基于思维数学教学案例

1、新课标中关于数学思维的要求第一部分 前言数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。一、课程性质数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；二、课程基本理念数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。（三） 课程内容推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理

2、，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。总目标2. 体会数学知识之间、数学与其他学科

3、之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。总目标从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面具体阐述数学思考建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。【作业案例】 初一学生学习全等三角形时，题目的证明已知：如图，在O中，MN为直径，P是MN上一点，AC、BD是过点P的两条弦，APM=BPM。求证

4、：AP=BP证明：连接AO、BO，则AO=BOAPM=BPM.OPA=OPB在OPB和OPA中BO=AO，OP=OP，OPB=OPAOPBOPAPB=PA【案例】 在学习一次函数时，教师出示一题：请你在同一标系中画出：y=x+2，y=x-2，y=-x+2，y=-x+2四条直线，然后观察，你能发现什么？（教师为学生提供足够的时间，让学生在画图基础上认真观察、独立思考、自主探索）。然后，分两步进行：一是观察思考提出问题： 解析式x的系数的正负与函数图象通过象限的关系怎样？ 是两直线平行或相交的条件是什么？ 是直线与坐标轴围成的三角形、四边形等的面积怎么求等等.二是让学生再观察、思考、操作，得出结论

5、和探索的方法： 通过观察、列表等方法获得解析式x的系数的正负与函数图象通过象限的关系.是通过观察、比较等方法得到两直线平行或相交的条件. 通过观察、实验等方法求得直线与坐标轴围成的三角形、四边形的面积.观察、发现问题、解决问题的过程中，学生产生各种疑问、困难、障碍和矛盾过程中， 进行了数学思维训练。【案例】 平行线性质的教学将全班学生分为若干小组，每组提供A 4白纸一张,长为20厘米的橡皮筋一根。在白纸上画两直线AB和CD，且AB / CD，一名同学将橡皮筋拉直，使其两端分别落在AB和CD上，端点记为M、N。接下来，将端点M、N用图钉固定，通过改变橡皮筋的形状产生不同的角，以此探究这些角之间的

6、关系。师:每组由一名学生将橡皮筋拉直并固定M、N两端,另一名学生拉住橡皮筋除端点外的任一点(记为P)将橡皮筋进行拉伸,看看可以得到哪些图形，并探究AMP、MPN、PNC的关系.请同学们画出自己小组得到的图形，并证明你们得到的结论.【案例】探索多边形内角和片断一：参与给多边形下定义(不简单下定义.数学概念既是数学思维的基础，又是数学思维的结果，所以概念教学不应当只给定义，而应启迪学生通过观察、发现、思索,引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思维过程.)师:同学们，大家能说出什么样的图形是三角形吗?生1:三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。生2:他说得不完整，应该在“三条线段”前面加

7、上“不在同一直线上的”几个字。师:为什么?生3: 如果两条线段的和等于第三条线段，那么就画不出三角形来了。师:(点头赞成)不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。大家能仿照这一说法，画出四边形、五边形、六边形吗?(教师将学生分成三个大组,分别画出四边形、五边形和六边形.学生纷纷在草稿纸上画图,教师巡视.)师:大家能试着说出什么样的图形是多边形吗?生4:不在同一直线上的多条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做多边形。师:(微笑)说得不错!请大家拿出准备好的四根木棒摆出一个四边形来。(大部分学生在课桌上摆弄,少数几个拿着木棒在空中摆弄。)生5:老师，我摆的是四边形吗(如图1)?师:

8、(点头赞成)是啊,它是一个空间里的四边形.不过,我们现在只研究平面图形,那么我们应该怎样去叙述“多边形”呢?生6:在平面内,由不在同一直线上的多条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做多边形.(通过画图和摆弄等实际操作,培养了学生的动手习惯和操作能力,强化了学生对几何图形的概念从感性到理性的认识过程,为后面的教学作了铺垫.) 片断二: 探索多边形的内角和(不过早给结论。定理、公式、法则等结论都是具体的判断，而判断则可视为压缩了的知识链.教学中要恰当地拉长这一知识链，引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程,弄清每个结论的因果关系,探讨它与其他知识的关系,领悟思维活动的数学思想。)师:现在请大家把一个

9、多边形(如四边形、五边形和六边形)剪成若干个三角形，使所剪得的三角形至少有一边是原多边形的边，并看看满足条件的三角形有几个？(教师按原来的分组形式,让学生剪出满足条件的三角形，剪完后再重新拼接.学生各自剪拼相互交流，教师在各组间观察剪拼情况.)师: 大家把自己的剪拼方法展示一下，好吗?(学生纷纷举手,教师按分组的先后让学生展示生7:(在实物投影仪上展示,如图2)沿四边形的一条对角线剪下，这样的三角形有两个.生8:(投影展示，如图3)沿四边形两条对角线剪下，这样的三角形有四个。生9:(拿着画好的图形展示,如图4)在四边形内任选一点,联结这点和各个顶点的线段，将四边形也分成4个三角形.师:(会心地

10、一笑)四边形两条对角线的交点是形内一个特殊的点，只要这个点在形内任何位置都可以，对吗生10:对，图3是图4的一个特例，实质上是一样的。师:不错。第一组的同学还有其他分法吗?(稍停顿,没有学生提出异议)现在，由第二组的同学展示自己的剪拼方法,大家只要像生9那样,展示自己画好的图形就可以了。生11:(投影展示，如图5)沿五边形一个顶点的所有对角线,可以把它分成3个三角形。师:很好!这就是说,我们可以按点与多边形的位置关系，把一个多边形分成满足条件的若干个三角形.因为位置关系的不同,所以分得的三角形的个数也不同.那么对于一个n边形(当然这里的n是一个不小于3的整数),按不同的分法所分得的三角形的个数

11、又是怎样的呢?生17:如果这个点是多边形的某个顶点,则经过这点的所有对角线,可以把n边形分成(n-2)个三角形;如果这点在n边形的一边上,则连这点与它不相邻的顶点所得的线段可把n边形分成(n-1)个三角形;如果这点在n边形的内部,则联结这点与n边形各顶点的线段把n边形分成了n个三角形.（师生共同完成表中内容)（引导学生思维实现了从简单到复杂,从具体到抽象的过渡与跨越,并渗透了从特殊到一般以及归纳法的数学思维方法.)师:大家知道三角形的内角和是多少吗?生:(全体):180度.师:你们能说出四边形、五边形、六边形的内角和是多少吗?师:(手势)嘘,你们是怎样得到这个结论的呢?师:很好,但如果没有具体

12、地给出这个多边形的边数,谁能为大家给出一个求多边形内角和的公式呢?师:这位同学回答得很好!(停顿,引导学生思考)他是按经过同一顶点的对角线,把n边形分成的三角形的个数来推出结论的.大家还有其他方法来验证这个结论吗?让学生亲自参与结论的探索过程,大大的激发了学生的求知兴趣,同时他们也体验到“创造发明”的喜悦,数学思维能力在这过程中得到了有效的发展;师:如果我们取的点在n边形外呢，你还能验证这个结论吗?这个问题留给大家课外去思考.【案例】例 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。说明 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。教学中可以参考安排如下的过程：（1）发

13、现结论。在透明纸上画出如图18-1的图：设，是的两条切线，是切点。让学生操作：沿直线将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：，。图18-1 图18-2这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。（2）证明结论的正确性。如图18-2，连接和。因为和是的切线，所以，即和均为直角三角形。又因为和，所以和全等。于是有，。这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。【案例】 幂的运算猜想幂的

14、运算规律：从数的计算开始 ，逐步提到提升到用字母表示，再用于数学问题。特殊-一般-特殊案例 相似多边形的性质（二）（北师大版八年级）该课由镇级中学和西安市某中学两教师同课异构教学,内容是探究相似三角形周长比、面积比与其相似比的关系,进而探讨相似多边形的周长比、面积比,最后,应用性质解决问题.三角形周长比,用到等比性质“若则”,三角形面积比问题则要转化为探讨两三角形高之比,相似多边形的周长比类比三角形,相似多边形的面积比问题是进行分割,转化为三角形面积之和之比,再次运用等比性质.关于探究相似多边形面积比,两位教师均以习题方式,给出：“相似比为的两个相似四边形,求其面积比”,引导学生将之先分割为三

15、角形,研究相似四边形中与、与的关系,再利用等比性质,.由四边形拓展到多边形,获得“相似多边形面积比等于相似比的平方”城乡教师的教学流程有很多不同,但在探究相似多边形面积比时,两位教师均是以习题方式,先出示：“相似比为的两个相似四边形,求其面积比”.镇中教师用问题串启发：“任意四边形面积比是什么？”“你学过什么？”（生答：三角形）“怎么办？”（生答：分为三角形）,“怎样连？”（答略）.引导学生将之先分割为三角形,研究相似四边形中与、与的关系,再利用等比性质,.“相似比为的两个相似多边形呢?”, 学生由四边形拓展到多边形,获得“相似多边形面积比等于相似比的平方”.城市教师教法与之类似,只是多了推论

16、:“相似多边形周长比等于面积比的算术平方根；相似多边形被对角线分割成的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比”等.性质应用环节,例题、习题城市教师安排了20余道题,镇中教师也有15道.城市教师给出习题：“已知甲、乙两个多边形相似,其相似比2：5,若两个多边形面积之和为174,则多边形甲的面积为多少？”,随即指出：“这是最典型的方程思想,大家试着做一下”,接着巡视纠错,忙于下一题.而其后三道练习都涉及方程思想,教师却并没有提醒学生其中的共性：都是运用了方程思想“找已知与未知的联系”.知识的总结教师都非常扎实.城市教师还得出“相似多边形被对角线分割成的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形

17、的相似比”等结论,并立刻与中考原题对接,令观摩的镇中教师大加赞赏：“总结了方法,与中考联系紧,确实教得好”. 我们注意到：求相似四边形面积比的意图,是在运用从特殊到一般的化归策略,教师一直都没有点明；城市教师对将四边形、多边形先分割为三角形,虽用到了“转化”,但一带而过,仅提问学生：“多边形内角和问题我们是怎样解决的？”,不及学生反应,教师便自问自答:“可以用类比的方法”；而镇中教师则只强调了“分割法”,甚至没有提到“转化”；两位教师对“分割”的实质是运用“化归思想”都没有阐述.尤其是对“相似多边形面积比问题”该如何整体思考,是怎样研究的,都没有进行梳理.访谈中两位教师均表示：“没有想到那么多

18、”；城市教师:“我们从初一就与中考对接,一节课常有二三十道题,其他的都没时间”.观摩教师也表示,他们教学也是把重点放在题目的类型,涉及的概念公式、解题技巧之间的联系上.案例中,周长比、面积比、相似多边形被对角线分割成的对应三角形相似等知识是显见的,而“类比”、“转化”、“先特殊再一般”、“分解与组合”等思想方法却内隐在过程里，要靠学生自己去“悟”很难,但教师并没有帮学生完成提炼.应用环节，在“揭示规律,小试身手”环节,给出习题：“已知甲、乙两个多边形相似,其相似比2：5,若两个多边形面积之和为174,则多边形甲的面积为多少？”,教师随即指出：“这是最典型的方程思想,大家试着做一下”,仅此一句.

19、随后学生列方程、解答,教师纠错,便忙于下一题.而其后有三道练习都涉及方程思想,但是,教师并未提醒,这些问题其思想方法上的共性是：都体现了方程思想“拉关系,找已知与未知的联系”. 随即让学生解题.有学生并不能迅速提取思路:设未知数,寻找等量关系,列出含有未知数的等式方程.当学生头脑中的方程思想形式图式还不清晰时,教师的提示作用不大.但教师没有注意到,听到正确答案后随即进入下题.对“相似多边形面积比问题”该如何整体思考：“你联想起到什么？是怎样研究的？这个问题该如何解决？还能研究什么？”,小结中都没有从方法上梳理。案例中教师直接问:“相似比为的两个相似四边形,求其面积比”,其实是错过了合情推理的机会.可以用以下问题：相似三角形重要的特征是相似比,那么它的周长比、面积比与相似比会有着怎样的关系？三角形面积比问题可以转化为求高之比,相似三角形高线、中线、角平分线之比与相似比又存在什么关系？研究了三角形周长比、面积比,如何研究相似多边形的周长比、面积比？恰当的问题背景是数学思想生发、融入的起点.笔者在华东师大举办的中学数学研讨会圆的周长一课中看到,合作、交流、探究都有声有色,然而教师让学生分组测量,从数据归纳出周长公式,这一过程实际蕴含着从局部推断整体的统计思想,与动态变化蕴含着函数,却未被教师指出.中学的调研中笔者发现：课程改革以来,数学课堂的表现形式日