最新数学建模-传染病模型-(1)

1、精品文档传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发 或流行，危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传 染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible),指未得病者, 但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染 病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫 力的人。问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的

2、人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到 来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字：传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传 染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来 极大的危害。还有最近的 SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损 失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相

3、当多的病理知识， 这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建 立几种模型。模型1在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每天每个病人有效 接触(足使人致病)的人数为常数 考察t到t t病人人数的增加，就有 x(t t) x(t) x(t) t再设t 训有Xo有个病人，即得微分方 程d xx, x(0) Xo(1)dt方程(1)的解为x(t) xe t(2)结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在

4、改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。模型2 SI模型假设条件为1 .在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为 易感染者即健康人(Susceptible ) (S)和已感染者即病人(Infective ) (i)两类(取两 个词的第一个字母，称之为SI模型)，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数 中所占比例分别记作s(t)和i(t)。2 .每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。根据假设，每个病人每 天可使s(t)个健康者变为病人，因 为病人数为Ni(t),所以每天共 有Ns(t)i(t

5、)个健康者被感染，于是 Nsi就是病人数Ni的增加率，即s(t) i(t) 1(4)i(1 i),i(0) i0(5)N d-i-Nsidt再记初始时刻(t0)病人的比例为i0,则dl方程(5)是Logistic模型。它的解为(6)i (t) 侪口 i的图形如图1和图2所7Ko由(5),(6)式及图1可知，第一，当i 1/2时生到达最大值 更 dtdt,这个时刻为tm1 ln这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，意味着传染病高潮的到来, 是医疗卫生部门应该关注的时刻。精品文档精品文档tm与 成反比，因为日接触率 表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高。所 以改善保 健设施、提高

6、卫生水平 可以推迟传染病高潮的 到来。第二，当t 时i 1,即所有人终 将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变 成健康者。模型3 SIS模型有些病毒人在感染并治愈之后，没有免疫性，即还有可能再被感染。模型假设在模型二假设条件的前提下我们再增加一个假设条件3.病人每天治愈的比例为日治愈率。 / 一个感染期内每个病人的有效接触人数模型构成于是有 N i(tt)-iNs(t)i(t) t- Ni(t)(8)可得微分方程 di-i(1-i)- i i(0) i0(9)dt得到 %t i i (1 1/)(10)模型4

7、SIR 模型大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非 易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力， 变为移除者。人员流动图为：S-I-R。假设：1总人数为常数N,且i (t) +s (t) +r (t) =1;2 .病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数 入，日治愈率(每天 被治愈的病人占总病人数的比例)为常数内显然平均传染期为1/%传染期接触数为66 /件该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传 染力是不变的。

8、3单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l o称为恢复系数。在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：入si模型结构在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为NtNi(2)不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为So (So0), io (i00), r0=0.SIR基础模型用微分方程组表示如下：dt ds dt dr dts(t),si isi(3)i4)求求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ,i的一般变化规律。数值计算在方程(3)中设 入=1 =0.3 i (0) = 0

9、.02, s (0) =0.98,用 MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表 1。i(t) , s的图形以下两个图形，is图形称为相轨线，初值 i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点，随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、 图2可以看出，。由初值增长

10、至约 t=7时达到最大值，然后减少,t -Hi -0型期调减 少,t -oo,s -0.039肝分析i(t),s的一般变化规律.表1i(t),s的数值计算结果t012345678i(t)0.02000.03900.073210.1285 10.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.054

11、30.04340.04080.04010.03990.03990.0398精品文档精品文档相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i (t) ,s (t)的性质。D = (s, i) | sQ i 0, s + i在方程(3)中消去dt并注意到的定义，可得dids一 1 i Is s0ioS (T(5)i s 1di 1dsios0s CT1所以：di1 dss (T(6)精品文档精品文档利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i (% io) s lln-So在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加 s和i的变化趋向图3下面分析

12、s(t),i和r的变化情况(t 一丽它们的极限值分别记作s , i和r ).1 .不论初始条件s0,i0如何，病人将消失，即：t ,i 01 s2 .最终未被感染的健康者的比例是，在式中令i=0得到，是方so io s -ln 0so在(0,1/肉)的根.在图形上 是相轨线与s轴在(。,1/内波点的横坐标3 .若%1/现J开始有51 o, i(t)先增加，令5A1或 可得当s=1/时,i(t)dss bdss b达到最大值：1，、im so io (1 In so)然后s1/（7即（71/s（射传染病就会蔓延.而减小传染期接触数6即提高阈值1/6使得S0 0 1/即（6& ISo）,传染病就不

13、会蔓延（健康者比例的初始值So是一定的，通常可认为So接近1）。并且，即使So1/ * （T减小时，S增加（通过作图分析），im降低,也控制了蔓延的程度.我们注 意到在（7=入也人们的卫生水平越高，日接触率入越小;医疗水平越高，日治愈率以越大，于是 越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延 .从另一方面看，S S?1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其 含义是一病人被 S个健康者交换.所以当So 1/ 即So 1时必有.既然交换数不超过1,病人比例i绝不会增加，传染病不会蔓延。群体免疫和预防：根据对SIR模型的分析，当So 1/时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延

14、，除了提高卫生和医 疗水平，使阈值1/疫大以外，另一个途径是降低So，这可以通过比如预防接种使群体免疫的 办法做到.忽略病人比例的初始值1有“ 1ro,于是传染病不会蔓延的条件So 1/ 可以表为r 11o1这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数（7=5至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r,也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的6更高，根除就更加困难。模型

15、验证：上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了a的实际数据，Kermack等人用这组数据dt对SIR模型作了验证。首先，由方程（2）, （3）可以得到之 Si Sis在dtdt上式两边同时乘以dt可1dsdr,两边积分得SsSdrlns|Sr e。0 r6So所以：s(t) se r(t)(8)一 d.再 i (1 r s) (1 r s0e r)(9)dt当r 1/ 时，取(13)式右端eTaylor展开式的前3项得：,2 2二(1 r soSor -)(10)dt2在初始值ro=O下解高阶常微分方程得：1t-、r

16、(t) 2 (So 1) th(-)(11)So2其中2 (So1)2 2soio 2, ths1从而容易由(1O)式得出:ddt2so 2ch2(T)精品文档然后取定参数so,6等，画出（11）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点 表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。模型的应用与推广:根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学1是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播，发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型 通过对模型动力学性态的定性，定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程，揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。对于2003年发生的SARS8E情，国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势, 研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考.有关SARS专播动力学研究多数采用的是 SIR或SEIR模型 . 评价措施效果或拟合实