【解析】（1） AF/ BC,Z DCB=Z CDF, Z FBC=Z BFD,点E为CD的中点,DE=ECFBC BFD在ABCE与FDE中，DCB CDF ,DE EC.,.BCEAFDE,DF=BC,又DF/ BC, 四边形BCDF为平行四边形， BD=BC,二.四边形BCFD是菱形；(2)二.四边形 BCFD是菱形，BD=DF=BC=2,在 RtA bad 中，ab=用d_ad2 V3，. AF=AD+DF=1+2=3,在 RtBAF 中，BF=7AB2 AF2=2V3 .6.如图，在 RtABC中，ZB=90

18、76;,AC=60cm, /A=60°,点D从点C出发沿 CA方向以 4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀D、E运动的时间是t速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点秒(0vtwi5 .过点 D作DF，BC于点F,连接DE, EF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由;(3)当t为何值时，4DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能，t=10； (3) t=15或12. 2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角 4CDF中，利用

19、直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；(2)易证四边形 AEFD是平行四边形，当 AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，据此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF为直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90两种情况讨论.【详解】解：(1)证明：二.在 RtABC 中，/ C=90 / A=30° ,AB=_ AC= X 60=30cm22,. CD=4t, AE=2t,又 在 RtCDF中，/ C=30 ,.DF=1cD=21t,DF=AE能，. DF/AB, DF=AE四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，即60 4t=2t ,解得：t=10

20、,当t=10时，AEFD是菱形；(3)若ADEF为直角三角形，有两种情况：如图 1, /EDF=90°, DE/ BC,A图115则 AD=2AE,即 60 4t=2 X 21 解得：t= 一 ,2如图 2, /DEF=90°, DE±AC,仁图2则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,综上所述，当t=15或12时，4DEF为直角三角形.27.如图，4ABC中，AD是边BC上的中线，过点 A作AE/ BC,过点D作DE/ AB, DE与AC、AE分别交于点。、点E,连接EC.(1)求证：AD=EQ(2)当/BAC=RtZ时，求证：四边形 AD

21、CE是菱形.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)先证四边形 ABDE是平行四边形，再证四边形 ADCE是平行四边形即可；(2)由/BAC=90°, AD是边BC上的中线，得 AD=BD=CD,即可证明.【详解】(1)证明： AE/ BC, DE/ AB , 四边形ABDE是平行四边形，.AE=BD,.AD是边BC上的中线，BD=DC,.AE=DC,又 AE/ BC, 四边形ADCE是平行四边形.(2)证明：/BAC=90°, AD是边BC上的中线. .AD=CD 四边形ADCE是平行四边形， 四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱

22、形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键8.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1 ,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形 MON,使点N在格点上，且/MON=90 ；(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形 ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角 形和一个正方形，且正方形 ABCD面积没有剩余(画出一种即可).图1圈2【答案】(1)作图参见解析；(2)作图参见解析.【解析】试题分析：(1)

23、过点。向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可;(2)根据勾股定理画出图形即可.试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示；（2）等腰直角三角形 MON面积是5,因此正方形面积是 20,如图2所示；于是根据勾股 定理画出图3:图2图3考点：1.作图-应用与设计作图；2.勾股定理.9.如图，在 4ABC中，/ACB=90°, /CAB=30°,以线段 AB为边向外作等边 ABD,点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段 AD于点F.C4（1）求证：四边形 BCFD为平行四边形；（2）若AB=6,求平行四边形 ADBC

24、的面积.【答案】（1）见解析；（2） S平行四边形ADBC=红，3 .211(1)在 RABC 中，E 为 AB 的中点，贝U CE=-AB, BE。AB,得至U / BCE=Z EBC=60:由22 AEFABEC；得 /AFE=Z BCE=60.又 / D=60 °,得 / AFE=/D=60 度.所以 FC/ BD,又因为 /BAD=/ ABC=60°,所以 AD/ BC,即 FD/BC,则四边形BCFD是平行四边形.(2)在RtABC中，求出BC, AC即可解决问题；【详解】解：(1)证明：在 4ABC 中，/ACB=90, Z CAB=30 ,/ ABC=60 ,

25、在等边 4ABD 中, Z BAD=60 ； ，/BAD=/ ABC=60 ,° E 为 AB 的中点，. . AE=BE 又/ AEF=Z BEC1 _1_.AEHBEC 在 ABC 中，/ ACB=90 , E 为 AB 的中点，.CEqAB, BE=-AB, . CE=AE/ EAC=Z ECA=30 , °/ BCE4 EBC=60又. AEF BEC,，/AFE=/ BCE=60,° 又. / D=60 ；/ AFE=/ D=60 ； . FC/ BD,又 / BAD=/ABC=60AD/ BC,即 FD/ BC, 二.四边形 BCFD是平行四边形；(2

26、)解：在 RtABC中，. /BAC=30, AB=6, . BC=AF=3 AC=&/3 , . S平行四边形bcfcf3x3/3 = 9.3 ,Sa acf= X 33/3 = 9- ,S平行四边形ADB(= 273 222【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直 角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考 题型.10.如图1,在4ABC中，AB= AC, AD± BC于D,分别延长 AC至E, BC至F,且CE=EF,延长FE交AD的延长线于 G.(1)求证：AE= EG;(2)如图2,分

27、别连接BG, BE,若BG= BF,求证：BE= EG;(3)如图3,取GF的中点 M,若AB= 5,求EM的长.GG仃却图2图35【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：/ CAD= / G,可得AE= EG;(2)作辅助线，证明 BEFGEC (SAS ,可得结论；(3)如图3,作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得 EM=DN =1 t_ 人AC,计算可得结论.2【详解】证明：（1）如图1,过E作EH，CF于H, .EH/ AD,Z CEH= Z CAD, /HEF=/G, .CE= EF/

28、CEH= / HEF,，/CAD=/G,.AE= EG;.BD=CD,.AG是BC的垂直平分线,.GC=GB,/ GBF= / BCG, BG= BF,.GC= BE,.CE= EF,/ CEF= 180 - 2/ F, BG= BF,/ GBF= 180 - 2 / F, / GBF /CEF / CEE / BCG, / BCE= / CEF吆 F, / BCE= / BCG+Z GCE,/ GCE= / F,在 BEF和GCE中，CE EFQ GCE F,CG BF .BEFAGEC(SAS , .BE=EG；取AC的中点N,连接DN,/ GAE= / AGE,在RtACD中，N为AC的

29、中点, .DN=1AC= AN, /DAN=/ADN, 2/ ADN= / AGE, . DN / GF,在RtGDF中，M是FG的中点,DM = 1 FG= GM, /GDM=/AGE,2/ GDM= / DAN, .DM / AE, 四边形DMEN是平行四边形，,-.EM = DN= 1 AC 2， ，AC=AB=5, 5 . EM = .2【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键.友好三角形11.定

30、义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做性质：如果两个三角形是友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等.理解：如图 ，在4ABC中，CD是AB边上的中线，那么 4ACD和4BCD是 友好三角形”，并且 Saacd=Sbcd.应用：如图 ，在矩形 ABCD中，AB=4, BC=6,点E在AD上，点F在BC上，AE=BF AF 与BE交于点O.(1)求证：4AOB和4AOE是友好三角形”；(2)连接OD,若4AOE和ADOE是 友好三角形”，求四边形 CDOF的面积.探究：在 ABC中，/A=30°, AB=4,点D在线段 AB上，连接 CD, AACDABCD> 友好三角形

31、”，将4ACD沿CD所在直线翻折，得到CD若CDfABC重合部分的面积等于 ABC面积的请直接写出 ABC的面积.3CE DD 3图图【答案】(1)见解析；(2) 12;探究：2或2S.ABFE是平【解析】试题分析：(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得4AOE和4AOB是友好三角形；(2) AAOEADOE>友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得 ABE ABF的面积，根据 S四边形cdof=S矩形ABCh2S/abf即可求解.探究：画出符合条件的两种情况： 求出四边形 A DCBb平行四边形，求

32、出 BC和A 雕 出/ACB=90,根据三角形面积公式求出即可； 求出高CQ求出DC勺面积.即可求 出 ABC的面积.试题解析：(1)二.四边形ABCD是矩形， .AD/ BC,.AE=BF, 四边形ABFE是平行四边形，.OE=OB, AOE和 AOB是友好三角形.(2) .AOE和ADOE是友好三角形,Saaoe=Sadoe, AE=ED= AD=3, AOB与 AOE是友好三角形,Saaob=Saaoe,.AOEAFOB,Saoe=Sfob,Saaod=Sabf:,111- S 四边形 cdof=S矩形 abcd-2Saabf=4 X 6-2 X 4 X 3=.12探究:解：分为两种情况

33、：如图1,- Sa acd=Sx bcd.12 .AD=BD= AB,沿CD折叠A和A重合，1111.AD=A，福Ex 4=2IIA' CD ABC重合部分的面积等于 ABC面积的工11 II 1111._4c_2c2.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dcdo=ob, a' o=co四边形A' DCB平行四边形,BC=A ' D=2过 B作 BMXACT M,. AB=4, /BAC=30,°II.BM=/AB=2=BC即C和M重合，/ ACB=90 ；由勾股定理得：ac=' ,1 II.ABC的面积是.X BCX

34、 AC=2%9=2%'2;如图2,'A- Sa ace=Sx bcd.1 .AD=BD= AB,沿CD折叠A和A重合，1111 .AD=A，禧B工X 4=2II A' CD ABC重合部分的面积等于 ABC面积的*, 11 II 1111八 4c 2c 2c 2c.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dc .DO=OA'，BO=CO, 四边形A' BDC平行四边形， .A' C=BD=2过C作CO! A'吁Q, . A' C=2/ DA' C=BAC=30 ,° 11 .CQ=A'

35、; C =1 1111/.SaabC=2Saadc=2Sa dC2 /X A' DX CQ =2XX 1;=2即 ABC的面积是2或2、？.考点：四边形综合题.12.如图，现将平行四边形 ABCD沿其对角线 AC折叠，使点B落在点B处.AB与CD交于 点E.(1)求证：AE44CEB'(2)过点E作EH AC交AB于点F,连接CF,判断四边形 AECF的形状并给予证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得 AD=BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB；利用AAS证明全等，贝U结 论可得；（2）由AEgCEB可得A

36、E=CE且EFLAC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF玄 AFE=Z AEF,可得 AE=AF,贝U可证四边形 AECF是菱 形.【详解】证明：（1）二.四边形ABCD是平行四边形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC.ADEAB'EC（2）四边形AECF是菱形.ADEAB'EC.AE=CE. AE=CE） EF± AC，

37、EF 垂直平分 AC, /AEF=/CEF.AF=CF1. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE,-.AF = AE= CE= CF四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练 掌握这些性质和判定是解决问题的关键.13.（问题发现）（1）如图（1）四边形 ABCD中，若AB=AD, CB=CD,则线段BD, AC的位置关系（拓展探究）(2)如图(2)在RtABC中，点F为斜边BC的中点，分别以 AB, AC为底边，在RtA ABC外部作等腰三角形 ABD和等腰三角形

38、 ACE连接FD, FE,分另交AB, AC于点M, N.试猜想四边形 FMAN的形状，并说明理由；(解决问题)(3)如图(3)在正方形 ABCD中，AB=2*2,以点A为旋转中心将正方形 ABCD旋转 60。，得到正方形AB'CD'请直接写出BD平方的值.【答案】(1) AC垂直平分BD; ( 2)四边形FMAN是矩形，理由见解析；(3) 16+先落或 16 - 8Vm【解析】 【分析】(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出 AC垂直平分BD;(2)根据RtA ABC中，点F为斜边BC的中点，可得 AF=CF=BF再根据等月三角形 AB

39、D 和等腰三角形 ACE,即可得到 AD=DB, AE=CE进而得出Z AMF=Z MAN= Z ANF=90 ,即可 判定四边形AMFN是矩形；(3)分两种情况： 以点A为旋转中心将正方形 ABCD逆时针旋转60°,以点A为旋 转中心将正方形ABCD顺时针旋转60。，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结 论.(1) AB=AD, CB=CD,点A在线段BD的垂直平分线上，点 C在线段BD的垂直平分线上,AC垂直平分BD,故答案为：AC垂直平分BD;(2)四边形FMAN是矩形.理由：RtABC中，点F为斜边BC的中点, .AF=CF=BF,又.等腰三角形 ABD和等腰三角形 A

40、CE,.AD=DB, AE=CE.由(1)可得，DFL AB, EF± AC,又 / BAC=90°,/ AMF=Z MAN=Z ANF=90 ;四边形AMFN是矩形；(3) BD'的平方为16+8口或16-8网分两种情况：以点A为旋转中心将正方形 ABCD逆时针旋转60°, 如图所示：过 D作D'E, AB,交BA的延长线于 E,/ EAD=30 ; AB=2=AD',II .D.AD'=0, AE=W，.BE=2., +、,BDE 中，BD'2=D'E2+BE2= (%?) 2+ (2忆气心)2=16+8/3以点

41、A为旋转中心将正方形 ABCD顺时针旋转60°,如图所示：过B作BF, AD'于F,AD旋转可得，/DAD=60°,/ BAD=30 ,° .AB=2 =AD',II . BF=TiAB=Y , AF=E .d'f=2? 甲,.RBDF 中,BD'2=BF2+D'F2= (*?) 2+ (2/即)2=16 8%用综上所述，BD'平方的长度为16+%3或16-8、3.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直 平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直

42、角三角形，依 据勾股定理进行计算求解.解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形.14.如图1,若分别以 ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形 ACDE和BCFG为正方 形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.(1)发现：如图2,当/C=90°时，求证：4ABC与4DCF的面积相等.(2)引申：如果ZC 90。时，(1)中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；(3)运用：如图3,分别以 ABC的三边为边向外侧作的四边形 ACDE BCFG ABMN为 正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知 ABC中，AC=3, BC=4.当 ZC=时，图中阴影部分

43、的面积和有最大值是 .【答案】(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3) 18.【解析】试题分析：(1)因为 AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,从而 ABC与4DFC的面积相等；(2)延长BC到点P,过点A作APLBP于点P;过点D作DQLFC于点Q.得到四边形ACDE BCFG均为正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因为 Saabc= 1 BC?AP, Sadfc=；FC?DQ 所以 Saabc=Sdfc；(3)根据(2)得图中阴影部分的面积和是 4ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积

44、和有最大值，则三角形 ABC的面积最大，当 4ABC是直角三角形，即 /C是90度时，阴影部分的面积和最大.所以S阴影部分面积和=3Saabc=3 J X 3X 4=182(1)证明：在 4ABC与4DFC中,/小 DCF, BC=FC.ABGDFC. ABC与 DFC的面积相等；(2)解：成立.理由如下：如图，延长BC到点P,过点A作APLBP于点P；过点D作DQLFC于点Q./ APC=Z DQC=90 :四边形ACDE BCFG均为正方形，.AC=CD, BC=CF /ACP+/ PCD=90,° / DCQ+/ PCD=90 ,°/ ACP=/ DCQ.APC= D

45、QC.-. ACP= DCQ ,AC=CD APCA DQC (AAS), .AP=DQ.又ABC=1BC?AP, Sa dfc= 1 FC?DQ 22Sa abcfSa dfc；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形当4ABC是直角三角形，即 / C是90度时，1 S 阴影部分面积和-3S/abc=3 X x 3 X 4=182考点：四边形综合题 ABC的面积三倍，ABC的面积最大，阴影部分的面积和最大.15.如图1,在长方形纸片 ABCD中，AB=mAD,其中m?1,将它沿EF折叠（点E. F分别在 边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P,连接EP设幽-n ,其中0<n?1.AD郑（1）如图