北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

1、期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1.如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点) 上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.设点N 的坐标为(m, n).(1)若建立平面直角坐标系， 满足原点在线段BD上，点B (- 1, 0), A (0, 1).且BM = t (0<t<2),则点D的坐标为(1, 0) ，点C的坐标为(0, - 1);请直接写出点N纵坐标n的取值范围是 0vn、t;；(2)若正方形的边长为 2,求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值.(提示：连结 MN： 44f2&6+1,

2、44-24=&1)解：(1)如图1,以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系, 四边形ABCD是正方形，：OA = OB=OC=OD, 点 B ( 1, 0), A (0, 1), .D (1, 0), C (0, - 1);过N作NHBD于h,NHB = 90° , 将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,NBH = 60° , BM = BN,.Kill V 3 OKI M 匕 £ .NH =BN =1.22 'V0<t<2,:点N纵坐标n的取值范围是0vn4正；故答案为：(1, 0), (0, -1); 0<n&l

3、t;V3;(2)如图所示，连接 MN,过E作EHXBC,交CB的延长线于H,由旋转可得，BM = BN, /NBM = 60。，.BMN是等边三角形，：MN = BM,. ABE是等边三角形，：BE=BA, Z ABE = 60° ,ABM=/ EBN,.-.ABMAEBN (SA§ ,:AM = EN,:AM+BM+CM = EN+MN + CM,.当E, N, M, C在同一直线上时，AM + BM+CN的最小值是CE的长，又ABE = 60° , / ABH = 90° ,EBH = 30° ,.EBH 中，EH=Jj-EB=X2=1,B

4、H = JebZeM = Vs2-12 =仃，.CH = 2+73,中，CE = /he2+CH2=V 12K2+V3)2= V6 +V2;. .AM+BM+CM 的最小值为 76+72.国12.如图，在？ABCD中，/ BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作？ ECFG .(1)证明？ ECFG是菱形；(2)若/ ABC = 120° ,连结 BD、CG,求/ BDG 的度数；(3)若/ABC = 90° , AB = 6, AD=8, M 是 EF 的中点，求 DM 的长.G F解：(1)证明：，V AF 平分/ BAD,BAF = Z D

5、AF,四边形ABCD是平行四边形，:AD II BC, AB/ CD,/ DAF = / CEF , / BAF = / CFE,CEF = Z CFE,：CE = CF,又四边形ECFG是平行四边形，：四边形ECFG为菱形；(2)二四边形ABCD是平行四边形,.AB/DC, AB=DC, AD II BC,ABC= 120° ,BCD = 60° , / BCF=120°由(1)知四边形CEGF是菱形，:CE = GE, Z BCG = -Z BCF = 60 .CG=GE=CE, /DCG = 120° ,EG II DF,BEG = 120

6、6; =Z DCG AE是/ BAD的平分线，/ DAE = / BAE ,. AD / BC,DAE = / AEB,BAE=Z AEB,：AB=BE,：BE=CD,.-.BEGADCG (SAS),:BG = DG, / BGE=Z DGC , ./ BGD = / CGE, .CG=GE=CE, .CEG是等边三角形，CGE = 60° ,BGD = 60° , BG = DG, .BDG是等边三角形， ./ BDG = 60° ；(3)如图2中，连接BM, MC,G F圉3 /ABC=90。，四边形ABCD是平行四边形,:四边形ABCD是矩形，又由(1)可

7、知四边形ECFG为菱形，/ECF = 90° ,：四边形ECFG为正方形. / BAF = Z DAF:BE=AB=DC. M为EF中点，CEM=Z ECM=45° ,BEM=Z DCM =135° ,在ABME和ADMC中，BE=CD一 /BEH=/DCM,JM=CM .-.BMEADMC (SAS),MB = MD , /DMC = / BME .BMD =/ BME + Z EMD = / DMC + Z EMD =90.BMD是等腰直角三角形. AB=6, AD = 8,：BD = 10,如LDM=BD = 52.23.如图，在正方形 ABCD中，对角线A

8、C、BD相交于点O,以AD为边向外作等边ADE,连接CE,交BD于F.(1)如图1,若AE = J%,求DF的长；(2)如图2,点M为AB的延长线上一点，连接 CM,连接FM且FM平分/ AMC, 求证：CM = 6MF-AM.图L图2解：(1)如图1,连接OE,二四边形 ABCD是正方形, .AD = CD, / ADC =90° , OA=OD=OB= OC. ADE是等边三角形AD = DE= AE = 76, Z ADE =60°：cd = ad=M od=ob=V3. AE=DE, OD = OA OE垂直平分 AD即 OEAD, DH =AH.OE-OH+EH-

9、此咨心旦 222 . / ADC = / DHE = 90°CD II OE.CDFseOF.DF CD即a43也厂.加二面，即-DF=OFdf+of = od=V1 of =三-df工:"匹df=V (6df),解得:df=1.MC,连(2)如图2,连接EO,过点F作PQ± CD交EO于N,在MA上截取MT接FT,设正方形边长为a,四边形ABCD是正方形， ADE是等边三角形:AD=AB=CD = DE = a, Z ADC = Z DAB= 90° Z ADE =60°易证OEXAD：OE =巧工,OD=a,由(1)知 CDFsEOFdpf

10、是等腰直角三角形DP = PF =返DF = 3 f 厄 a, 26：FQ = a-小 a=3ra a =66V FM 平分/ AMC,./ CMF =Z AMF在 MCF和 MTF中'肥TZCKK=ZMFJ史5F.-.MCFAMTF (SAS)：CF = FTRtACFPRtA FTQ (HL).QT=PF =3-V3- aV AQ = DPV BM+AB-AT= MT=CM.CM - BM = AB- AT=CM+BM = MT+BM =BT+2BM = ax a+2BM = ' a+2BM63.CM2 - BM2= (CM - BM) (CM + BM),. CM2 -

11、BM2=BC2 = a2,二巡a (逼a+2BM) =a2,：BM=a在 Rt BCM 中，tanR BMC = *=« =限BM aBMC =60AMF =30°=cos/ AMF = cos30° =MQMF.2MQ = . :MF2MQ = 2BM+2BQ = 2BM+2BT+2QT= ( BM+BT) + ( BM+BT+AT) = CM+AMCM+AM = 7jMF即 cm=6mf am.4.在菱形ABCD中，/ABC = 60。，BD为菱形的一条对角线.(1)如图1,过A作AEBC于点E,交BD于点F,若EF=2,求菱形ABCD的面 积；(2)如图2,

12、 M为菱形ABCD外一点，过 A作AN IBM交BM的延长线于点 N,连 接 AM, DM, AGDM 于点 G,且/AMN = /AMD,求证：DM = BM+JAM.(1)解：如图1中, 四边形ABC都是菱形，/ ABC = 60 .Z ABD = Z DBC= 30° , AEXBC,丁./ BEF=90° , EF=2,BF=2EF = 4, / BFE = 60° ,. / BFE = Z ABF+Z FAB,ABF = / FAB = 30° ,：BF = AF=4,：AE=AF+EF=6,AB = = 4v§, sin6G：BC

13、= AB=4/3, S 菱形 abcd = BC?AE=2句叵(2)证明：如图2中， ./AMN =/AMG , AN，MN, AG，DM,:AN = AG,MNA = /MGA = 90° , AM=AM, AN = AG,RtA MANRtAMAG (HL),NM = MG, . Z ANB=Z AGD= 90° , AN = AG, AB=AD,RtAANBRtAAGD (HL), ABN=/ADG, BN=DG, BMD=ABAD = 120° , nM NMG=60° , AMN=/AMG=30° , d DM - BM = MG +

14、 DG- (BN-MN) =2MN=7AM, DM = BM + /jAM.AE =(只5.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点 E、F分别在直线AD的两侧，且DF, / A=", AB=DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形;(2)若 AD = 12, DC=3, /EBD=60°，则 BE= 6 时，四边形 BFCE 是菱形需完成填空，不需写出具体过程.)(1)证明：二.在 ABE DCF 中, '曲DC* ZA=ZD二DF.ABEA DCF (SAS),：BE=FC, / ABE=Z DCF,EBC=Z FCB,：BE/ FC,:四边形BFCE是平行

15、四边形;(2)解：当四边形 BFCE是菱形,则 BE = EC,AD = 12, DC = 3, AB= DC,:BC = 6,. / EBD = 60。, EB=EC,.EBC是等边三角形，：BE=6.故答案为：6.6.已知：如图，在？ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线 BD上的四等分点，顺次连接 G、E、H、F.(1)求证：四边形 GEHF是平行四边形;(2)当？ ABCD满足 AB，BD 条件时,四边形 GEHF是菱形;(3)若 BD=2AB,探究四边形GEHF的形状，并说明理由；GEHF的面积.当AB=2, / ABD = 120。时，直接写出四边形(1)

16、证明：连接AC,如图1所示:四边形ABCD是平行四边形,：OA = OC, OB=OD,：BD的中点在AC上，.E、O、F分别是对角线BD上的四等分点,E、F分别为OB、OD的中点，,. G是AD的中点，.GF为4AOD的中位线， .GF/OA, GF = OA,同理：EH/OC, EH=yOC,：EH=GF, EH/GF,：四边形GEHF是平行四边形；,四边形 GEHF是菱形；理由如下:(2)解：当？ABCD 满足 ABXBD连接GH,如图2所示：则 AG = BH, AG II BH,四边形ABHG是平行四边形，：AB II GH ,v ABXBD,GHXBD,.GHXEF,：四边形GEH

17、F是菱形；故答案为：AB1BD；(3)解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由(2)得：四边形GEHF是平行四边形，/. GH = AB,v BD=2AB,AB=BD=EF,GH=EF,；四边形GEHF是矩形;作AMXBD于M, GNXBD于N,如图3所示: 贝U AM II GN ,. G是AD的中点,；GN是 ADM的中位线，a GN = -AM,/ABD = 120° ,.-.Z ABM = 60 ,Z BAM = 30 ,BM =yAB= 1, AM=V3BM =3, GN=|,v BD=2AB=4,：EF = BD = 2,.EFG 的面积=EFxGN=lx2x2!=返,22

18、 P2 2：四边形GEHF的面积=2AEFG的面积=心.API BE, P 为 ABT为直角(2)如图2,若AE=AF,连接CP,求证：CPXFP.DC DCF B AF-B卸图27.如图，边长为 6的正方形ABCD中，E, F分别是AD, AB上的点, 垂足.(1)如图1, AF = BF, AE=2j&,点T是射线PF上的一个动点，1 三角形时，求AT的长；(1)解：在正方形 ABCD中，可得/ DAB =90°.在 RtBAE 中，tanZABE=-= Ad 53:/ABE=30° .点T是射线PF上的一个动点，当 ABT为直角三角形时，分三种情况：当点T在A

19、B的上方，/ ATB=90。，显然此时点T和点P重合，即AT=AP=AB = 3；当点T在AB的下方= 90。，如图所示.在 RtA APB 中，由 AF = BF ,可得：AF = BF = PF=3,BPF = Z FBP = 30° ,：/BFT = 60° .在 RtATB 中，TF=BF=AF=3,.FTB是等边三角形，. TB=3, AT = Jab24n 2= 3、后;当点T在AB的下方，/ ABT=90°时，如图所示.在 RtFBT 中，/ BFT=60° , BF=3, BT= BF?tan60o = 3/3.在 RtATB 中：AT=

20、7aB2+BT2=3/7综上所述：当 ABT为直角三角形时，AT的长为3或 圾或3/7；(2)证明：如图所示，四边形ABCD是正方形，:AB=AD=BC, AD/BC, /DAB=90° ,3=/ 4.在 RtEAB 中，APXBE,1 + 72=90° , / 3+7 2=90° ,1 = /3 = /4,. tan/ 1 =PBAPABPB_ ABAP = AE，. AE=AF, AB=BC,里=吗 而AF.-.PBCA FAF,5.Z5=Z6. /6+/-7=90。，. /5+/7=90° ,即/ CPF = 90.CPXFP.CFXBD,垂8.已

21、知：如图，在？ABCD中，G、H分别是 AD、BC的中点，AEXBD,足分另为E、F.(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)已知AB=5, AD = 8,求四边形 GEHF是矩形时BD的长.G(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，.AD/BC, AD = BC,GDE = Z FBH,.G、H 分别是 AD、BC 的中点，AEXBD, CF±BD,.在 RtAED 和 RtCFB 中，EG=-AD = GD, FH=yBC=HB,.EG = FH,GED = /GDE, /FBH = /BFH,GED = Z BFH,：四边形GEHF是平行四边形;. / FBH =Z B

22、FH ,= 90° ,.EFHsCBF,BF FH-CE BF由(1)可得：GA/ HB, GA=HB,:四边形GABH是平行四边形,:GH = AB=5,.在矩形 GEHF 中，EF=GH,且 AB= 5, AD=8,.5_ 48 BF'解得：BF=-y-,：BE=BF- EF = - 5=,在ABE和CDF中fZAEB=ZCFD/棚炉/CDFI ABO.-.ABEA CDF (AAS),7：BE=DF = 一 , 5cc CL ”32 739:BD = BF+DF =-+=5 55/ CDE的平分线交AM延长线于点F .点E是线段AM上一点，,BE = /nj,求 AB

23、的长;9.如图，点 M是正方形 ABCD的边BC上一点，连接 AM,(1)如图1,若点E为线段AM的中点，BM： CM = 1： 2(2)如图 2,若 DA=DE,求证：BF+DF=0AF.解：(1)设 BM=x,则 CM = 2x, BC=3x,V BA=BC, ： BA=3x.在RtA ABM中，E为斜边AM中点,.AM=2BE=2-/10，由勾股定理可得 am2=mb2+ab2,即 40=x2+9x2,解得 x= 2.AB=3x=6.D作DPXAF于P点.(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点V DF 平分/ CDE,.-.Z 1 = Z 2. . DE = DA, DP&

24、#177;AFZ 3= Z 4. / 1 + Z2+Z3+Z4=90° ,2+Z 3=45° .DFP = 90° - 45° =45° .AH=AF.BAF+/DAF = 90° , H HAD + Z DAF = 90 ./ BAF = Z DAH.又 AB = AD,.-.ABFA ADH (SAS).:AF = AH, BF = DH.V RtA FAH是等腰直角三角形，;HF=/2AF. HF=DH+DF = BF+DF,：BF+DF=2AF.H10.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O的两条直线分别交边

25、AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H.【感知】如图，若四边形ABCD是正方形，且AG = BE=CH = DF,则S四边形aeog矩形 abcd ,设 AB=a,S正方形ABCD ；【拓展】如图，若四边形ABCD是矩形，且 S四边形AEOGAD=b, BE = m,求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图，若四边形ABCD是平行四边形，且 AB=3, AD = 5, BE=1,试确定F、G、H的位置，使直线 EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.解：【感知】如图，四边形ABCD是正方形,OAG = /OBE=45° , OA=OB, rAG=EE在AOG 与A

26、BOE 中，4 /&QG=/BOE, ;AO=EO.AOGABOE,二.AG 四边形 AEOG = SAAOB =)S 正方形 ABCD ； 4故答案为：卷;【拓展】如图，过O作ONXAD于N, OMLAB于M,SAAOB ="S矩形 ABCD , S 四边形 AEOG =S 矩形 ABCD ,:SaAOB = S 四边形 AEOG ,SAAOB = SA BOE+Sa AOE, S 四边形 AEOG = Sa AOG+ Sa AOE,SABOE:Sa BOE = Sa AOG ,SA AOG =yAG?ON =AG?! a 二. AG?a,mb= =AG?a, 44【探究】

27、如图，过O作KLXAB, PQXAD,则 KL=2OK, PQ=2OQ,S 平行四边形 ABCD= AB?KL = AD?PQ,.3x2OK = 5x2OQ, SaAOB =：S平行四边形ABCD ,四边形AEOGS平行四边形ABCD ,:SAAOB = S 四边形 AEOG ,:Sa BOE = Sa AOG，.S BOE=BE?OK=X 1XOK, BOE 22Sa aog=AG?OQ,一X 1xOK =AG?OQ, 22当AG=CH=, BE=DF = 1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.o11.如图，在矩形 ABCD中，AB = 8cm, BC= 16cm,点P从点D出发

28、向点A运动，运动到点A停止，同时，点 Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时，四边形 ABQP是矩形;(2)当t为何值时，四边形 AQCP是菱形;(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.解：（1）二.在矩形 ABCD 中，AB=8cm, BC = 16cm：BC = AD= 16cm, AB=CD = 8cm,由已知可得，BQ=DP = tcm, AP = CQ= (16 t) cm,在矩形 ABCD 中，/ B=90。，AD/BC,当BQ = AP时，四边形ABQP为矩形，：t= 1

29、6- t,得 t= 8,故当t = 8s时，四边形 ABQP为矩形；(2)AP=CQ, AP/ CQ,四边形AQCP为平行四边形，当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即而2十=2=16 t时,四边形AQCP为菱形，解得t = 6,故当t = 6s时，四边形AQCP为菱形；(3)当 t = 6s 时，AQ = CQ=CP = AP = 16-6= 10cm,则周长为4x10cm = 40cm；面积为 10cm x 8cm = 80cm2.BE交AC于点并说理由.12.如图，在四边形 ABCD中，AB = AD, CB=CD, E是CD上的点,F,连接DF.(1)求证：/ BAF=/DAF, /A

30、FD = /CFE;(2)若AB/CD,试证明：四边形 ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点 E的位置，使得/ EFD = /BCD,证明：（1）在 ABC和4ADC中<AB=ADCB-CD,、AC=AC.ABCA ADC./ BAC = jZ dac在abf和adf中rAB=AD /BAF=/加，tAF=AF.,.abfa adf, .Z afb = z afd, / cfe = z afb,afd = / cfe,baf = /dac, /afd = /cfe；(2) AB/ cd, bac=z acd, / bac=z dac, bac=z acd, . / dac =

31、 / acd , . ad = cd, . ab=ad, cb=cd, ab=cb=cd=ad, 四边形abcd是菱形；(3) 四边形ABCD是菱形， . bc = cd, / bcf = z dcf ,. CF = CF,.-.bcfa dcf,cbf = z cdf, be，cd, ./ BEC=Z DEF =90° , ./ EFD = Z BCD.13.如图，在AABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN II BC分别交/ ACB、外角/ACD的平分线于点E、F.(1)若 CE=8, CF = 6,求 OC 的长；(2)连接AE、AF .问：当点O在边AC上运动到什么

32、位置时，四边形 AECF是矩形？证明你的结论. ./OCE = /BCE, /OCF=/DCF,V EF II BC,.Z-OEC=Z BCE, /OFC = /DCF, ./OEC = /OCE, /OFC = /OCF, .OE = OC, OF = OC,:OE = OF；OCE + Z BCE+Z OCF+Z DCF = 180° ,丁./ ECF=90° ,在RtCEF中，由勾股定理得：EF=TcEcP=10，OC=OE=yEF=5;(2) 当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形 AECF是矩形.理由如下:当O为AC的中点时，AO=CO,EO = FO,四边形AECF是平行四边形，ECF= 90:平行四边形AECF是矩形.14 .如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE / AC且DE连接CE、OE,连接AE交OD于点F.(1)求证：OE=CD;(2)若菱形 ABCD的边长为2, / ABC = 60° .求AE的长. . DE = OC. DE /