北师大版小学六年级数学下册全册奥数知识点讲解试题附答案(全套共14套)【2020年】

1、小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课列方程解应用题试题附答案习题一L某工厂三个车间共有180人，第二年间人数是第一车间人数的3倍还多1 人，第三车间人数是第一车间人数的一半少L人.三个车间各有多少人？2-甲、乙两个容器共有溶液2600克.从甲容器中取出）,从乙容 器中取出，两个容器共剩溶液2。00克，求两个容器原来各有溶液多少克？3- 25支钻笔分给甲、乙,丙三人.乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的 比乙的一半多3支.问,甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？工甲.乙共有图书63册，乙.丙共有图书苻册.三人中图书最多的人的 书数是图书最少的人的书数的2倍.问甲.乙，丙三人各有图书多少册？5.体育用品

2、商店购进5。个足球，如个篮球，共30。0元.零售时足球加价 9%,篮球加价11%,全部卖出后获利润2兆元.问二每个足球、篮球进价各多 少元76.王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿杼和萝卜籽共100包.油菜籽3分钱一 包,西红柿籽4分钱一包，萝卜籽1分钱7包，问王虎买进油菜籽、西红柿籽和 萝卜籽各多少包？习题一解答1,解=设第一车间有戈人，则第二车间有©3宜十/ 人 第三车间有 白人x+ 3 煞+ 1 +1w -1 = 130.2汽三403M+1=3X40 十 1 = 121,管，第一车间有40人，第二车间有12L人，第三车间有19人.2.解：设甲容器原有溶液x克，乙容器原有溶液(2600

3、-x)克.xX (1-1) +(2600-x) X (1-1) =2000x = 16002600-x = 2600-1600 = 1000.答，甲容器原有溶液1600克，乙容器原有溶液1300克.3.提示：设甲有x支，乙分到的比甲的一半多3支，则乙有 (9+ 3)支.丙分到的比乙的一半多3支，则丙有心(1 + 3) + 3支. 乙乙 乙解：设甲有铅笔N支，则乙有铅笔(1+?)支，内有铅笔击袅+ 3)+3支.x + !北+ 3+5（次+ 3） +3 = 2522 23 151x + = 254 2x= 101 1-x + 3 = -X0 + 3 = 82 21 C1x+3）+3=7. 乙 乙答

4、：甲、乙、内各分得铅第1U支、8支、7支.4 .提示：这道题要先推理后列方程.关键是分析出甲、乙、丙三人中谁 最多、谁最少.依题意；甲+乙二63,乙+丙二77,两式相减得丙-甲二题目中 还给出图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍，也即它们的 和是图书最少的人的3倍，又3T77,所以不可能是乙和丙两人,由丙大于于 甲，知丙不是最少,若丙最多，甲最少,设丙有图书k册，则由条件有；x = 28.求出乙为49本，这样显然丙不是最多，也不是最少.因此，乙最大，甲最睇设用有图书其册，则乙有图书2x册k+2K= 63x=212x=4277-42=35.答：甲有图书21册，乙有图书42册，丙有图书35

5、册.5 .解：设每个足球进价x元，每个篮球进价y元.倒乂 十 40y = 3000（1）9% 50 + 11% y 40 = 298 （2）由得 5x+4y=300 （3）由（2）得 45x+44y=2980 （4）用C4）-X9得8y=280/. y=35.把y=35代入（3）得5x+4X 35=300x=32.答：每个足球进价32元，每个篮球进价35元.6 .解：设买回油菜籽x包，西红柿籽饱，则萝卜籽为C100-x）包.3x + 4y+yX (100/-y)依题意，逆值一定是整数，那么竦?也一定是整数，所以y必须是20的倍 数.当尸20时，x=3? 100-x-y=77.当y>40时

6、，父是负数，不合题意.所以只能有一组解.鲁 王虎买油菜将3包，西红才褥加包，萝卜籽仃包.小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课关于取整计算试题附答案例1判断正误：若2日3 (i)=1.则&二8解：不正确.假设 U) = 0, 则；xl =K.原式为；2 +3(X)=1, 5 J =lr例2求11993中可被2或3或5整除的整数的个数.ei + r 3x 1.Bx2、3x10例3 求+ J + +的值.例4求满足方程3十 =19的工的值.例5问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数?例6设和1001 12一心其中M n均是自然数,则门最大取多少?答案例1判断正误：若2K+3 3 =1.则

7、=0.解：不正确.假设« = 0,则，同=x.原式为：2 （x） +3 （x） =1, 5 k =1,=矛盾.例2求11993中可被2或3或5整除的整数的人数.分析我们知道，自然数中不超过n的口的倍数的个数是（-）.所以1 n1993中能被2、3、5整除的数分别有（挈）=996 （个），（注）乙31993= 664 （个），詈）=398 （个）.但若把这三个数相加，作为答案就 多了，因为有些数被重复计算了,例如6及其倍数，既是2的倍数，又是3的倍 数，被计算了两次.同理，重复计算两次的数还有10及它的倍数和15及它的倍数，一共有萼十辱十等=66父个）要从和中减去.进一步 6 1U1

8、j还要考虑30及它的倍数，它们既是2、3与5的公倍数，也是6、10与15的公倍 数.开始计算了三次，后来又减去了三次，所以要补上.解：合题意的数有:1993, 1993. 1993, 1993, 1993, 1993, t 1993,亍乜/川k - 丁H 丁HF】乜丁 = 2058-663 + 66 = 1461 （个）,mic +3义1r3x2、,3X10,必上例3求不】+（F- +的值.分析加法运算中常用高斯求和法简算.求H的基本方法是根据定义" W+&.要善于观察特殊值.解，答+ （'干）是整数，斗，十弋产=地是整数，3x1 3x103x1 3xl0n 3x1

9、3xl（i而亓+FT=丁川+（中+ 寸'书+空是整数，又因0< (等> <1, 0< 答 <1,3x10TT <2,在0至2之间的整数只有1.(当113x1 F同理誓()1111r 3x10.+ .11+节 =1I =3-1 = 2.)=2, 3'5、,3x6、中 + E =2.3x21, 3x10+1寸 +(TT=2例4求满足方程(x) + 2x)=19的x的值.分析 解这道题的关键是由"(x) +&求2x的整数部分和小数部分.解：因为K二氏+ &,则2K=2氏+2仅.(2k) = 2W+2W1=2x+ 2

10、71;.g0<x<l, .*.0<2x<2.现在时仅分段来讨论：当o< W< J时,0<2 £ <1,这时(2x)=2【X, 10原方程化为：3 (x) =19, x=,此时无解.当时，l<2(x)<2,这时(2x) =2 (x) +1,原方程化为：3Ex+1=19,/. 3x = 18,x=6.故满足原方程的K为大于或等于6J且小于7的数，即若 乙乙说明：此题运用了适当分类讨论的数学思想.例5问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数?I2 221993?，1993 分析首先要考虑由己知条件我们能推出什么？222可推知这一列

11、数的笫一项谅)=0,第二项()=0, 19932一共有1993个数，最后一项(彳酝)=1993.可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同.I2 221993，可推知这一列数是逐渐增大的，即砺K.<该】©考虑利用公式(a+b) 2二I + 2ab + b:分析项的变化.©考虑利用公式1 + b）三£+2ab + b吩析项的变化.（k + M k2 2k+ 1因与子=1+ 言，根据性质4,Otr 4- 1若芸1则这列数的相邻两项有关系，k2 < k2 | 2k +111993<1993 + 1993，若黑41,则这列数的相邻两项有关系，lr2l

12、r2 9lr-I- 1（短）+1（短十温'即相邻两项或相等或是相邻自然数。关键在确定k.解：数列的第k项是焉y, k=h 2、1993.21r + 1由 得2k+ 61993,也就是k>996.这说明当k996时，装1QQ721QQ72由分析知从（备）至最后一项既）互不相同，共有1993-997 + 1二997 （个）.而当k4996时，前996项的相邻两项相等或差1.因知第一项=0,又第996项（）=497,所以共有4%+ 1 =498个不同的 数.综上所述，这一列数共有997十498二1495个不同的数.例6设E100I =12-M,其中胀：n均是自然数.则n最大取多少？解：

13、V 12=22X3,而人中因数2有竽+ 察+翳）=97个，A中因数3有与+ （翳）+ （舞）+ （竽）=48个.A二248K2T 34& k=2（12）48，k=124S* M,其中122M./. n>大取48.习题二1.在110000这一万个自然数中，有多少个数能移被5或7整除?2.已知：3=（199 x 1W +19" 2、,-'-+97199x96.卡 c 门F）求；3.求满足方程必+ 2s 口g的工的值.4. k是自然数，且1001 * 1002 ， - * 1985 * 198611R年级奥数下册：第二讲是整数，k的最大值是多少1关于取整计算习题解答习

14、题二解答L解:在这一万个自然数申，能被5或7整除的数有10000丁+【1000C1 , 710000, 1 内人 万一= 3143 个.2 .鹏/笋+箸是整数.199 乂 1 19” 95+-，9797=1四（整数）. 199x197159 X：199 y 9697、,199x1)+ 十-一-一773797199 Ml97199 x 96 + 199*9697""是整数.又199197( 199x1. j 199乂 961/. 0< + < 29797可得与/ +笥户岑;+笠驾= 198同理(199x2199x959797= 198,= 198.199 乂 4%

15、( 199 乂 49)97 十一97/. 3=198X48=9504.3 .解：二 X (x) +&, 2x=2x+2 (x,/.(2x) =2 xl + (2x)J若0<x<5，则。<2x<L原方程化为3 (x) =18, (x) =6,64x <.若:<幺)<1,贝Ul(2 汉)<2原方程化为3 (x) +1-18,显然此时无解.，适合方程的x为乙4 .解:由已知条件推知,k的最大值=1001 T002 1985 1986中因子11的个数，也就是11的幕次数.11001 1002 1985 - 1986=19861十1000!而198

16、6!中因子11的毒次数为，+ (等)+(旱)=180 + 16+1 = 197,1000!中因子11的昂次数为,100011十罂= 90+8= 98.k的最大值为197-98=99.小学六年级下册数学奥数知识点讲解第3课最短路线问题试题附答案例1如下图，侦察员骑与从口也出发，古匕地取情报.在去B地之前需要先 饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时 间，请你在图中标出来.例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上网点，爬到邻近的另一面墙壁口上的B点 捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢*例3长方体研卬一5 口中，AB=4, 2 £3 , AD=1,有一只

17、小虫 从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图 ）例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品成金线，如下左图，如果 将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使 金线的用量最少1J'例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A0的中点，试求以A为起 点，以B为终点且绕圆锥恻面一周的最短路线.例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点 去寻找食物，己知A点沿母线到桶口C点的距离是12里米，B点沿母线到桶口 D 点的距离是8厘米，而C D两点之间的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行 的是最短路线，应该怎么走？

18、路程总长是多少？例8在河中有M B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则 要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试 间应选择怎样的路线才能使路程最短？答案例1如下图,侦察员骑马从神出发.去B地取情报.在去B地之前需要先 饮一次马，如果途中没有重要障碍物,那么侦察员选择怎样的路线最节省时 间.请你在图中标出来.解:要选择最节省时间的路线就是要选择最短踣线.作点儿关于河岸的对祢点M、即作AA,垂直于河岸，与河岸交于点C, 且使AC二C,连接A，B交河岸于一，点P,这时P点就是饮马的最好位置，连楼 PM此时PA+PB就是侦察员应选择的最短躇线.证明：设河岸上还

19、有异于F点的另一点PJ 连接P'A, P'B, PA，.VP y A+P 7 B = P z+P 7 B>Ay B=PK，+FB=PA+PB，而这里不等式 P 'A，+F，B>A，B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+FE是最 短路线.此伊愉J用对称性把折线APB乃成了易求的另一条最短路线即直线段rB, 所以这种方法也叫做化直法.其他还有旋转怯.翻折怯等.看下面例题.例2如图一只壁虎要从一面墙壁q上A点，爬到邻近的另一面墙壁吐的瞋 捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线昵9解；我们假想把含B点的堵口顺时针旋转90'（如下页右图

20、），使它和含A 点的墙故I底向一年面上，此时。强过果的质置记为B点的位置记为， 则机1之间最通路线应该是线段出、设这条线段与墙棱线交于一点P,那 么口折线4PE就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线AP'B走，也就是沿在墙 转90“后的路线AP, 走都比直线段APB，长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最 短路线.由此例可以推广到一般性的结论；想求相邻两个平面上的两点之间的最通 路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起 来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是 所求的最短路线.例3

21、 长方体ABCDA，B，C，D，中，AB=4, A，A二2，AD=1,有一只小虫 从顶点D，出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图 Q）解；因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含DB两点的两 个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D ' B间的最 短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D，点出发，到B点共有六条路线供 选择.从D，点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在 一个平面上（上页图（2）,这时在这个平面上DJ B间的最短路线距离就 是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形AB"的斜边，根据勾股定理，D&

22、#39; B2=D，A4止（1+2）2+ 425,'.D ' B=5.容易知道，从“出发经过后他面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.从D,点出发，经过左侧面，然后进入前例I面到达瓦点.将这两人面摊开 在同一平面上，同理求得在这个平面上“、B两点间的最短路线（上页图 ），有：D' B2斗（1+4）2=29.容易知道，从D出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平 方也是29.从D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊 开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D，、B两点间的最短路线（见 图），D' D 2 A 4D,B2=（2+4）4P

23、=37.容易知道，从D，出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平 方也是37.比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从V点出发， 经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）,或者经过后侧面然后进 入下底而到送B点的造蛙是最短路线 它的长度是£个单位长度.利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最通距离的旋转、翻折的方法， 可以解决一些类似的问题，例即求六棱柱两个不衽邻的侧面上睛叫两点之间的 最短路线问题下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相 邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、E，版线段AP1P2B, Pl、P2是殡 段AB与两条侧棱线的交

24、点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.S柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线3这条曲线称为螺 旋线.因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如， 螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，棺腔里的螺纹等 都是螺旋线，看下面例题.例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果 将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使 金线的用量最少？解；将上左图中圆柱面沿母线卷剪开，展开成平面图形如上页右图（把图 中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，丁分别与机B重合），连接 ABJ再胞上贝右图还原成上贝左图的形状，则A

25、B，在圆柱面上形成的曲线就 是连接AB且绕一周的最短线路.圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为80的中点，试求以A为起 点，以B为终点且浇圆椎侧面一周的最短路线.解，将圆锥面沿母线A0剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的 圆锥面时，A- B，分别与A、B重合），在扇形中连AB，则将扇形还原成圆 锥之后，AB'所成的曲线为所求.例6如下图3在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点 去寻找食物，己知&点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口 D 点的距离是8厘米，而C、D两点之间

26、的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行 的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到格桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在 里面，不便于作图，设想将BD延长到F,使DF二BD,即以直线CD为对称轴，作 出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.解；将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F,使DF二BD,即作点B关 干直线CD的对称点F,连结好，交桶口沿线CD于0.因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以0B = 0F,而A、F之间的最短线路 是直线段AF,又如二A0 + 0F,那么A、B之间的最短距离就是A0 + 0B,故蚂蚁应 该在桶外爬到0点后，转向桶内B

27、点照去.廷长AC到E,使CE=DF,易知aAEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD,根据 勾股定理，相三（AC+CE）斗E产=（12 + 8» + 152=625=252,解得AF=25.即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则 要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试 问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点和B"连结 AJ 分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则AfEfFfBA是最短路线, 即最短路程为：AE+EF + FB + BA.证明

28、：由对称性可知路线AfEFB的长度恰等于线段A，B，的长度.而 从内岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用时称方法都可以 化成一条连接A < B，之间的折线，它们的长度都大于线段A，B，例如上 图中用“”表示的路线A-E）一F ' 一B的长度等于折线AE / F，B的长度，它大于A，B '的右度，所以A-E*iF*3*'A是最匆路线.习题三1 .如下图，EF为一河流的河岸线，假设成一条直线，A、B是河中两个小 岛，有一只船经常从A岛把水产运回岸上，再把食品等物运回B岛，再由B岛将 水产运上岸上，最后由岸上将食品等物运回A岛，问转运码头应设在何处，才

29、能使运输船的航程最矩.-B2 .少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下 图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点,接着，离B点再次跑到墙边手 触摸墙壁后，跑到C点.问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.A-B3.如下图，在河弯处M点有个观测站，观测员要从M点出，先到AB岸，再 到CD岸，然后返回M点，问船应该走什么路线最短？4 .如下图，M B两个村子之间隔了两条河，两条河的宽度相同，为了使 两个村子之间的行程最知，在这两条河上架桥的时候,应该把精架在哪里？（两座桥分别垂直于两条河的河岸.）5 .如下图，在河的两岸共有三个小镇h B、C.问应在河的什么位置架两 座

30、桥，使两岸人们来往路程最短？（两座桥都垂直于河岸.）匚6,如下图是T丘台球桌子，桌子上球R与球B之间有其它球阻隔.现在要 击碎，经桌边CD、CF两次反射再碰到B球，请你画出AI来行走的最短路线.CL7 .如下图，M氏C三点分别是正方体三条棱的中点，一只小虫沿着正方 体的表面从点碘到点C,图中所示路线是否为小虫爬行的最短第线？8 .如下图，鼠E为长方体同一棱上的两个顶点，且AE二孔底面为边长是2 的正方形，氏C、D分别到底面距离为工工6,连接AB. BC, CD, DE,则折线 ABCDE为以A为起点，况为终点毙犊柱侧面一周最短的路线，请说明理由.9 . 00的半径为W厘米，扇版AA，是。的四分

31、之一（下左图），把扇形 0AV卷成圆锥面（下右图）？取母线0A甲点B及AB中点M.从N拉一绳子围 绕圆锥面转到下底面A点（下右图,试求此绳的最短长度.六年级奥数下册：第三讲 最短路线问题习题解答习题三解答1 .作点A关于EF的对称点卜点，连结卜点, B点交EF于P点，则P点即为 所求，它就是转运科头应设的位置.2 .解法1：分别作h C关于墙线的对称点A ' , C J ,分别连结卜、B和 CL B,它们分别交墙线于E、F两点，则A-E-B-F-C即最短路线.解法2；作B关于墙线的对称点B，,连结M B C、U ,它们交于墙线 处也既、F点，最短路函司薛是L3 .分别作M点关于孙CD的

32、时称点Ml、M2,连箪M1M2分别交AB、CD于N1、 N2两点,连结帆、MN2,则1即+即改+由1蹴是最短路程.Ml4 .过M B分别向两条河作垂线，并截取AA，二BB，等于河宽，连结A < B,分别交两相邻河岸于C、D两点，分别过C、D两点向两条河的另一岸作垂 线，分别交另一岸于& F两点，CE. DF即架桥位置.B5 .过A作河岸线垂线，并在其上截取AA'等于河宽，连结A，B和A'C,分 别交河岸于反两点，过碟F分别作河岸垂线交另一岸于M N两点，见归此FN 即为架桥位置.6 .分别作M B关于CD. CF的对称点A<,连结卜B J 交CD. CF于P

33、、Q两点，则APfPQfQB就是冲所走的最短路线.7 .共有三种路线可供选择.第一，如图甲，把前面和右侧面展开在平面 上，连结AC.若设正方体边长为2,由勾股定理可求得（2+1）2=10； 第二，魅至左面至上面到C,易知其最短距离的平方也为10;第三，如图乙，把 前面和上面展开在平面上，连结AC, （B在线段AC上）,同理求得AC、2? + 2-8,所以第三种路线，即题中所示路线，是沿正方体表面从A到C的最短路 线.B C甲乙3.因为将棱柱的侧面展开之后为一正方形，如下图，ABCDE恰好为正方形 的对角线,因此折线ABCDE是绕恻面一周的最短路线.9.将圆链面沿母线0A翦开，把圆锥面摊成平面（

34、如下见图）则卜M为 绳的最短距离，根据勾股定理,MA' 2=0I: + 0A?三（4 + 2）上 +那=1。（平方厘米），MA，=10 1厘米）即绳的最短距离为10厘米,0 B吊A小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课奇妙的方格表试题附答案第四讲奇妙的方格表方格表是人们最熟悉最简单的图形之一.但这个简单的图形却可以说是一 个广阔的数学天地,其中包含着许许多多奇妙的数学问题.许多问题看起来非 常简单非常有趣,但却要用到许多教学方法，蕴含着许多深刻的道理.这些方 法和道理在我们以后的学习中将经常用到.一.计数问题例1下图中共有多少个矩形?例2在上页的方格表中，共有几个艮丁形（含有3个小方格

35、 的拐.也可以是“口口”或或?例3在4 X 4的方格表中，至少放上几个ff日口 “后，才能使 这一表中不能再放下一个"|广了（不许重叠）斤如果是5 X 6或gxg的 方格表，结果如何？例3在4X4的方格表中，至少放上几个“日二!”后，才能使 这一表中不能再放下一个“日二”了（不许重叠）？如果是5 X 6或8X8的 方格麦，结果如何？二、染色方法染色方法实际上是一种分类方法，不过对有些问题来说，通过染色能使问 题比较直观，解决起来更方便.例4如图是半张象棋盘，一只马能否从A处出发，跳遍半张象棋盘而使每 个格点只经过一次？例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、

36、 下两间也有门相通）.每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外 面.一只耗子从最中间的房间出发.想走遍各个房间，且每个房间只经过一 次，最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？三，抽屉原理例6能否在8X8的方格表的每个方格中写上限1、2中的一个数，使每 行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？例7在5X5的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用8个“ 住”形完全差住？如果不能，请说明道理.XbaaycJ；：e四.分类, 试装，递推.寻求规律例8在4乂4的方格表中任意挖去一格，是否总能用5个以正'用盖住1对干8 X 8或16 X 1。的方格表，结论如何3例9在一

37、个6X 6的方格表中任选5个方格徐黑，然后再逐步招凡是与两 个或两个以上黑格相邻的方格徐黑，不断按这个法则做下去，证明.无论怎样 选择最初的5个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部除黑.答案第四讲奇妙的方格表方格表是人们最熟悉最简单的图形之一,但这个简单的图形却可以说是一 个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题.许多问题看起来非 常简单非常有趣，但却要用到许多教学方法，藁含着许多深刻的道理.这些方 法和道理在我们以后的学习中将经常用到，一.计数问题例1下图中共有多少个矩形，分析如果直接数，假容易遗漏或者重复.为了避免遗漏或重复，可以将 图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后

38、再相加.在分类计数中如果能 发现规律，那就更简单了.解法L在己知的方格表中，共有5X3二15个，“ ”共有4X 3二12个，“口口”共有3X3 = 9个，如此进行下去，把各类矩形的个数相 加，可得矩形总数为90个.解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式, 很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1+2+3+4+5）X（3+2+1） =90 个.4X33X3m Il 4X23X2田旺4X13X1用苴5X3 5X2 E 5X例2在上页的方格表礼共有几个“土”形（含有3个小方格的拐,也可以是或"g或“izq”）?例3在4X4的方格表中，至少放上几个“日口”后，才能使

39、 这一表中不能再放下一个“日口”了（不许重叠）？如果是6 * 6或8乂8的 方格表，结果如何？解：如图，在4X4的方格表中放下3个L形，即不能再放下一个L形了.如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形.因为每个 “田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而4X4的方格表中共有4个不 相重叠的“田”字形，至少应盖住2义4空格后，才不再能放一个L形，如果只 放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形.从以上两步，可以看出4 *4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表 中不再能放下一个L形.例3在4X4的方格表中，至少放上几个“斗f后,才能使这一表中不能再放下一个"

40、;日二”了（不许重叠）？如果是6 * 6或gxg的 方格表，结果如何？解：如图，在4X4的方格表中放下3个L形，即不能再放下一个L形了.如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形.因为每个 “田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而4xq的方格表中共有4个不 相重叠的“田"字形，至少应盖住2 乂 4二8格后，才不再能放一个L形，如果只 放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形.从以上两步，可以看出4乂4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表 中不再能放下一个L形.在6X6的方格表中有9个不相重叠的“田”字形，每个“出”字形至少盖 住两格，才不再能放下一个L

41、形，这样至少应盖住18格，也就是至少要放上6个 L形.如右图，己放了6个L形，确实己不能再放下一个L形了，因此6个是最少 的数目.卜11JL卜-F1L用同样的方法可以得到在8X8的方格表中至少放上11个L形后，就不再能 放下一个L形了.二、染色方法染色方法实际上是一种分类方法，不过对有些问题来说，通过染色能使问 题比较直观，解决起来更方便.例4如图是半张象棋盘，一只马能否从树出发，跳遍半张象惧盘而使每 个格点只经过一次？解：把半张象惧盘的格点（共45个）相间地涂上黑、白两色（黑色用 “乂 ”表示，如图共有22个黑点，23个白点.按照马走步的规则，每步走 “日”字的对角线，不论马在何处也不论往哪

42、个方向跳，起点和终点的颜色总 是不同的.由于故h是黑格点，如果马从故h出发跳遍每个格点且每个格点只经 过一次，那么需经过21个黑点，23个白点，黑、白格点数相差2,故这样的走 法是不可能的.例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、 下两间也有门相通）.每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外 面.一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一 次，最后从右下角出来，这样是可否能1如果可能，该怎么走？解：将27个小正方体相间染成黑、白两色（妇图），共13个房黑间，14个 白房间，中间房间是黑色.如果从中间房间出发，每个房间经过一次，共需经 过12

43、个黑房间（除中间房间外）、14个白房间.但是与黑房间相邻的都是白房 间，与白房间相邻的都是黑房间，路线只能是：黑一白一黑一白这是不可能 实现的.如果改从任一个（不是右下角的）白房间出发，就能达到目的.请自己设 计路缘三、抽JB原理例6能否在8X8的方格表的每个方格中写上。、1、2中的一个数，使每 行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？解：8行、8列及两条对角线共有IX个和数，将这18个和数作为“苹果 8个数（每个数是0、1、2币的一个）的和最小是0,最大是16,共有17种不同 的和，将这17个不同的和作为“抽屉力.根据抽屉原理，必有一个“抽屉”中 存在2个或2个以上的“苹果”，这就是说，

44、在L8个和数中至少有2个相等，不 可能都互不相等.例7在5X5的方格表中，任意挖去一个方格后，是否总能用8个“ %”形完全芸住?如果不能，请说明道理.解法1,如右图，将5X5的方格表挖去一格（用影）后，剩下的24格不可能用8个“ + ”先完全盖住.因为如臬完全盖住，为了盖住a格， 需要用一个L形盖住a、d、e或a、b、。三格，由于两边对称，不妨设盖住a、 b、c三格，这样，x格就不可能被任何一个L形盖住（否则就重叠了），所以这 24格不可能被完全盖住.解法2：如图，标上"X ”的格共有9个，如果挖去的一格不是标上“X ”的格，那么剩下的24格不可能被X个L形盖住.这是因为任意两个“X

45、 ” 格不可能被同一个L形盖住，这9个“X 格若都能被盖住，至少需要9个L形， 因此不能用8个L形盖住剩下的2 4格.说明；解法1虽然很简单，但要想到这种解法，需要做多次试验（当挖去 的一格在某些位置时，题目的要求是可以成立的）.解法2实际上用了抽屉原 理，“乂”格看作“苹果 g个L形看成“抽展”.用抽展原理的关键是要设 计好“抽屉”和“革果四.分类.试验.递推.寻求规律例8在4X4的方格表中任意挖士一格，是否总能用5个"Fhr形姜住?对干8 X 3或16 X 16的方格表，结论如何？分析对于4X4的方格表，由挖去一格的位置不同，可分三种情况讨论.这种分类讨论的方法，对于4义4的方格

46、表来说，由于试验次数较少，还比较容 易得到结论.但对于8X8的方格表9需要分1谢情况，分别去试验；对于16X 16的方格表，则需要分36种情况.对于每种情况，由于表格较大，试验起来也 很整琐.如果运用数学上称为“递推的方法，问题就简单得多了，不仅能轻 易地解决8X& 16X16的方格表的问题，还能解决32X32、64X 64、等方 格表中的类似问题.解法1,对于4X4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三种情况，每 种情况都能运用5个L形盖住，因此在4X4的方格表中任意挖去一格，总能用5 个L形盖住（如下图）.对于8X8及16X16的方格表，由于分类情况较多,这里从略.解法2：先考虑2

47、X2的方格表，任意挖去一格，剩下3格总是恰好能用1个L 形盖住.对于4X4的方格表，挖去的一格总在某个角上的2X2小方格表内，不妨设 在左上来，那么左上角的2X2小方楮表中剩下3和能用1个L形盖住.在右上、 右下.左下的3个2X2方格表中，先各挖去靠中间的一格（如图），乘”下的各 能用1个L形盖住，而挖去的3格也恰能用1个L形盖住.对于8X8的方格表，挖去的一格总在某个角上的4X4方格表内，不妨设在 左上角，那么左上角剩下的部分总能用5个L形盖住.在右上、右下、左下的3 个4乂4方格表中，先各挖去靠中央的一格（如右到），由上述结论，各4乂4方 格表中剩下部分总能分别用5个L形盖住.而挖去的3格

48、也恰能用1个L形盖住， 所以，XX g方格表中任意挖去一格，总能用21个二形完全盖住.同样，对于16XL6的方格表，任意挖去一格后，总可以用况个L形完全盖 住.例9在一个6X6的方格表中，任选5个方格徐黑，然后再逐步将凡是与两 个或两个以上黑格相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去，证明：无论怎样 选择最初的5个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑.0分析先试验一下，在上图的方格表中选5格涂黑，然后按给定法则涂黑另 一些格，直到上图,已无法再将其余的方格涂黑,如果改变最初5格的位 置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑.为了证明这 一结论，如果将最初5格的不同位置一一列

49、举出来，再逐个证明，当然也是可 以的（这种方法叫枚举法），不过过于繁琐.因此，应该在试验中寻求规律， 不被表面现象迷惑.证明，考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度.设小方格的边长为1,则 开始有5个黑格，黑色区域总长度不大于20.按照题设的涂黑法则，每格在涂 黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周 泉当此格涂黑宕，这就边己不再是边泉而另而边可能成为边界）.如果能 格所有方格都涂黑，那么黑色边界的总长度应为24,由以上分析，这是不可靛 的，因此，无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按照题设的法则将全部方 格涂黑小学六年级下册数学奥数知识点讲解第5课巧求面积试题附答案习题

50、五L直角三角形ABC中，AD=DB=4.5E米，=涯木，求四边形DBCE的面积.（下图）2 .下图中的三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中的数字是 相应线段的长度，求两部分的面积之比.3 .如上右图，在ZkABC中，AD=1AB, BE = EF = FC, CG = |gA,求 阴影都分面积占三角形ABC面积的几分之几？4 .如图，BD=|bC,三角形ABC的面积是48平方厘米，AC = 16厘米,AE二11厘米，三角形DAE的面积是多少？5 .己知：AE=?AC, CD = yBC, BF=?AB,求三角形DEF的面积与三 546角形ABC的面积之比.（下图）6 .如下图所示己知A

51、BCD是长方形票"言弓,求三角形会E与 三角形DEF的面积之比.7 .如下图所示，把/XABC的BA边延长1倍到D点.AC边延长3倍到F点，CB边 延长2倍到E点，连接DE、EF、FD,得到DEF.已知三角形DEF的面积为54平方 厘米，求AAEC的面积.2_8 .如上右图所示，已知久如二1, A£ = ED, ED二三BC,求阴影的面 积.9 .在/XABC中，CD. AE, BF分别为K、AC. AB长 的:求%MM与为加之比，10 一把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三 角形内按图示剪下两个内接正方形鼠，N.这两个正方形中面积较大的是哪

52、一 个？它比较小的正方舷面现大安少平方厘米？六年级奥数下册：第五讲 巧求面积习题解答习题五解答1解，在AADE与AABC中，因为AD = BD,所以AD = ：AB,又因为 乙AE = ；AC,所以“般=gx触c =：久即所以S四边形DBCE = 3s3.1 1 G1因为%杷c=X（45X2）X（3- -） =y （平方厘米），所以 应山比、+苧中平方厘米）.答:四边形DBCE的面积为33平方厘米.32 .解：因为AE = 1, CE=2, fUAC = l + 2 = 3 = -CE. 乙因为CD= 1, DB二3,所以BC二 1+3二生4CD.L3所以有 S&用 C =X4XS&a

53、mp;cde = 6S&cde = 5S 甲. 乙所以S乙二SAABC-S甲二6s甲-S甲二5s甲.所以S甲：S乙二S甲；5s甲二1 : 5.答：甲乙两部分的面积之比为1 ： 5.3,解；利用正文中的结论容易求得；_2 4、_xS42G =4 X y X S树=7sCABC， _£ 2_S&BDE = ' X 耳 乂此C，ACFG-=彳义耳S&ABC = $AABC ,>121所以Sajjjd +S&BDE+S&CFG = C -+ S AABC5=一«- 9 "AABC所以S快彭=0-§）SAABC

54、答：阴影部分的面积占三角形ABC面积的孑 4解 S&ade = *aadc =£x Q痂= -X |x48=22 （平方厘米）.lb 3答；AADE的面积为22平方厘米.5 解：S6AEPS&CDE5=X64=-X515XS16 ABC1_5s砥 c厂 3、，1 “ rc = - x-xq c*Q&BFD _ 4 E Q（1ABC _ 所以SADEF =6卯 C -$3历-3插血-$ACDE=（1.122）s1658, 4ABe一两船C所以SAdef : SAzbc=61 : 120.答：ZDEF与ABC的面积之比为61 ： 120.6幅因为票一崇41123K

55、Zcf = -cd=-ab, fd=-ab, ab=-fd,又Nbae=Nedf njn乙= 90° ,133所以有SZXABEtgX - x S6EDF = jSdEDFABE : Saedf=3 ： 4.答：三角形ABE与三角形EDF的面积之比为3： 4.7 .解：SAADF=4 X 1 X SAABC=4SAABC,SABED=2X2 x SAABC=4SAABC,Saecf=3 X 3 x s abc=9Sa ABC.Saecf=3X 3X Sa ABC = 9s ABC.所以 SADEF 二 SAADF+SAEBD+SECF+Sa®=4SAABC4-4SAABC+9SAABC+SAABC=18SAABC所以S.=SADEP = X54 = 3 （平方厘米）. Io答：三角形ABC的面积为3平方厘米.8 .解：连DF.因