正项级数敛散性的判别方法

1、正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家GregoryJ(16381675)给出了级数收敛和发散两

2、个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。2正项级数敛散性判别法2.1 判别敛散性的简单方法Q0由级数收敛的基本判别定理柯西收敛准则：级数&

3、#163;un收敛nT之寸名力，NN，nN,P伊Un4+Un+十/加|<8。取特殊的p=1,可qQ得推论：若级数Zun收敛，则limUn=0。n_nd,2.2 比较判别法定理一(比较判别法的极限形式)：oOoo设ZUn和Zv为两个正项级数，且有limUn=l,于是nnnn3n£VnQOQO(1)若0<l<依，则£口口与2vn同时收敛或同时发散。n1ndoOoo(2)若l=0,则当工vn收敛时，可得工un收敛。n1n1（3）若l=，则当£vn发散时，可得£un发散。n4n1正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、

4、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。2.2.1 当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，将借助无穷小量（无穷大量）阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。oOoO由于limUn#0时，级数uun必发散。从而，只需考虑limUn=0时，正项级数工un的敛n二nmn二nJ散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为O0od（1）当0<1<2,即Un与V

5、n是同阶无穷小量（nTM）时，£Un与ZVn同敛散。n-1n-1QOQO（2）当1=0且工vn收敛，即un是较vn的高阶无穷小量（nT8）时，必有工un收敛。n=1nWQOco（3）若1=z且£vn发散，即un是较vn的低阶无穷小量（n->8）时，可得£un发n=1n=1散。这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此QO可以通过无穷小量（或者无穷大量）阶的比较，简化2Un的通项un或对un进行适当放缩，进n1QO而利用已知级数的敛散性来判别zUn的敛散。n1Inn*n例1、判别级数£粤和£1一的敛散性。n

6、mnnm2-n分析：在实际题目中，常见的无穷大量有1nn,na（aa0）,an（aa1）等。其发散的速度：在n-*8时，1nn«na（a>0）«an（a>1）oInnna1nn从而彳产"2Lf1结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象七的a的取值应保证2-a>1,即0<a<1。n1,一(2)中的比较对象一的a的取值应保证a11,即a>2。a1ncdzn4lnn,也收nlnn1-2解：(1)可取a=，有lim一一2n_/1又.一收敛，则由比较判别法可知3n45_n2n-Zn(2)可取a=3,有lim21nn12n六也n2敛。二1

7、=0。又£4收敛，则由比较判别法可知n4n收敛。使用正项级数比较判别法时需要熟记二1P-级数工以及等比级数工aqn(apn-1nnz4敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法.¥0,q#0)的便能较快捷地选定常用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。1同样,我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记二1P-级数£p的敛散性。2n=1n2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象例2：判别级数£2nsin的敛散性。nm3n分析：考虑当x>0时，sinx

8、<x,则s<2p3n3rn22n=3n3n3)nn一二2，而'nd3是公比q=2<1的收敛级数，故原级数收敛。32.3根值判别法以及两个推广定理一(根值判别法的极限形式)6有正项级数7Unn=1若limJun=l,则n：二QO(1)当l<1时,工un收敛。n1QO(2)当l>1时,Zun发散。n12.3.1 一般的情况例1:判别级数'、.nd2n1的敛散性。解：由于limn'u7=limnlin)n=：-nn=：-.2n1n42n1n收敛。n1,*1,=limn=4<1,根据柯西判别法的推论，可得级n：二2n122.3.2根值判别法推

9、广，若将判别极限在一定条件下将比原判别方法更为精细,limnun更改为limnumn或limnumn.i,则相应结果且应用范围也有所推广。引理一：如果un>un+0(n=1,2,)，则级数工4收敛当且仅当级数ZmnUmn收敛。3引理二:设Zun与Zvn为两个正项级数，且存在正整数时，不等式nz4n1numn平Mvmn+(i=0,1,2,，m-m1)成立，则若级数Zvn收敛必有级数Zun收敛;若级数zun发散必有级数vnvn发散。oO定理二：设£un为正项级数，m为大于1的自然数。若级数通项满足n=1.1-1un+"n(n=1,2,3，)limnumn=P,则当P<

10、;一时级数收敛；当P一级数发散；而mm_1当P=一时，级数的敛散性不能判定。4mQO.定理三：设£un为正项级数，m为大于1的自然数。如果limrnLmn=P其中n1n.i=0,1,2,mn1-mn、11一1.,1则当P<一时级数收敛；当P一级数发散；而当P=一时,级数的敛散性不能判定。4定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数3二3-二n、en及丁n1n13n，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广00定理三(比值判别法的极限形式)：有正项级数zun(u>

11、0),且limRnnn-,nWunoO1)当l<1时，级数zun收敛。n1oo2)当i>1时，级数unun发散。n42.4.1 一般的情况例1:判别级数的敛散性。解:由于lim"n二Un，、八，:-ni，,，贝尔判别法的推论知，级数Un收敛。n4n2.4.2 比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。定理一：设y=f(x)是取值为正且可导的函数。1)如果存在负数a,使得当x足够大时有-f-ca,则正项级数Zf(n)收敛;fXnR2)如果存在正数b,使得当X足够大时有f->b,则正项级数Zf(n)

12、发散;fXn=0oO3)如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数Zf(n)可能收敛，也可能发散。5n=D定理一的应用不再详细举例，比如对级数£一二、£一工和工一一的敛散性则可用上nm2ndinnn1inn述的定理。52.5比式与根式审敛法的推广正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。定理一：设wn=unvn,un0,vn之0(n=1,2,)。若lim§un=u,limn-=v。则n"n"Vn

13、001)当uv<1时，级数ZWn收敛；n1002)当uv>1时，级数Wwn发散；6n1oO例1:判定级数、n1tan2nJ2n1ni的敛散性。解：设unn2n1,vn=n1tan12nL。则limnunn一n1=lim=一n<2n12lim-vn-n-：Vn1=limn举二冗n1tan2n.i丸ntan2n=limn举二ji12n11二2n一2n1一一<1,所以原级数400“n1tann=4收敛。6上述判别法的出现，极大地拓宽了级数敛散性的判别范围,2.6积分判别法简化了级数的问题。定理一（积分判别法）：设f为1,收上非负减函数,那么正项级数zf（n）与反常积分同时收敛

14、或同时发散。：1.例1：证明调和级数、发散。n注n一，一，-1,二1.二1-解：将原级数工1换成积分形式（4dx,由于fdx=lnx产=0="，即nmn1x1x二11f1dx发散，根据积分判别法可知，调和级数2.7拉贝判别法以及其推广定理一（拉贝判别法的极限形式）8:设£un为正项级数，且极限n1limn1nSCUn1=r存在,Un1）当r>1时，级数£un收敛;n1QO2）当r<1时，级数工un发散。n11.1.1 活用拉贝判别法一13<2n-1例1、判断级数Z的敛散性。n324<2n）解：由于n1un1un十1n(4n+3)L12n港厅

15、(2n+2)<1（nTg所以原级数是发散的。2.7.2拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛,是根据n1un1Un及其极限与1的大小关系来鉴别敛散性。但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如Z2n!许多作者对这些已知判别法作了研究与推广。:一u1定理2:设Zun为正项级数，满足=1-n4unn1-fngn;-nln1n+1hlimnlnn1fn=r,则有n_.1)若r>1,g(n)<0,od则£un收敛;n42)若r<1,g(n)之0,oO则£un发散。7n1文献4中判别正项级数oO£un敛散性的一个主要定理如下:n1定理3:n为正项级数且

16、满足un±un1）当：->1时，则级数oOZun收敛;n12）当：M1时，则级数Zun发散。8n1显然，定理2是上述的定理的改进。事实上,由定理r二12知fn='',则nlnn1un_L=1unn1nlnn1+g(n)+0|(nln(n+1/nlnn1n1_r-nlnn1gn+onlnn1(nln(n+1)nlnn1这里令w(n)=-+rnIn(n+1)g(n)。故1）若r>1,g（n）w0,则必有w（n户1；1r-12）若r<1gn，则只要再假设g（n期足g（n）之+，就有w（n）E1。n1nInn1二2n-1!1例1:判定级数Z:的敛散性。n2n

17、!2n1解：由于22un/_（2（n+卜）2n+（2n）1（n+）1_!n+n+!un2n，112nn-1nn3n!n2_（2n+Xn+卜n-1_26n+523-2n22n3-2n22n3'由定理2的变形形式可知，limnf（n）=limn-=-,故此级数收敛。n二n:2n22n32易见此方法较4中例1的方法简便。2.8 对数判别法2.8.1 简单的对数判别法U文献9给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式，就是比较limun与1n二Inn8的大小来鉴别级数zun的敛散性。n12.8.2 非正常积分与正项级数的对数判别法由于级数与反常积分在本质上是相同的，都是“求和”运算，只

18、不过是对两种不同的变量求和，因此，文献9将反常积分的对数审敛法推广到级数中去，从而得到正项级数敛散性的对数审敛法。第一对数审敛法是计算lim心%与0的大小，第二对数审敛法是计算nJn1 1一limln-ln一与0的大小来鉴别敛放性。Un1Un2.8.3 正项级数比值对数判别法而文献11则是巧用麦克劳林级数展开式ln（1+a）=（-1fJ+o（an）给出了一种比值对数判别法。对数判别法和非正常积分与正项级数的对数判别法分别给出了两种不同形式对数判别法的，根据级数的形式选择合适的判别法，与非正常积分与正项级数的对数判别法比较对数判别法主要适用于判别哥指形级数的敛散性。2.9 其他判别法2.9.1

19、阿贝尔判别法设级数Zanbn,若an为单调有界数列，且级数Zbn收敛，则级数Zanbn收敛。2.9.2 狄利克雷判别法设级数Zanbn，若&为单调递减，且lim烝=0又级数的部分和数列有界，则级数n二aanbn收敛。3正项级数敛散性判别方法比较3.1 当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件即判别敛散性的简单方法进行判断。3.2当级数表达式型如1一,Unun为任意函数、级数一般项如含有sine,cose等三角函数的因子可以进行适当的放缩,算出或lim匕-1=1,limnj:.unj:.un并与几何级数

20、、P级数、调和级数进行比较limu±,lim河不易n二unn二,fUn=1,等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其他途径判别其敛散性的正项级数。且具体的当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，将借助无穷小量（无穷大量）阶的概念来分析比较判别法的使用，如2.2中的例1；当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象如2.2中的例2。3.3当级数含有n次哥，形如an或通项Un或级数含有多个聚点时，可选用根值判别法。且值判别法更为精细，且应用范围也有所推广。1,一一一，一二即分母含有

21、含lnx的函数，分子为1,nlnn2.3中给出的定理二、三给出的判别法较根这两种判别法都是比式与根式审敛2.5中的例1,用3.4 当级数含有阶n次哥，型如a!或an或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。3.5 凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说，根式判别法较之比式判别法更有效，但是他们有一定的局限性。一般情况下,分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的判别法：法的推广。极大地拓宽了级数敛散性的判别范围，简化了级数的问题。如比式与根式审敛法的推广比较简单的判断出它的敛散性。113.6 当级数表达式型如一,un为含有lnn的表达式或一

22、可以找到原函数，或级数un为unun1上非负单调递减函数，Un含有sinx,cosx等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。3.7 当级数同时含有阶层与n次哥，形如an与a!时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。虽然拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛，但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如2.7中例1。因此，给出了拉贝判别法的推广，它比拉贝判别法的判别范围广泛，对于2.7中例1它可以很容易的就判别出其收敛性。3.8 对于通项中含有n!en因子及讨通项中含有(n-1)!n"的正项级数敛散性时，拉贝判别法不易施行。就这类，f

23、#况，我们应用2.8给出的比值对数判别法，该方法避开了求极限等繁琐过程，应用更为方便。3.9 当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sinx,cosx等三角函数等，或形如£sin(un),un任意函数，则可以选用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成狄利克雷判别法的特殊形式。例：设zbn收敛，则级数Z3n1一Zbnln3等都12n收敛。4正项级数敛散性判别方法的总结判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若不为0则发散，若为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法、比式与根式审敛法的推广或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、对数判别法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，