苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义

1、公因数和公倍数【知识要点】1、一个数最小的因数是1 ，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。2、 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号 ， 表示。几个数的公倍数也是无限的。3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（，） 。两个数的公因数也是有限的。4、两个素数的积一定是合数。举例：3X5=15, 15是合数。5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：6 ， 8=2

2、4 ， （ 6， 8） =2， 24 是 2 的倍数。6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15 和 5， 15 ， 5=15 ，（ 15， 5） =5素数关系的两个数，最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。举例：3 , 7=21 , （3, 7） =1一个素数和一个合数，最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。5 , 8=40 , （5, 8） =1相邻关系的两个数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。9, 8=72, （9, 8） =1特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1）

3、 ，比如4和9、4和15、10和21,最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。【例题讲解】例 1 、 一张长方形纸，长60 厘米，宽36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是 60和36的最大公约数。（36、60） = 12（60+ 12） X （ 36+12） = 15 个例 2、 用 96 朵红玫瑰花和72 朵白玫瑰

4、花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？要把 96 朵红玫瑰花和72 朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是 96 和 72 的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96 和 72 的最大公约数。1、 最多可以做多少个花束（96、72） =242、每个花束里有几朵红玫瑰花96+24= 4朵3、 每个花束里有几朵白玫瑰花72+24= 3 朵每个花束里最少有几朵花4+3 = 7朵例3、一个植树小组原计划在 96米长的一段土地上每隔 4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽

5、一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？解：这一段地全长 96米，从一端每隔 4米挖一个坑，一共要挖树坑： 96+4+1=25 （个） 后来，改为每 隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在 6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于 4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。96+ 12+1=9 （个）96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有 9个坑不必重新挖。知识点：公因数和最大公因数练习：1、写出下面每组数的最大公因数。3 和 5（）4 和 8（）1 和 13（） 13 和 26（）4 和 9（）17 和 51（） 21 和 36（）22

6、和 55（）2、旧+回=5 （回、归都是非零的自然数），,和5的最大公因数是（）。3、|回和可是相邻的两个非零的自然数，回和川的最大公因数是（）。4、把一张长18cmx宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是 （）厘米，最少可分成（）个。5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（）分米，最少可截成（）段。知识点：公倍数与最小公倍数练习：1、写出下面每组数的最小公倍数。3 和 5（）4 和 8（）1 和 13（） 13 和 26（）4 和 9（）17 和 51（） 21 和 36（）22 和 55（）、2、旧

7、+回=5 （回、区都是非零的自然数），司和4的最小公倍数是（）。3、I回和可是相邻的两个非零的自然数，回和川的最小公倍数是（）。4、一种长方形的地砖长 8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（）块地砖。正方形的面积最少是（）平方厘米。5、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每 8天去一次。7月31日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。6、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每 8天去一次。8月1日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。7、3和7是21的（）因数公因数倍数8、8是24和64的（）因数 最大公因

8、数 倍数 【综合练习】一、填空（共20 分）1、最小的素数是（） ，最小的合数是（2、 18 的因数有（） ， 24 的因数有（3、在120的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（）。4、自然数按因数个数的多少可以分成（） 、 （5、 1082 至少加上（）是3的倍数，至少减去（6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（）。） ，它们的公因数有（） 。） ，既是素数又是偶数的有）和（） 。）才是 5 的倍数。）。）。） ， 最小公倍数是（） 。）。）。时 是 2、3、5 的 倍 数 的 数 有7、两个自然数a、 b 的最大公因数是1 ，它们的最小公倍数是（8、如果A= 2X2X3, B=

9、 2X3X3,那么它们的最大公因数是（9、一个数是3 的倍数，又是5 的倍数，还有因数7。这个数最小是（10、一个数既是30 的因数、又是45 的因数，最大的是（11、 用 0、1 、2 三 个 数 字 排 成 的 所 有 三 位 数 中三、选择题（共5 分）1、任何两个奇数的和是（A 奇数B2、两个素数的积一定是（A 素数B3、任何两个自然数的（A 公倍数12、 如果两个数的最大公因数是1， 它们最小公倍数是91， 那么这两个数的和最大是（） 。5 分）1、两个连续自然数（0 除外）它们的最大公因数是1 。（）2、在24 的因数中，是素数的只有2 和3。（）3、 5 和7 没有公因数，但5

10、和 7 有公倍数。（）4、所有的偶数都是合数。（）5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）。合数C 偶数）。合数C奇数）的个数是无限的。B 公因数C 倍数4、A是B倍数，那么它们的最小公倍数是（）。A ABB AC B5、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数一定不是（A 15和 90B 45 和 9045 和 30四、写出每组数的最大公因数（共12 分）五、写出每组数的最小公倍数（共32 和 178 和 1174和 159和 1512和 1872和 4823 和 6012 和 6012 分）5和 713和 3990 和 306和 13六、列式计算（共8 分）1、一个自然数被3

11、、 5 除都余 1，这个数最小是多少？2、五个连续奇数的和是425，最小的一个是多少？七、解决问题（共38 分，第 8 题 3 分，其余每题5 分）1、一枝钢笔的价钱是18.6 元，比一枝圆珠笔贵10.9 元，一枝圆珠笔多少元?（列方程解答）2、小明的妈妈比小明大26 岁，爸爸今年38 岁，比妈妈大4 岁，小明今年多大了？（列方程解答）3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4 天去一次，乙每5 天去一次，如果7 月 1 日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？4、有两根小棒分别长20 分米， 28 分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？5、一个

12、长方形的面积是24 厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？6、在一张长40 厘米，宽32 厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？7、五（1）班学生人数不超过50 人，在分小组做游戏时，可以分为每组6 人或者每组8 人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？8、 园林工人在一段公路的一边每隔4 米栽一棵树，一共栽了17 棵。 现在要改成每隔6 米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？【解决问题】1、甲、乙两人到图书馆去借书, 甲每 4 天去一次, 乙每 5 天去一次, 如果 7 月 1 日他们两人在图书馆相遇 , 那

13、么他们下一次同时到图书馆是几月几日？2、 一块长方形纸片, 长 18厘米, 宽 12厘米 , 把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余最少可以剪多少个？3、同学们做了24 朵红花和56 朵黄花 , 把这些花分成相同的若干束, 最多可以分成几束？每束里红花和黄花各有几朵？4、五（1）班学生做早操，每行12 人或 16 人都正好站成整行，这个班不到50 人，这个班究竟有多少人？5、一块砖长42 厘米，宽26 厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？6、 有一筐苹果，无论是平均分给8 个人， 还是平均分给18 人， 结果都剩下3 个， 这筐苹果至少有多少个？【拓展练习】1、学校操场

14、长96 米，从一端起到另一端每隔4 米插有一面小红旗。现在要改成每隔6 米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？2、某校同学们做操, 把学生分为10 人一组 ,14 人一组 ,18 人一组 , 都恰好分完, 这个学校至少有多少个学生？,从第三个数开始，每个数是都前面两个数的和，前100个3、有一列数 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55数中偶数有多少个？4、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车 每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？55根电线杆，现在改成每隔5、从小明家到

15、学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？6、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点,染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？【挑战奥数】【例题讲解】在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，(18, 12) =2X3=6, 18 , 12=2X 3X3X2=36。如果把 18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么(18, 12) X18, 12= (2X3) X (2X3X3X2)=(2X3X3) X (2X3X2) =18

16、X 12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，(a, b) x a , b=a x b。例1、两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是 18,求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是(6X72) + 18=24。例2、两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是 77,求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,

17、最小公倍数是 30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是1X30=30,和是11。30=1X30=2X 15=3X 10=5X 6,由上式知，两个因数的和是11的只有5X6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7X5=35 和 7X6=42。例3、已知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是 120,求a, b, c。分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12 , 15=60的倍数。 再由a , b, c=120知，a只能是60或120。a , c=15 ,说明c没

18、有质因数 2,又因为a , b, c=120=2 3x 3X 5, 所以 c=15。因为a是c的倍数，所以求 a, b的问题可以简化为：“a 是60或120, (a, b) =12, a , b=120 , 求 a， b。”当 a=60 时，b= (a, b) x a , b+a =12 X120+ 60=24;当 a=120 时，b= (a, b) x a , b+a =12 X120+ 120=12。所以 a, b, c 为 60, 24, 15 或 120, 12, 15。【练习】1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18。求另一个自然数。2、两个自然数的

19、最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77。求这两个自然数。3、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？4、已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。5、已知A与B的最大公约数为 6,最小公倍数为 84,且AX B= 42,求B。6、两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数。7、甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。【课后练习】一、填空1、 （ 7,9 ）在平面图上表示是第（）列第（）行的位置。2、 30 以内 3 的倍数有（） ， 4 的倍数有（） ，

20、 3 和 4 的公倍数有（） ，最小公倍数是（） 。3、 在12、 15、 36、 64、 450、 950 六个数中，是3 的倍数有（） ，是 5 的倍数的有（） ，是 2的倍数的有（） ；是 2 和 5 的公倍数的有（） ，是 2 和 3 的公倍数的有（） ，是 3 和 5 的公倍数的有（） ；同时是2、 3 和 5 的公倍数的数是（） 。4、 18 的因数有（） ， 60 的因数有（） ， 18 和 60 的公因数有（） ，最大公因数是（） 。5、一个合数的因数至少有（）个，例如：（） 。6、如果A=2X 3X7, B=2X5X7,那么A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。7、 用

21、 0、 3、 5、 7四个数组成一个同时是2 和 5的倍数的四位数，最大是 （） ， 最小是 （） 。8、要使601 口既是2的倍数，又是3的倍数，那么口里可以填（）。9、身份证上数字编码的头两位数字表示的是（） 。二、判断1、如果a+ b=4 （a、b为整数）那么a和b的最大公因数是 4。（）2、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）3、任何一个自然数的因数至少有2 个。（）4、 1 和任何自然数（0 除外）都没有公因数。（）5、两个素数的最小公倍数是它们的乘积。（）三、选择1、 1 、 2、 4、 8 是 8 的（）A因数B、公因数C、素数2、 12 是（）的最大公因数。A 、 1 和 12 B 、 12和 24C 、 3和 43、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公因数是1，那么这两位数可能是（）A 、 49B 、 59C 、 694、 a 是一个素数，则a 的倍数有（）个A 、 1