新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)

1、新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)第一章二次根式1. 二次根式的定义：表示 算术平方根 的代数式叫做二次根式，形如qa(a>0).2. (2013和2014)二次根式有意义的条件：被开方数A0；分式有意义的条件：分母w0.例： 产;有意义的条件是 2-x>0,即x< 2;有意义的条件是1 xw 0,即xw 1;1 1 -x也三有意义的条件是2x>0且1xw0,即xw 2且xw 1.1 -x3. (2013)求含字母的二次根式的值.例：当x= 4时，求二次根式 38-2x的彳1.错误解法：(1) . 2x = 8-2X4 = 0; (2)寸2x =苗8 2X(

2、4) = ± 4.正确解法： 1 2x = 8 2 X ( 4) = 4.注意：代入负数时一定要注意符号！4. (2013和2014)二次根式的性质:(1)(洞2=a(a>0);(2) .a2=| a |a( a>0)a( aw 0)(3)牺=5>< Vb(a>0,3.若无法判定注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值 绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：4(姆-2)2 =h/2-2| =2-2 (因为 成一2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.)5. (2014)最简二次根式必须满足两个条件：(1)根号

3、内不含分母；(2)根号内不含开得尽方的因数或因式例：下列式子中，属于最简二次根式的是()A.市C. V20D. 7001解析：B和D的根号内是分数，不是最简二次根式,110'V20 = 4X 5 =275.故选 A.C的被开方数20含有开得尽方的因数 4,也不是最简二次根式,6. (2013和2014)二次根式的运算 (考试必考，解答题 21题)例：(1)*x乖 (2)(73-1)2+2(73-1)(3)V32-V8(4)(V5+V3)2-(V5-V3)2注意：完全平方公式和平方差公式.(a± b) 2= a2± 2ab+b2; (a+b)( ab) =a2b2.1

4、1（52）7 .分母有理化：例： 曰=（百2） 丫 （市+2）=用2.技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算8 .利用题目中的隐含条件一一二次根式被开方数0解题.例1:已知y =在二！ +产方+ 3,则x=.分析：根据二次根式被开方数0得,2x- 1R。且12x2 即x0且xw,所以x=T2;例2：化简q（32x）2 （后三）2原式=| 3-2x| -（2x-5）,要去掉|3 2x|的绝对值，必须知道 3-2x的符号，由于隐含条件2x-5> 0,即 x>5,所以 3-2x< 0,所以原式=2x-3-2x+5= 2.9 .若3场的整数部分是 ，

5、小数部分是 .分析：先把3淄的3从根号外移到根号内，即 3/川9>< 2 = 和,因为/6<于8寸25,即4<巾8<5, 所以 桐是一个4点多的数，故3M2的整数部分是4;小数部分=342整数部分=372-4.第二章一元二次方程1. （2013） 一元二次方程满足的三个条件：（1）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2次.注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件.2 .一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c= 0 （aw 0）

6、. ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.3 . （2013和2014）解一元二次方程 （考试必考，解答题 22题）（1）因式分解法；最好能掌握用十字相乘法因式分解，以提高解题速度（2）直接开平方法；（3） （2013和2014）配方法；当二次项系数为 1时才可以进行配方，配上的 常数是一次项系数一 半的平方.例：用配方法解方程 x26x+1=0,则方程可配方为 .，一4-b± Vb2-4ac<4;公式去：x='.2a例：(1) 2(x 7)2=14(2)x(x 2) +x 2= 0(3) x2= 4x(4) x2- 2x-2= 0适

7、合用直接开适合用因式分适合用因式分适合用配方法和公平方法解法解法式法4. 根的判别式：= b2-4ac当b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；当b24acv0,方程没有实数根.例：若关于x的一元二次方程(k 1)x22x+1 = 0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是分析：因为两个不相等的实数根，所以=b2-4ac>0,即(一2)24(k 1)X1>0,解得k<2;又因为一元二次方程的二次项系数w 0,即kw 1;所以k<2且kw 1.注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为0这个条件！例：证明：不

8、论a取何实数，关于x的方程x2+mx+ m 2=0都有两个不相等的实数根.分析：要证明一个一元二次方程有两个不相等的实数根，即证明b2-4ac>0.解：b2 4ac= m2 4X1X (m 2) = m2 4m+8 = m2 4m+ 4 + 4= ( m 2)2 + 4因为(m2)2>0,所以(m2)2 + 4>0,即 b2-4ac> 0.注意：证明一个代数式大于0,要利用配方，根据平方的非负性证明.同时注意书写格式！ > 0只能在最后出现，证明过程中千万不要出现.5 .一个二次三项式 ax2+bx+c是完全平方式的条件：b24ac=0.特别的，若二次项系数为1时

9、，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若 4x2+8( n+1) x+16n 是关于 x 的完全平方式，则满足 b24ac=0,即8(n+1) 24X 4X 16n= 0.6 .一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：xI + x2=x1x2 = 5.aa例：若x= 2为一元二次方程 x2-2x- m= 0的一个根，则 m=,另一个根为 .分析：把x=2代入方程即可解得 m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把 m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理xI+x2= 也可知两根之和等于 2,所以另一个根为 4.a7 .利用韦达定理求值时，几种常见的变形(

10、把代数式变形成由x1 + x2和x1 x2组成)：(1) x12+x22= x2+2x1x2+x222x1?x2= (x1 +x2) 22x1 x2 (利用完全平方公式变形)(2) x12x2 + x1 x22= x1x2( x1 + x2)(利用提公因式法因式分解)(3) (x1 x2) 2=x2+ &2 2x1？x2= (x1+x2) 24x1 x2 (利用完全平方公式变形)x1 x2 x12+x22( x1 + x2) 2 2x1x2(4) 豆 + = xx2 = xx(利用通分和元全平方公式变形)注意：一定要理解记忆，不能死记！8. 若一个一元二次方程的两个根为x1、x2,则该

11、一元二次方程可以写成 (x- x1 )( x- x2) =0,若再规定二次项系数为a,则该一元二次方程可以写成a( x- x1)( x-x2) = 0.9. 若2b(bw0)是关于x的方程x22ax+3b=0的根，则a-b的值为.分析：把 2b 代入方程得(2b)22a 2b+3b=0,即 4b24ab+3b= 0,提取公因式 b 得，b(4b-4a+3) =0,因为 bw0,所以 4b- 4a+3= 0,解得 a- b=-3.10. 一元二次方程的应用，掌握三类问题 .新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)(1) (2013和2014)变化率问题.一般方程的形式为 a(1 + x)2=

12、b, a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量. 解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以 a,再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得：5000( 1 + x) 2=7200,即(1 + x)2=1.44,开方彳导:1 + x=1.2 或 1+x= 1.2,解得：x= 0.2 = 20%,或 x= -2.2 (舍去).(2)市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题. 一般设增加或降价 x,然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，最

13、后根据“变化后每件商品的利润X变化后的销量=总利润”列出方程.例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出 60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价 x元，则降价后每件商品的利润为 (360 x 280)元，降价后每月的销量为(5x+ 60)件；由题意，得(360 x 280)( 5x+ 60) = 7200,解得：x1=8, x2= 60二.更有利于减少库存， x= 6

14、0.注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或 “更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根AB=20, BC=20.(3) (2014)根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题.例：如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB, BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x,则BC的长度为(1004x)米.根据题意得(1004x)x= 400,解得 x1 = 20, x2=5.则 100 4x= 20 或 1004x=

15、 80.80>25, ，x2=5 舍去.即11. (1)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安1排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为：x(x1)=28.(2)某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片.如果该班有 x名同学，根据题意可列出方程为x(x- 1) = 1560.注意：理解什么情况下要除以2,什么情况下不用除以2.第三章数据分析初步1. (2014)平均数：表示平均水平，但易受极端值影响.2. (2014)众数：一组数据中出现次数最多的那个

16、数.表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利用所有的数据信息.3. (2014)中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息.1 C, C, C C4. (2014)方差的计算公式： S2=n【(X1 x)2+(X2 x )2+(X3 x)2+ (Xn x )2其中n表示数据个数，即样本容量；又表示这组数据的平均数.方差表示一组数据的波动大小(离散程度)，方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定.5. 标准

17、差等于方差的算术平方根，即S.6.5个连续整数的方差是 2.例如：2, 0, 1, 1, 2这5个连续整数的 方差等于2;标准差等于血.7.若一组数据x1,x2,，xn的平均数为x ,方差为S2,则数据ax+b,ax2+b,，axn+b的平均数为a又+ b,方差为a2S2.当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差 不变；当一组数据的每一个数都变成原数的a倍时，平均数变成原平均数a倍，方差变成原方差的a2倍.第四章平行四边形1. (2013 和 2014) n 边形的内角和为(n 2) X 180° (n>3).例：若一个多边形的内角和

18、是 12600,则这个多边形的边数为 .解方程(n 2)X180° =1260°即可.2. 任何多边形的外角和为 360 °.3. n边形的对角线总数= "nj3) .4. (2013和2014)平行四边形的性质：从边、角、对角线、对称性考虑.边：平行四边形对边平行且相等；角：平行四边形对角相等；对角线：平行四边形对角线互相平分；一般的平行四边形是中心对称图形.5. (2013和2014)平行四边形的判定：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角

19、线互相平分的四边形时平行四边形.6. (2013和2014)中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180 °后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.性质：对称中心平分连结两 个对称点的线段.7. 在直角坐标系中，点(x , y)关于原点成中心对称的点是 (一x，一y).8. (2014)三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.9. 中点四边形：连结四边形四条边上的中点构成的四边形，该四边形是平行四边形.若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的中点四边形是矩形；若一个四边形的对角线相等，则这个四边形的中点四边形是菱形.

20、10. (2013和2014)反证法：应假设 结论不成立！5新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)例1:用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于例。”时，应假设 没有一个内角大于或等于60°,也就是每一个内角都小于 60°.例2:用反证法证明“在三角形的内角中，最多有一个角是直角或钝角”时，应假设有两个或三个内角是直用或钝用.11. （2014）在直角坐标系中，已知三个点的坐标，求第四个点的坐标使之与已知的三个点构成平行四 边形，则第四个点的坐标有3个.B, C, D为顶点的例：在平面直角坐标系中，已知 A（ 1 ,3）, B（2 ,3）, C（1 ,

21、3）, D（a,b）,若以A, 四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为.分析：先画出图形，发现顶点 D有3种情况.然后利用平移的方法分别求出.（1）求D1： B（2 ,3）平移到A（ 1 ,3）是横坐标减去3,纵坐标不变，则C（ 1 , - 3）平移到D 1（ a , b）也是横坐标减去3,纵坐标不变，即 D1（2 , 3）.（2）求D2： A（1 ,3）平移到B（2 ,3）是横坐标加上3,纵坐标不变，则C（ 1， 3）平移到D2（ a , b）也是横坐标加上3,纵坐标不变，即 D2（ 4， 3）.（3）求D3： C（1 ,3）平移到B（2 , 3）是横坐标加上1,纵坐标加上6,则A（ 1 ,

22、3）平移到D3（ a , b）也是横坐标加上1,纵坐标加上6,即D2（0,9）.由于平行四边形对角线互相平分，所以也可以利用中点公式求第四个顶点坐标（最后补充中有介绍）第五章特殊平行四边形1. 矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相；（3）具有平行四边形的所有性质2. 矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.3. 菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线 平分一组对角；（3）具有平行四边形的所有性质 .4. 菱形的判定：（1）定义：一

23、组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形 .注意：要证明一个四边形是矩形或菱形时，一般先证明该四边形是平行四边形，再根据边或对角线的关系 证明其是矩形或菱形.5. 正方形的性质： 矩形的性质+菱形的性质.6. 正方形的判定： 先判定是矩形或菱形，再根据角、边或对角线的关系证明其是正方形第六章反比例函数 k11. 反比例函数的三种形式：(1) y = ； (2) k=xy; (3) y=kx . (kw0)例1：反比例函数y=-2X的比例系数为3分析：错解：答案为 3或3;正解：|.技巧：只需把x去掉，剩下部分就是比例系数 .(201

24、4)例2:已知y是关于x的反比例函数，当x= 时，y= 4,则这个反比例函数的表达式为4 k分析：利用k= xy很容易求出比例系数 k的值，结果写成丫 =上形式. x例3:若函数y= ( n -1) xn2 2是反比例函数，n =.AT , 一>_ 1 -.一>*，、.分析：由 y= kx 可得 n2 2= - 1, n=±1；但由于 n1W0, nwi,所以 n= 1.2. 反比例函数的图象和性质： 图象形状：双曲线.k>0,图象在第一、三象限，在每一个象限内， 图象从左到右下降，y随x的增大而减小；k<0,图象在第二、四象限，在每一个象限内，图象从左到右

25、上升，y随x的增大而增大.注意：反比例函数的增减性是指在某一个象限内.我们不能说当k>0时，y随x的增大而减小.4,(2014)例1:已知(x1，y1), (x2,y2), (x3 , y3)是反比例函数y= "x的图象上的二个点，且 xk x2< 0,x3>0,则y1，y2, y3的大小关系是()A. y2Vy1y3B. y3Vy1y2C. yK y2< y3D. y3y2y1分析：利用图象求解.先在x轴上找到满足条件的 x1，x2, x3,再在y轴上找到相应的y1, y2, y3,观察上 下位置即可得到结论.例2：已知反比例函数 7七，当x>-1,

26、y的取值范围是 分析：必须得画图象求解！ 先画出直线x=-1, x>1表示在直线x= 1的右侧，找到函数图象在直线x= 1右侧的部分，再找到这部分图象在y轴上的投影(一定要细心)，最后写出取值范围例3：如图，一次函数 y=kx+b的图象和反比例函数 丫2=丁的图象 x交于A(1, 2), B(-2, 1)两点，若y1y2,则x的取值范围是()A . x< 1B . xv 2C. 2vxv0 或 x> 1D. x< 2或 0vxv 1分析：过A、B两点画y轴的平行线，这两条直线和 y轴把坐标平面分成 4个 部分；yvy2表示y1的函数图象在y2的函数图象的下方，即直线在曲

27、线的下 方，由图象可知是和两部分，所以x的取值范围是xv 2或0vxv 1.3. 反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点作x轴和y轴的垂线，则两垂线与 x轴、y轴所围成的矩形面积等于|k|.例1：如图，点P在反比仞函数y=K的图象上，矩形PMON的面积等于3,则卜= x分析：错解：k= 3,没有考虑图象所在的象限.正解：根据k的几何意义得，|k|=3,k= ±3,由于反比例函数图象在第二、四象限，k< 0,所以k= - 3.例2：如图，直线x= t(t>0)与反比例函数y = , y=-1的图象分别交于 B、C两点， x xA为y轴上的任意一点，则 ABC的

28、面积为()A. 3B. 31 C. 2 D.不能确定分析：连结 OB、OC,由于 ABC和OBC是同底等高的两个三角形，故面积相等, 利用反比例函数 k的几何意义就很容易求出 OBC的面积.9ki ,4. 反比例函数 yi = q-与一次函数y2=k2x+b综合题x（1）求两个函数的交点坐标.把这两个函数的解析式等起来,即?=k2X+b,即可求出交点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数或一次函数求出纵坐标（2）求两交点与原点构成的三角形的面积 以用割或补的方法求解.例如，如图，方法 方法2:在 AOB周围补成一个长方形.（3）求反比例函数的值小于一次函数的值时取值范围”、“求不等式 M<

29、k2x+ b的解”、X.像这种，无法直接用面积公式计算的，可1: x轴或y轴把 AOB分成两个三角形;x的取值范围.该问题还可以这样表述：k1求不等式一 一bk2x的解”.x“求当y1vy2时，x的（4）反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称.例如，若一个交点坐标为（2, 1）,则另一个交点坐标为（一2, 1）.5. 反比例函数与几何图形综合题例1：如图，点A是反比例函数y=2（x>0）的图象上任意一点， x、'3 父反比例函数 y=-的图象于点 B,以AB为边作DABCD, x在x轴上，则SdABCD为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5分析：当BC、AD与x轴垂直

30、时，也满足题意，此时 DABCD的面积就很容易利用（2014）例2:如图，四边形0ABe和ADEF均为正方形，反比例函数y = 1的图象 分别经过AB的中点M及DE的中点N,则正方形 ADEF的边长为 .分析：由于点 M在反比例函数图象上，故设M(a,结合图象可知,k的几何意义求出0A = a, AM=p由于M为AB中点，0A=AB，所以0A= 2AM,即=2*?,解得a=± 4, a>0,a=4,即正方形OABC的边长为4.接下来有两种方法方法1：根据几何图形中的数量关系设参数t,用t表示点N的坐标，然后代入反比例函数求解设正方形ADEF的边长为t,则AD = t, OD =

31、 4+t,由于N为ED中点，所以DN = g,所以点N的坐标为（4+ t, 1t） ； .点N在反比仞函数y=。的图象上，（4+t）X-2t=8,解得t=2±2才5,- t>0, t=- 2+2>/5,即正方形 ADEF 的边长为 2y52.方法2:根据反比例函数设参数 t,用t表示点N的坐标，然后根据几何图形中的数量关系求解.由于点N在反比例函数图象上，故设N（t, 3,结合图象可知，OD = t, DN=" OA=4,AD=OD-OA = t-4, N 为 ED 中点，ED = 2DN=y, / AD = ED, .t4=16,解得 t=2±2/5

32、,t>0,t=2+2筋，AD=t4=2乖一2,即正方形 ADEF 的边长为 2& 2.注意：大部分反比例函数和几何图形的综合题都需要设参数列方程求解.一般的方法就是上面所说的这两种.新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)13= AP2,即 42+x2=(8x)2,解得 x= 3, DP = DO2+PO2=62+8 .如图，S1+S3=S2+SlSXS3=S2XS427 tis=/9 .反比例函数图象既关于原点成中心对称，又关于直线y = x成轴对称图象越靠近坐标轴，| k|越小；越远离坐标轴，| k|越大.例：如图，kK0<k2< k332=35.0X分析：四

33、边形 ABCD是平行四边形，AC和BD互相平分，即 AC的中点和BD的中点是同一个点, .XA-I-XC XB-I- XD根据中点公式得， 一黄=一"，即XA+ XC=XB + XD,也就是一2+6 = 3+xd, XD=1；同样地，yA +yC = yB+yD ,即 YA+yc=yB+yD,也就是 4+3=1+yD, yD= 6.故 D 点的坐标是(1,6).6.两点间距离公式：若 A(X1 , yi) , B(X2,y2),则 AB = (xi-X2)2+ (yi- y2)27.翻折问题通常解题思路：找翻折前后相等的线段，设未知数，找直角三角形，用勾股定理列方程计算 (2013)例：如图，菱形纸片 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O, AC=16,入