备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题61以不变应万变-定值问题

1、2专题 61 以不变应万变-定值问题考纲要求：1.1. 圆锥曲线(1)(1) 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(2)(2) 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用. .(5)(5)理解数形结合的思想. .2.2. 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 基础知识回顾：1.1. 直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C= 0(0(A,B不同时为 0)0)代入圆锥曲线C的方程F( (x,y) ) = 0

2、0,消去y( (也可以消去x) )得到一个关于 变量x( (或变量y) )的一元方程.了Ax+By+C=0,即消去y，得ax+bx+c= 0.0.F x,y= 0 0,(1)(1)当a0时，设一元二次方程ax2+bx+c= 0 0 的判别式为 ，贝U 0?0?直线与圆锥曲线C相交； = 0?0?直线与圆锥曲线C相切； 0?00），所以 r r ：.V.V2 2二-4.-4.点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解

3、时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、 定值显现. .类型二定值的探究性问题【例 4 4】【20182018 届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】设Ax1,y1）,B（X2,y2）是椭圆吿=1 a b 0上的两点，椭圆的离心率为 上3，短轴长为2，已知向量仁凶丄a b2.ba爪=生，翌，且用_片，O为坐标原点. .lb a丿（1 1）若直线AB过椭圆的焦点F 0,c，（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（2 2） 试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由【答案】（1 1）k = 2；（ 2 2）见解析. .由RP二“PF，所以xi,yiy i；=!

4、“1 Xi,-力,【解祈】试题分析： 根据条件可得a = 2rb = l 忑,再设直线曲的方程为：严 kx+b与桶圆联立方程组,利用韦达定理和已知条件厉丄乔即可求出圧的值；先考虑直线AB斜率不存在的 情况，即画二/y1= y2f根抿用丄孙求得西和卄的关系式,代入椭圆的方程求得4点的横坐标和纵 坐标的绝对值，进而求得扩B的面积的値当直线肋斜率存在时，设出直线曲的方程，与椭圆联立方 程组，利用韦达定理表示出西十花和西比，再利用mlnt弓玄长公式及三角形面积公式求得答案.2试题解析； 由题可得； = 2,b=f所儿 椭圆的方程为+*=1设刘的方程为：F=屁代入手+宀得：（V + W+ZV弧_=0.一

5、2屁-1A n二吟丙TA0丁两丄两丿二两厉=0,=0,即：邑匕 +坷勺=斗”+号*丄+乎（西也）+扌（2）直线AB斜率不存在时，即x b00【例 5 5】20172017 届北京市东城区东直门中学高三上期中】如图，椭圆经过点| |,且离心率为()求椭圆的方程.(2)经过点(】)，且斜率为的直线与椭圆 E E 交于不同的两点卩，Q(均异于点川)，判断直线川 P P 与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1 1).()斜率之和为定值 .【解析】根抿題意知：汁弓，b = l,结合a3=b=+c解得:a =V2j b = l,c = 1?椭圆的方程为：()由题

6、设知，直线u的方程为 r =将直线方程与椭圆方程联立，-2 kmXx22k +42m -4XiX2厂k2+4mix1-x2x.(x2-4xix2=2 m Jk2_m2+4k2+4y y = =k(x+ + 1)1) + + 1/fc1/fc 2)2)i耳22,2+y，得(1(1十2Jt)V2Jt)V - - 4k(k4k(k - -l)x + 2kk- - 2)2) = = D D由已知：,设户(兀 1 1丹)0(0(七兀)勺乃工。的焦点与双曲线D的右焦点相同.(1(1)求抛物线 C C 的方程;(2)直线m过点A(3,0)，交抛物线于P,Q两点，探究是否存在平行于y轴的直线I，被以PA为直径

7、的圆E所截得的弦长为定值？若存在，求出直线I和弦长；若不存在，说明理由.【答案】(1 1)y2=8x； (2 2)存在x = 1, ,弦长为2,2. .【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用双曲线的几何性质求解，3)3)依据题设中的抛物线方程运用直线与圆的 位蛊关系探求- 试题解析：C1)豉曲线 Q 的中心在原钛 右焦点为(2(2 , ,则抛物线C C的方程为/ =8x.8x.假设存在直线门 兀满足题意,设心 则”呵，圆心为曲宁申，过圆心E作乂=兀的垂线， 垂足为F,直线J与圆的一个交点为G ,则弦长=2|巩?|,IFGfW眄卫一|耐=带卄評弩一声4 4心一1)1)则,2k(k- - 2)

8、2)旺心=-z z 1 1十卅 ?从而直线 的斜率之和：y.y. + + 1 1 y y2 2+ + 1 1kx、+ + 2 2比kx2+ + 2 2-比x.+ + x x2 2氏十k =-+-=- 十-= = 2fc2fc + + (2(2 町-Q叼叫工1勺xx2=2*=2* + + (2(2弋：?：_?= = 2 2”一 2 2伙_1)=21)=2旳 +1 1 y y2 2+ + 1 1故直线-、斜率之和为定值.【例6 6】【20172017 届重庆市第八中学高三 1212 月周考】抛物线C的顶点是双曲线D:2X2于1 1的中心C13=（学+牛一（琴尸_（坷+刃兀+忑1=（兀一1）吗+3兀

9、一X2斗 |_2当观=1时，|FGf=2,直线/为*1,被以羽为直径的圆E所截得的弦长为定值2血.点评：探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题往往综合运用所学数学知识经常用到的知识是：二元二（一）次方程组、几何图形的某些特殊性质等因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.方法、规律归纳：1.1. 求定值问题常见的方法有两种：1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.2直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.2. 定值的探索与证明问题：1探索面积、长度、角度、参数为定值时，可先建立“目标函数”表达

10、式，确定其值.2从特殊情况入手，先探求定值，再证明与变量无关.实战演练：1 1.【20172017 届山东省烟台市二模】已知点C为圆x .32y16,F ,3,0,P是圆上的动点,线段FP的垂直平分线交CP于点Q. .（1 1）求点Q的轨迹D的方程；（2）设A（2,0 ）, B（0,1 ），过点A的直线11与曲线D交于点M（异于点A）,过点B的直线L与曲线D交于点N，直线11与 J 倾斜角互补1直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由;2设AMN与BMN的面积之和为S，求S的取值范围. .2 _【答案】(1 1) y2(2 2)02- 24-【解析】试题分析：（1）本问考查

11、曲线轨迹方程的求法，画出图形分析可有，|CP| = |QC| += QCQF = ArCF=2j3f于是点Q的轨迹是以点CF为焦鼠 焦距为2苗，长轴为4的椭圆，可求出方程；怎本问考查直线与椭圆的位墨关系，由于直线石与右倾斜角互补所以 斜率互为相反数，设的方程为y = 2）f与椭圆方程联立，消元，得到关于*的一元二方程，根据 韦达定理可以求出点用的坐标,igI,的方程为y = -kx+h同理可汉求出点N的坐标,于是可次求出直线 顺的斜率，并判断是否为定值；由于直线MN的斜率为定值，所以设直线磁的方程为y = b与 椭圆方程麻立,求出弦长呦 =/7庄I吗-花I再分别求点山B到直线w的距离,于是可以

12、得到AAMN与ABMN的面积之和为S、再讨论求出取值范围.试题解析：|CF|=25.点_Q的轨迹是以点CF为焦晟 焦距为2羽，长轴为4的椭圆,所臥口 =前=1，所以点女的轨迹方程杲= 14因为11,12倾斜角互补，所以12的方程为y二-kX 1，设11与椭圆除A 2,0外的另一个交点M X1,y1，则2X116k2-41 4k2X1 -8k2一21 4k2代入11的方程得-4ky1 =21 4k2，所以M8k2-2J + 4k2-4k1 4k2(2)设11的方程为y = k X -2,联立方程2X2彳y14，得15联立方程组f 4，得(1十4疋)/ y = -Ax+lSI-Rti殳右与椭圆除月

13、(0)外的另一个交点N(耳比L则花+0= +斗才忍=+低2 于恥1-4 旷J + 4H1+4疋十二直线咖的斜率为咯=也二也=2X21丁+ +y y= =1 1设直线MN的方程为y b, ,联立方程4 4，得X22bx 2b0, ,21 , y x b2由二（2b24*2b22 ）=84b2AO 得T2vbZ=I_ 斗联立直线与抛物线得出韦达走理表示出X1_1牛一1 J1 +盹二耐，即可得出定值试题解析：(1) 1SC(X因为B在尤铀上且日亡中点在7轴上，所決&(兀刀人由1111 = = llC CL L得0 + 1尸=0 1+严化简得卩=所以C点的轨迹厂的方程为y 2= (yQy巧(2)(2)

14、直线H的斜率显然存在且不为。设直线M的方程为y= kx-2y = kx-2f期川0左兀),(y2 =仏由9= kx-2碍妒-4y- 8 = 0,4g和尹+为飞心一匚L-=岭_2 =2 斗 2r1.16一4y。22jy。242小。2422、y。24当且仅当y。2=4a -8，即x。=a -2时取等号,所以当动圆M的面积最小时，a -x。=2,即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值. .24 4.【20172017 届云南省昆明市二测】在直角坐标系xOy中，已知定圆M : x 136，动圆N过点F 1,0且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C. .(1(1)求曲线 C C 的方程;

15、动圆M的半径即为点M a,0到直线I的距离d =4a十y。2,16 4y。2（2 2）设 代P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP, BP分别交x轴于点S,T，证明：OS OT为定值. .2 2【答案】（1 1） y1； （2 2 ）详见解析. .98【解析】试题分析：由两圆关系得等量关系|冋|十|丽| =6|耐再根擔椭圆定义确定轨迹形状庚 标准方程，m_,由椭圆定义知）圆心N的轨迹为椭圆，且2 = 6出=1,则a2=92= 8 ,所以动圆圆心N的轨迹方程为(2)(2)设p xo,yo, A yi,S冷,0 ,TXT,0，则B为，-如，由题意知x北二为. .则kAP

16、 =一y yXi Xo9819直线AP方程为y - = kAPx-捲，令y = 0，得xS二一生，同理yi yo条直线与抛物线C交于 代B两点，若抛物线在 代B两点的切线交于点P. .(1)求点P的轨迹方程；(2) 设直线PQ的斜率存在，取为kpQ，取直线AB的斜率为kAB，请验证kPQkAB是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由【答案】(I)y二-2,x R(n)-2-2 为定值.【解析】(I )由妙直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与尤轴垂直，故可设怙代入a?二4y ,整理得：疋一4ky-8 = 0，方程的判别式A = 161? +32 0,故kER时均满足题目要求. 记交点坐

17、标为A牛.B心牛，则引宀为方程的两根，I斗八4J故由韦达罡理可知，4+巧=4此盟详产一8 .2将抛物线方程转化为丫J宀 则翼，故A点处的切线方程为y-学=(孟7】4142整理得尸学麗-XT=Xo-Xiy。_yi-yoXoyiXiyoyiyo于是OS OT = XSXrXoyi-yoXoyiy。2 2 2 2=Xo %-Xiyoyiy。yiyo2 2yi-yo又P Xo, yo和A Xi,yi在椭圆2故y=8 i 2 Xo,yi2=8 i2、Xi，则2 2yi-yo=9Xo22 2 2-Xi,Xoyi22c2”-Xiyo=8xi-2、Xi-8xi22 2=8 XoXi. .所以OS OT2 2

18、2 2xoyi-xiy8 xo-Xi2X1-289- -9.9.5 5.【2oi72oi7 届辽宁省实验中学高三下第六次模拟】已知抛物线的方程为C:X2=4y，过点Q o,2的一24同理可得B点处的切线方程为y二芋冥-手记两条切线的交点卩久占) 联立两条切线的方程解得点P坐标为衍=畧玉=2kJyp=kx1-=kx1-(i+2) = -2J24故点P的轨迹方程fty=-2；xeRn(n)当k=0时，xp=0,yp= -2，此时直线 PQPQ 即为 y y 轴，与直线 ABAB 的夹角为2一2 22当k = 0时，记直线 PQPQ 的斜率kPQ二丄 V - 一2 2，又由于直线 ABAB 的斜率为

19、k,2k 0k2 ,.-kPQkABk -2为疋值k6 6 A(1,、.2)是离心率为的椭圆C:2X(2)CABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？(3)求证：直线AB、直线AD的斜率之和为定值2 2【答案】(1)1；(2).2；(3)证明见解析24【解析】试题分析：(1) * AL72在椭圆上及椭圆的高心率为+列方程组，求出笫&的值，即可得到椭圆c的 方程$(2)直线方程対 y =岳十 b,与椭圆方程联立得 4 宀 2 屁+护4 入根据弦长公式、点到5;直线距离公式可得面积対计胆_硏沪,利用基本不等式求最值即可1 (3)根据两点求斜率公式可得%十 =2血+肌一

20、L再根掳韦达定理可得也十Jt = O.丙眄_(丙+花)+1试题解析：(1) = = -(岂+刍=1,/=沪+宀2a b1a2/. o = 2,= -/2,c= V2?/. + = 1.24(2)直线丨：y二kx(k = 0)与椭圆C交于M , N两点，点P是椭圆上异于M , N的一点. .求证：当直线PM ,PN存在斜率时，两直线的斜率之积为定值，即kPMkPN为定值；当直线丨与点P满足什么条件仁)设直线方程为$ = 届+F =V5x+b + 2,/2bx+- 4 = 0 2X1+护=4,.A Bba+ 64 0 ,贝J 22b2/27jq + jq =-b. +/ 対帀=24於一斗T呵=J1

21、 +(励|码-乃|二盯伞二书血严二尊尼卩,442设&为点到直线:y = d+b的距离：川=罟- 15 ,_=-BDd = -b)2b22，当且24仅当”2E(-2712血时，ABD的面积最大，最大值为血设伙贾沙，叽血% +匕=汇半+红半=乐+ ：血+伍1+：血jq 1 X)-Ijq -1x 1=2“+址一辽殳二2_将 中式代入整理得 码花_(珂十花+1画+222(2 4H-； = b，目卩kjQ + kjs0 -22I7 7. .【20172017 届湖南常德一中高三上学期月考三】已知焦点在X轴上的椭圆C 企 11,其离心率为一，a32过椭圆左焦点Fi与上顶点B的直线为10. .23时，.PM

22、N有最大面积？并求此最大面积2 2x yjr【答案】(1 1)1,y=-3(x1)； (2 2)证明见解析； v _： -k ,kZ时.MNP的面432积有最大值【解析】试题分析： 由已知，得到灯=2疋=1 ,根据於=沖一几艮网求得楠圆的标准方程，求得左焦点屑和上顶点月的坐标，得到直线的方程；(R 设点卩(兀jQ是椭圆上的任意一点，设点M(西皿-药厂北),kPN=hAr即可得到也一臥为左值；不妨设点 斗,+码P(2co&5 sJn0)(2利用禺砂=2禺砂表示三角形的面积，利用三角函数的性质, 即可求解AP泗有最大面积-沪=近试题解析：1)由已知，有 -=-：a 2= A2+ z7a二椭圆的方程

23、为：三苴左焦点哥和上顶点B的坐标分别为序旳b43则直线厶的方程为y = (jc+l).(2)点P(xo，y)是椭圆上的任意一点，依题意不妨设点. 2 2o=3!_3为定值X0- 捲x0 x-1xo-x-14不妨设点P(2cos 3sin R, M (2cos：, . 3sin：)门R,：m R，而根据对称性，有 SWMP=2SMOP= OM OP sin=(4cosco曲+3sin日sin)2(4cofT+3sin2)(4cosa+3sin2。)=2+3sin-。)|，当sin(v八)=1即-_k , k Z时- MNP的面积有最大值2M (xi, yi), N(Xi, yJ，即可得到OMOP

24、OM OP1 _(-OM OP)2= j(OM OP)2_(0M OP)2则kpM二xo Xi(即点P,M的离心率相差 二的奇数倍时).2&【2017届黑龙江虎林一中高三上期中】已知椭圆(2) 如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A,A2,P是椭圆上异于A,A2的任意一点，直线PAi,PA2分 别交x轴于点N, M ,若直线0T与过点M , N的圆C相切，切点为T.证明： 线段0T的长为定值.2X2【答案】(1)y =1； (2)证明见解析.4【解析】试题外析，(1利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；2)W用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、勾股定理即可得出*试题解析心)由离心率为；- = ：- a = 2b 又2a+2b=6a.a+b=32 a a2联立得；& = 2 上=1,故椭圆E的方程为；7十尸=14(2)由(1)知；4(0J).4(00,设尸(光讥)，贝吐直线尸4的方程为：y- = xf令T-0斗j2 2E:笃爲=1a b 0的离心率为a b于，其长轴长与短轴长的和等于6.(1) 求椭圆E的方程；25Xo得：XNo;直线PA2的方程为:yT，令y = 0得：XM二XoXoyo1，设XoXoG G(2.y+1yo-1XoXoXoiyo +1yo T *yo+1 _2+ h214l