南平一中2019年实验班自主招生数学考试试卷和答案

1、南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案南平一中实验班自主招生考试数学学科试卷一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分。每小题只有一个正确答案）1.设 1x2 ，则 x 2x2的值是( )A.4B.2xC.2x 4D. 2x 42.某班有54 人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48 分，最高分为96 分，那么该班考试中（）A.至少有两人得分相同B. 至多有两人得分相同C. 得分相同的情况不会出现D. 以上结论都不对3. 若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A.rB.rrD.rc 2rrC.2r 2c2

2、c rc4. 如图，已知矩形 ABCD ， AB 5， BC 4， E 是 BC 边上的一个动点， AE EF ， EF 交 CD 于点 F 设 BE=x，FC =y，则点 E 从点 B 运动到点C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（第4题图）ABCD5.反比例函数 yk(k0) 的图象与直线x1，x 3，y 1 y2围成的矩形有公共点，则实，x数 k 的取值范围是( )A. 2 k 3B 1 k 6C 1 k 6D 2 k 46. 已知实数 a,b, c满足 ab c 0 且 abc111，那么的值一定是 ( )bcA. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数第1页（共10页

3、）南平一中 2019年实验班自主招生数学考试试卷和答案7.如图，点 A, C 都在函数 y3 ( x0) 的图象上，点 B, D 都在 x 轴x上，且使得OAB,BCD 都是等边三角形， 则点 C的坐标是 ()A.21,63B.21,21C.31,63D.21,32第 7题图8.已知 a2016x 2015， b2016x2016 ，c 2016x2017，则多项式 a2b2c2abbcca 的值为（）A. 0B. 1C.2D.39.如图，点 A、 B 分别在反比例函数 ya0, x0），（ axb（ b0 ， x 0）的图象上，点A 沿着曲线自左向右运yx动且满足 OA OB，则 OAB 的

4、变化情况是（）第9题图A. 逐渐变大B. 逐渐变小C.不变D.先变大再变小10.如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中， AB 20 ， AD 7.5 ，AA1 12，点 E 在上底面A1B1C1D1 内，且 E 到边 A1D1 和 A1B1距离分别为 4 和 3 ，一质点从顶点A 射向点 E，遇长方体的面反射 (反射服从光的反射原理) ，记 L 1 AE，经过三次反射，依次连接反射点之间的线段，分别记为L2， L3， L4，将线段 L1，L 2， L 3，L 4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()第 9题图ABCD二、填空题（本大题4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1

5、1.已知 0ab , ab1, 那么 ba2b2 ( 填“ >”“<”“”“” )第2页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案12.若抛物线 yx 2px4 p1 无论 p 取何值都过某一定点，则该定点坐标为13.如图，在直角ABC中，ACB 90 ,CA 6 ，点 P是半圆弧 AC 的中点，连接BP ，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是.14.在四边形 ABCD 中， A60, BD 90 ,AD 4,设AB的长为 a ，那么 a 的取值范围是.三、简答题（本大题5 小题，共 54 分）15.（本题满分6 分）计算：

6、(2 )02cos 452212216.（本题满分8 分）掷一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子, 记掷ax4 y3出的点数为 a ，求满足方程组2 y的解 x, y 均为正数的概率。x217.（本题满分 12 分）在正方形 ABCD 中，点 E, F 在边 AD 上，且 AEDF ，过点 A作BE 的垂线，分别交ABE、 BD、CD于点 M 、N 、H， NF 和BE的延长线交于点G ，（ 1）求证： DNF DNH ;（ 2）判断 EFG 的形状，并给出证明。B18.（本题满分13 分）如图，在扇形AOB 中，AOB90 , C 为弧 AB 的中点。将扇形 C

7、OB 绕点 O 顺时针旋转（ 090 ），得到扇形 C1OB1 ，射线 OC1 、 OB1 交射线 BA 于点M 、N（ 1）当 M 在线段 BA 上时，说明 AM 2 , MN 2, NB 2 的数量关系，并给出证明；（ 2）当 M 在线段 BA 外时，（ 1）的结论是否还成立？.A第13题图第14题图GEFDMNHC第17题图第 18题图第3页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案（不需要证明 ）19.（本题满分15 分）已知直线 l1 : y2 ， O(0,0)，对于抛物线 y1 x21 上任意一点 Q ，都有结论： QO 的长度等4于点 Q 到直线 l1 的距

8、离。 如图 1，抛物线上一点 A（第一象限 ），以 O 为圆心， OA 为半径的圆交l1 于B, C 两点，且 A,O , B 三点在同一直线m 上，（1）求直线 m 的函数表达式；（2）若点 D (0, 2) ，直线 m 与抛物线不同于点A 的另一交点记为E，求证：ADOEDO ；（3）如图 2，若直线 l2 : ykxa ( a1) 和抛物线相交于M ，N 两点时，问y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有MPONPO 成立？若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由。19题图 119题图 2第4页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案19 题备用图第5页

9、（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案参考答案一、选择题1.B2.A3.B 4.D5.C6.B 7.A8.D9.C10.Ax102a0a232a0二、填空题32a0y2a11.412.( 4, 17)13. 914.2a 8三解答题15.解：原式 =12(2 )2(2 1) 22分22122222 4分23 6分2ax4 y3132a16. 解：由得 xyx2 y22 a ,42a 3分正数解 ，第6页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案得故满足方程组只有正数解的a 取 1， 6分而掷出点数的所有取值为：1,2,3,4,5,61只有正数解的

10、概率是 8分6。法二：此题也可用列举法对a 的所有取值1， 2， 3， 4， 5，6 逐一代入方程组中，解出x,y 的值，验证是否满足题意，酌情给分。17. （ 1）证明：ABEDAH , AB AD，GRt ABE Rt ADHDHAE , 3分又AEDFDHDF ,AEFDADBCDB45 ,DNFDNH 6分MNH(2)由 (1) 知 DNFDNHNHDNFD又NFDGFENHDGFEBC 9分第 17题图又3AEBAHD ,AEBGEF ,AHDGEFa2GEFGFE ,GEF 为等腰三角形 。 12分18. （1）解 ：当点 M 与点 A 不重合时 ，OANMON45 ， MNOON

11、AMON OAN 2 分MONOBM45 ， OMBNMO ，MON MBOOAN MBO第 18题图4分OAANMB AN AO BOMB, 6分BO第7页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案AOABAMMNNB22 7分(MNNB) (AMMN )(AM MNNB )22MNAMNB AMMN 2NB MN =( AM MNNB )22展开化简得： AM2NB2MN2 10分当点 M 与点 A重合时 ，N 在 AB的中点， AM0， MNNBAM 2NB 2MN 2也成立 。11分证法二 .将OAM 沿直线 OM 翻折交扇形于D点,连DNMDOOAB45 且MD

12、MA , 3 分OAN 与ONB中， ODOB ,DONNOB , ON ONODNONB 6分则ODNOBA45且NDNB,MDN90 8 分222即222MDNDMN：AMNBMN 10分当点 M 与点 A重合时 ，N 在 AB的中点， AM0， MNNBAM 2NB 2MN 2也成立 。11分（ 2）也成立。13 分19. （1）解 ：AB 为圆的直径 ，AO=BO,ACB90第8页（共10页）南平一中2019 年实验班自主招生数学考试试卷和答案AC=AO，在 Rt1ABABC 30又由题中给的结论知：ABC 中， AC2,2分点B ( 23, 2) ，3分直线 m的函数表达式为y3 x

13、4分3（ 2）证明：过点 A,E分别作 x轴的垂线，设垂足为A1,E1, 延长 E1E交 l1 于点 E2易得， RtAOA RtEOE1OAOE 6分1,OA1OE1,点 A, E均在抛物线上，由题中给的结论知：CA=OA ,又 OA1=DC, OE 1=DE 2,CAE2 EDCDE2,ADCEDE2 8分ADOEDO 9分（ 3）存在点 P （0， a 2），使得当 k 变动时，总有MPONPO 成立，理由如下：设P（ 0， b）为符合题意的点，过点M，N 分别作直线 y=b 的垂线，垂足为M1，N1，由MPONPO 得MPM 1NPN1,E2 EOERtMPM1NPN1，MM 1NN 1 RtPM 1PN1 11分M (x1 , y1 ) , N (x2 , y2 ) , 从而有 y1by2 b 12分x1x2，点 M， N 在直线 l 2 : ykxa ( a1) 上，y1kx1 a ， y2kx2akx1a b kx2a b2kb