动态数学教学和数学课程改革

1、動態數學教學和數學課程改革* 本文曾發表於第四屆中國教育國際論壇(2003/11, 無錫)，此處對原文略有修改。韋輝樑澳門 培道中學 副校長2003年9月3 日摘要在數學教學中將數學研究的對象或問題置於一個動態實驗環境下，從”動”的觀點，用”動”的方法對概念、問題進行探索式和發現式教學，我們稱之為動態數學教學。進行動態數學教學可能會引起對原有課程的徹底改革，包括課程規劃、教學模式、教材編寫、教學方法、教師培訓、實驗課程與原教程的配合等一系列與課程改革有關的問題。作為動態數學實驗課，與物理實驗課一樣，要強調學生自己動手操作，在實驗過程中自己獲取知識，這樣又將牽涉到動態數學實驗平台的研發。如果用魚

2、和魚竿來比喻知識和方法的話，則動態數學教學應該就是魚竿了。作者開發了PG_Lab和DM_Lab作為動態數學教學的學生實驗平台，對動態函數教學進行了兩年實踐和研究研究。目前為止，我們在PG_Lab和DM_Lab上實現的動態數學教學的主要內容有：² 動態幾何教學² 動態軌跡教學² 動態函數教學² 代數問題動態化本文就上述四項內容分別舉例以說明動態數學教學的理念和方法。最後介紹了澳門培道中學進行動態數學教學和數學課程改革的情況。關鍵詞 Key Word動態數學Dynamic Mathematics數學實驗環境Mathematic Experiment Envi

3、ronments數學實驗教學Mathematic Experiment Teaching動態數學和數學課程改革韋輝樑澳門培道中學 副校長2003年9月3 日前言在數學教學中將數學研究的對象或問題置於一個動態實驗環境下，從”動”的觀點，用”動”的方法對概念、問題進行探索式和發現式教學，我們稱之為動態數學教學。進行動態數學教學可能會引起對原有課程的徹底改革，包括課程規劃、教學模式、教材編寫、教學方法、教師培訓、實驗課程與原教程的配合等一系列與課程改革有關的問題。作為動態數學實驗課，與物理實驗課一樣，要強調學生自己動手操作，在實驗過程中自己獲取知識，這樣又將牽涉到動態數學實驗平台的研發。如果用魚和魚

4、竿來比喻知識和方法的話，則動態數學教學應該就是魚竿了。作者開發了PG_Lab和DM_Lab作為動態數學教學的學生實驗平台，對動態函數教學進行了兩年實踐和研究研究。目前為止，我們在PG_Lab和DM_Lab上實現的動態數學教學的主要內容有：² 動態幾何教學² 動態軌跡教學² 動態函數教學² 代數問題動態化本文就上述四項內容分別舉例以說明動態數學教學的理念和方法。最後介紹了澳門培道中學進行動態數學教學和數學課程改革的情況。一. 動態數學教學的例1. 動態幾何和動態幾何教學的例幾何學研究的對象是：圖形及其之間的關係。幾何教科書上常用性質一詞，例如等腰三角形的性

5、質，平行四邊形的性質等等。圖形的性質是中學幾何學習的主要內容。何謂圖形的性質?圖形的性質是指同類圖形所具有的共同特徵，是從眾多同類圖形中由觀察、測量、分析、思考，最後經歸納抽象而得到的。這是定義和性質的來龍去脈。忽略了這一點，就有從定義出發，從理論到理論之嫌。圖形的性質是由考察眾多同類圖形後經歸納而發現的，因此學習和研究圖形性質的方法是:(1) 作出同一類別的眾多圖形；(2) 考察這些圖形的共同特徵；(3) 發現圖形的某項性質，以數學語言表達；(4) 由於作圖的有限性和不精確性，對此發現尋求邏輯證明。(5) 應用於解決問題。作圖 觀察(測量、思考、分析) 發現(猜想) 證明 應用，是學習和研究

6、圖形性質的基本方法和道路。真正能作出眾多的同類圖形，無論在時間或空間上都有很大的困難，在40分鐘的課堂時空限制下幾乎不可能實現。一個可替代的辦法是利用動態圖形，動態圖形是這樣的圖形：(1) 它可以隨時被操控，可以很方便地改變其形狀、大小、方位等等，這樣的動態圖形可以代表了眾多；(2) 在圖形動態變化過程中圖形的幾何性質不變，這樣的動態圖形可以代表了同類。將幾何圖形置於一個動態環境中進行動態考察,我們稱之為動態幾何。動態幾何教學是一種全新的教學模式，它是在一特定的幾何實驗環境下進行的教學。在幾何實驗的環境中，圖形的性質就表現為動態變化過程中的不變性。通過在動態過程中進行觀察、測量和思考，集中注意

7、力於發現圖形的不變性，從而探究和發現圖形的性質。由此補足了傳統教學所缺少了的學習和研究圖形性質的前三段學習步驟，解決了學生從何而來的疑問。動態幾何教學在動態中發現不變性的過程中培養學生觀察和分析的能力，觀察的主要方法是目測、估算和測量，在目測、估算和測量的基礎上進行歸納。目測和估算正是人腦思維最常用的方式，又是學生數學素質最底層的內容。動態幾何教學讓學生在教師的指導下，在課堂的時空條件下，重現前人研究幾何圖形的歷程，使學生真正學習到研究幾何的方法和技巧，使教學真正實現從學習知識轉軌到學習方法。例一. 已知: 在ABC中，BC=a，AC=b，a>b； 求: 當B達最大值時，A的大小。解：

8、作出如下的圖形，可見ABC不是唯一的，令A或B沿圓周滑動，可以產生多個符合條件的ABC，在動態過程中，學生容易發現，當且僅當A=90°時，B達到最大值。後記 一般學生會感到無從下手，存在從何而來的疑問。這是一道幾何極值問題，本題若從理論上求解，所需知識已經超越了初中平幾的範圍。動態幾何教學可以把艱深的問題變得簡單和容易理解，因而可以使學生學習得更多和更廣。因為它沿著幾何研究的科學道路，還原了幾何問題的來龍去脈。例二.已知: 如圖，AE=DE，AEDE，ABBC，DCBC，原命題: 求證: AB+DC=BC。新命題: 探究: AB、DC與BC的大小關係。(傳統教學採原命題，幾何實驗教學

9、採新命題)實驗步驟:(1) 用工具作正方形ABCD；(2) 連結對角線AC；(3) 隱藏DA、CD，取消D點名稱，隱藏D點，改點B為E，改點C為D；(4) 過E作直線EK，(5) 用工具，過A作ABEK，過D作DCEK；(6) 用工具，將ABE和ECD填色。觀察與分析(1) 稍為移動A點，目測觀察ABE和ECD，猜想到ABE _ ECD(2) AE=ED，AEDE (已知)(3) BEA _CDE (同角CED的餘角)(4) RtABE_RtECD ( _ )(5) AB_EC，DC_BE(6) BC = AB+DC² 原命題到此已完成，教學也到此為止。但用動態幾何的方法進行探究式學

10、習，還可以繼續進行:實驗設計(1) 移動A點可分別得如下圖形。分析與發現(1) 當兩個小在BE同側時，BC等於AB、DC之_(和)_；(2) 當兩個小在BE異側時，BC等於AB、DC之_(差)_；後記1. 按已知條件，原題只給出一種靜態圖形，結論只有一個: AB、CD之和等於BC；2. 用動態幾何的方法進行探究式學習可發現按已知條件，原題可以有多種圖形，它們可分為兩類，一類圖形的結論是: AB、CD之和等於BC；而另一類圖形的結論是: AB、CD之差等於BC。3. 將題目由原命題改為新命題，是一種開放式命題，實為探究式和發現式學習。新命題沒有結論性語句，結論由學生進行探究後發現。有利於培養學生

11、學會研究問題的方法，提高解決問題的能力，真正提高學生的數學素質。但是如果沒有動態幾何實驗平台的支持，這種命題方式只有增加教學的難度，學生更感無從著手，教學效果因拔苗助長而走向反面，或使學習進一步走向兩極分化。4. 學生由探究中發現了新結果，比原命題的學習更為活潑生動、印象深刻、有趣樂學，而且比原命題學得更多和更好。有利於提高學生的學習能力和創新能力。5. 將圖形動態化、將問題開放化、由學生自己動手,通過觀察、分析、思考和發現，用填充的形式自己獲取知識，是動態幾何教學的特點。2. 動態軌跡和動態軌跡的例何謂軌跡? 動點留痕就是軌跡。在數學中研究的軌跡是指符合一定條件的動點的留痕。軌跡問題研究的對

12、象是能按一定條件運動的點，顯然，軌跡問題只能在動態的環境下才能表達清楚它的過程和結論，難怪在黑板教學的環境下軌跡問題難教又難學。例三. 九條軌跡問題在中學教材裡介紹了幾條軌跡如下表:九條軌跡相等之和為一常量之差為一常量的 點 的 軌 跡 是：到兩點的距離兩點連線的中垂線橢圓雙曲線到一點一直線的距離拋物線？到兩相交直線的距離夾角平分線？按表列應該有九條軌跡，但書本只教了5條，查閱其它參考書也沒查著。我問數學老師，他們也沒想過。於是我請老師們研究一下，然後讓學生自己去探索，把上表空白給填上。經過幾天，在老師與同學的共同努力下，在DM_Lab動態數學實驗環境下找出了這四條軌跡，填補了上表的空白。 後

13、記 1. 這種在原有知識基礎上，在書本知識之外，師生共同探索，引起學生很大的興趣，通過互動學習和協同學習，學生不但鞏固了原有知識，還能運用已學知識進行連書本上也沒有的知識的探索，最後獲得了新的知識。2. 培道中學初三級學生，在教師的引導下，設計並發現了許多動點軌跡的圖形，這些圖形不單學生從未見過，教師也絕大多數沒有見過，學生對軌跡知識的學習早已大大超出了書本的要求，更重要的是學會了研究軌跡的方法，發現到新的知識。3. 動態函數和動態函數教學例四：研究函數y=ax2+bx+c的圖象在DM_LAb上作出函數y=ax2+bx+c的圖象。實驗一. 以a為參數，讓a從-3到3變化，觀察圖象的變化，發現：

14、1. 當a<0時，圖象開口_；當a=0時圖象是_；當a>0時圖象開口_；2. |a|越大，開口_，|a|越小，開口_；3. 當a=0時，開口_(變成無窮大)_，圖象變成 (直線)_。實驗二. 運用DM_Lab的參數監察，1. 監察 d=b2-4ac的值，發現：當d>0時，圖象與x軸有_個交點；當d=0時，圖象與x軸有_個交點；當d<0時，圖象與x軸有_個交點；2. 監察頂點座標：，並作出軌跡，發現：當a變化時，圖象頂點的軌跡是一條_線。實驗三. 以b為參數，讓b從-8到8變化，觀察圖象的變化，發現：1. 圖象開口方向 (不變) ，張口大小 (不變) ，圖象 (沿一曲線軌

15、跡平移) ；2. 監察頂點座標：，並作出軌跡，發現：當b變化時，圖象頂點的軌跡是一條_線。² 有興趣的同學可以進一步求出該曲線的方程。實驗四. 以c為參數，讓c從-3到3變化，觀察圖象的變化，發現：1. 圖象開口方向_，張口大小_，圖象 (沿一豎直線平移) ；2. 監察頂點座標：，並作出軌跡，發現：當c變化時，圖象頂點的軌跡是一條_線。後記 1. 在傳統教學中，y=ax2+bx+c的圖象是一條不動的拋物線，學生難以想像系數對圖象的影響，就是連:當a>0時,開口向上；當a<0時,開口向下，也只能靠死記硬背。其它的變化，課堂上不能作更多的介紹， 更遑論學生自己探索和發現了。2

16、. 學生通過親自操作進行探索和發現，自己獲取知識，對二次函數的性質，二次函數圖象的特徵以及系數對圖象的影響，有了非常深刻的認識。4. 代數問題動態化的例代數學習的最大特徵在符號的定義和運算，演譯推理是常用的方法。這類問題能否實驗?如何實驗?還有待進一步研究和探討。近年代數教學提出了一個新的問題：數學建模問題。所謂數學建模是指，對於一個應用問題，如何建立一個數學模型或建立一個怎麼樣的數學模型去描述和解決該問題。數學建模沒有唯一的方法，也沒有明顯的規律或公式，學生往往感到無從著手。在中學數學的範圍內，有一部分應用題，將某些未知條件或隱藏條件以參數表示，借助動態數學實驗環境，幫助學生尋找解決問題的方

17、法，這不失為一種數學建模的方法。我暫時稱這種方法為代數問題動態化。代數問題動態化不單是為一個具體應用問題建立求解的數學模型，而且是為一類應用數學問題，提供了探索數學建模方法新的天地。例五. 已知: ABC的底邊BC=8， 高AD=6，求: ABC內接矩形EFGH的最大面積；實驗步驟：1. 測量E點的x座標；2. 測量內接矩形EFGH的面積；3. 選取描點座標: E的x座標為x，EFGH的面積為y；4. 在B、D之間移動E點，作出函數圖象；5. 發現圖象是一條 (經過B和D的拋物線) ；方 法 一(幾何)方 法 二(代數)6. 當E為BD中點時面積s最大；6. 由圖可知: 拋物線的方程是: y

18、= kx(x-6)7. 這時F為AB中點，EF是ABD的中位線: ；7. 由測量值表可知: 12=k3(3-6)=> 8. 而FG是ABC的中位線: ；8. 面積 9. 最大面積9. 當x=3時，面積y最大:後記1. 本題為二次方程極值應用題，學生開始時，一般都感到無從入手。2. 在動態環境下，顯見E的位置與面積之間存在函數關係，DM_Lab可以在末知函數關係為何之前先作出其圖象。由圖象的形態，學生很容易猜想到該圖象是一條拋物線。再根據拋物線的性質順理成章地很快得到方程。數學實驗函數圖象代數方程圖象性質問題解決一種數學建模過程3. 通常我們總是先有方程，再有圖象。而這裡是先有圖象再有方程

19、。如果將獲取方程的過程看作是數學建模的話，那麼，DM_Lab可以幫助我們通過數學實驗首先得到函數圖象，再由圖象獲取方程，這不失為一種數學建模的有效途徑(一種數學建模過程如下圖所示)。4. 由函數圖象知FG是ABC的中位線，由此對中位線的性質有了新的發現: 中位線與底邊所夾內接矩形是三角形的所有內接矩形中面積最大。中位線的這一性質是前所未學的。此外，學生還不難發現: 三角形內接矩形的最大面積等於三角形面積的一半。動態數學實驗學習的優點還在於學生在實驗中可能會發現新大陸，學生不單學到預期的知識，而且學習到研究問題的方法，在探究活動中學得更多和更好。例六. 如圖，在五邊形ABCDE中，B、C、D是直

20、角，AB=4，BC=4，CD=7，DE=2。G為EA上一點，四邊形GFCH是矩形。求: 矩形GFCH的最大面積。² 這一問題與例五相似，但比例五難度更大，一般學生更無從著手。用動態數學教學，則與例五幾乎完全照套。這裡不再累贅了。例七. 填充: ² 這是對數教學中一道經典題目，傳統教學是讓學生進行計算，然後填上不等號(>或<)。² 動態數學教學從動的觀點和動的方法來看，兩邊對數式的不同在於其底數不同，將底數設成一個參數，讓這個參數動起來，觀察其值的變化規律，使學生不單掌握本題的答案，更重要的是掌握了對數函數的重要性質，解決了類似的一類問題。實驗步驟:1.

21、 作函數：的圖象；2. 設a Î(0.0001, 0.9999)為參數，(a=0，a=1沒有定義)，自變量xÎ(0.0001,14)；3. 作豎直線L：x=5，如圖；4. 用手動令曲線呈現如圖，作曲線與L相交於P；觀察和分析1. 當a增加時，P點 上升/下降 ；即y值 變大/變小 ； 2. 當a減少時，P點 上升/下降 ；即y值 變大/變小 ；因而知：。3. 平移L：x=k；發現： (當k>1時) (當k<1時)，從而知：思考： 和 後記 讓函數動起來，在一節課裡同時解決了幾個問題，大大提高了課堂的效率和效果。二. 由動態數學教學思考數學課程改革在數學教學中將數

22、學研究的對象置於一個動態實驗環境下，從”動”的觀點，用”動”的方法對概念、問題進行探索式、發現式學習，我們稱之為動態數學。進行動態數學教學可能會引起對原有課程的徹底改革，包括:課程規劃、教學模式、教材編寫、教學方法、教師培訓等。例如：1. 傳統幾何教材是按照定義、定理 證明 舉例應用的學習模式來編寫的，引入動態幾何實驗後的幾何教材，應按實驗 猜想 證明 定理 應用的學習模式來編寫；2. 以動的觀點、動的方法滲透於整個數學教材之中，教材的編寫將會有很大的不同：課題、概念、定理、規則等的導入，盡量通過實驗讓學生自然獲取；實驗可作為數學建模的重要方法之一；推理、證明的關鍵步驟，可以通過實驗獲得啟示。

23、3. 一些較難、較抽象的內容和習題近年從教材中刪除了，但是在動態環境下，這些較難較抽象的內容卻變得容易理解或可以接受，是否應以另外的形式重現於教材之中?4. 在教科書本上如果少用結論性語句，需要下結論的地方留以空白，以填充的形式，通過實驗，在學生自己獲取知識之後填充上去，允許學生以自己的語言表達(要符合數學語言的有關約定)，這樣的教材是否更好？無字天書常常比和盤托出更誘人思考；讓學生動起手來、動起腦來，這也是動態的另外一層意義。5. 配合書本教材，設計相關實驗報告，編寫與之配合的數學實驗手冊；6. 數學實驗教學法大有研究的天地，像物理實驗教學法一樣，是否可以作為獨立課程或章節列入職前數學教師(

24、師範生)培訓課程之中?三. 數學實驗教學在澳門培道中學PG_Lab是作者於1995年在澳門大學教育學院任教時，為講授電腦在中學數學教學中的應用課程而設計的，現已由澳門基金會在澳門出版。2000年作者轉任澳門培道中學副校長後，組織培道中學數學教師進行了學習，並著手編寫了第一套平面幾何 學生實驗手冊(該書榮獲澳門教學設計優異獎)，於01年度在初二年級試用，一年下來，師生反映教學效果良好。澳門培道中學初二級平面幾何課程採用內地人教版教材，每周3節。我們從教材中選編了28個實驗，每周1節實驗在電腦室上課，2節在原教室上課，原教室也有電腦+投影的設備，可以作演示實驗用。與物理實驗課一樣，每次幾何實驗課，學生都要預習、完成實驗報告和作業。培道中學自編的平面幾何 學生實驗手冊