传染病的传播及控制分析数学建模

1、传染病的传播及控制分析摘要为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系， 本文通过建立传染病的传播模型， 了解传染病的扩散传播规律， 为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文针对该问题建立了 SEIR 微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作为传染系统。我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分： 控制前和控制后。 在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制， 患者数量短时间内大量增长， 并以死亡的形式退出传

2、染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。在模型建立的基础上， 通过 Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在 p=0.4 时，患者人数大致在 7 天时到达最大值，在 25 天时基本没有患者；在 p=0.3 时，患者人数大概在第 8 天到达最大值 186383，大概在 28 天之后基本没有患者；在 p=0.6 时，大概在第 5 天患者人数到达峰值为 47391，在 21 天时基本没有患者。

3、综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。 针对所得结果， 对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。关键词： 隔离强度潜伏期SEIR 模型0一、问题重述：2013年中， H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示， H7N9有变异的可能。假设已知有一种未知的现病毒1 潜伏期为a1 : a2 天，患病者的治愈时间为a3 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为(为感染率 ) 。为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。潜伏期内的患者

4、被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）。在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。最后结合该模型的数据对控制 H7N9的传播做出一些科学的建议。二、问题假设：1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状

5、，不可传染健康人，不具有传染性；6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变，记为 N；三、符号说明：1符号解释说明S(t)t 时刻正常人（易受感染）人数E(t)t 时刻疑似患者的人数Q(t)t 时刻处于潜伏期的人数I(t)t 时刻确诊患者的人数R(t)t 时刻退出传染系统的人数 （包括治愈者和死亡者）潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期1人数的比例2

6、每日退出传染系统的人数比例a3确诊患者的治愈时间r患者的人均日接触人数因接触被感染的概率p潜伏期内的患者被隔离的强度四、问题分析：根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程， 需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化， 特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化， 预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度， 从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少， 其中以微分方程模型最具代表性， 因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的 SIER 模型，将死亡

7、者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。 在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程， 得出模型。再利用 matlab 编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9 的传播做出建议。五、模型的建立和求解：5.1 传染病模型的准备不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点， 弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播， 而只是按一般的传播机理建立模型。查阅相关资料可知， 目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括

8、I 模型、 SI 模型、 SIR 模型、 SEIR模型等 2 。2I 模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者 ( 病人 ) 和未感染者 ( 健康人 ) ，结果发现，随着时间增加， 病人人数会无限增长，这显然不符合实际； SI 模型是 I 模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者， 但是该模型没有考虑到病人可以治愈， 导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者， 这也是不符合实际的； 在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下， SIR 模型对 SI 模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离

9、的情况。SEIR 模型 3-4 对 SIR 模型进行了改进， 增加了疑似患者， 考虑到了隔离强度，故我们选择 SEIR 模型进行此次建模。根据题目所给的条件，人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。根据 SEIR 模型重新归类，得到以下结果：（1）健康人群，即易感染（ Susceptibles）人群。记其数量为 S(t)，表示 t 时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；（2）确诊患者，即被感染（ Infection）该疾病的人群，记其数量为 I(t) ，表示 t 时刻已经确诊为患者入院的人数；（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量

10、为 E(t)，表示 t 时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为 Q(t) 表示 t 时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。（5）恢复人群（ Recovered），记其数量为 R(t)，表示 t 时刻已从感染病者中移出的人数， 包括死亡者和治愈者， 这部分人数既不是已感染者， 也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。该传染病的传播流程图如下：图 1传染病传播流程图5.2 传染病模型的建立 5传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。对 S来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为

11、潜伏期感染者流出 S；对于 E 来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人， 流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；对于 I 来说，它既有从包括隔离和未被隔离的 H 中确诊的流入者， 也有已经治愈的流出者； 对于 R 来说，它只有从 I 中治愈转化而来的流入者。 以上过程在传染的每一时刻都是相同的。 为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对 S、E、I 、R 取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：3a3 ，则有退出人数1 、控制前阶段：前两天，患者没有住院， 疑似患者没有被隔离， 患者可以随意接触和感染正常人。分析控制前 Vt 阶段时间内，疫情

12、的发展与变化。（ 1）正常人 -疑似患者：控制前阶段病人尚未被隔离， 所以疫情发展比较迅速， 此时病人人均每天接触 r 个正常人，假设t 时刻病人人数为I t，则新增疑似患者人数为E ，EI trtr I tt 。（ 2）疑似患者 -潜伏期：疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者， 病毒携带者会进入潜伏期， 而非病毒携带者最终还是正常人。设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为，假设 t 时刻疑似患者人数为 E t，潜伏期患者人数为Q t，则 Q tE t，故新增潜伏期人数为QE。（ 3）潜伏期 - 确诊患者：因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用1 表示这一特性。那么新增确诊患者

13、人数为 I 1 Q t t ，现在要确定 1 ，如果潜伏期天数为 a1 到 a2 ，假设其变化到了一个稳定阶段， 那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长， 则每天有 11 1/ a2 a1 e t 概率的人变为猪流感患者，即11 1 1/ a2 a1 e t。所以新增患者人数：I 1 1 1/ a2a1e tQ t 。（ 4）确诊患者 - 治愈、死亡：设 T 为退出系统人数（治愈者和死亡者） ，如果治愈天数设为 a3 ，那么 a3 天后病人要么死亡要么被治愈， 而被治愈的人产生抗体， 不再会被传染， 所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。设系统退出率为TIt2t

14、 。 2 的求解方法与1相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则21 1 1/ a3e t 。 故 新 退 出 传 染 系 统 的 人 数T1 1/ ae tI tt 。3根据上述（ 1）:（ 4）的式子可进一步得出：QEQ(tt)Q(t)rItt(1(11/ (a2a1 )e(t ) ) Q(t ) tIttI t111/a2a1etQ t(1(1(1/ a3) e t ) I t tTttTt(1(1(1/ a3)et )Itt所以得出以下：dQ / dtrI t(1(11/ (a2a1)e t )Q(t)tdI / dt(1 (11/ (a2a1) e( t ) Qt(1

15、(1 (1/ a3) eI tdT / dt1 1 1/ a3e tI t2、控制后阶段：4两天之后，患者全部住院， 疑似患者全部被隔离， 剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。分析控制后阶段 t 时间内，疫情的发展与变化。（ 1）正常人 -疑似患者：控制后阶段， 病人开始被隔离， 所以疫情发展开始变慢， 并受隔离强度p 影响，此时病人每天接触的E r ' I t正常人数目 r '也在变小，假设病人的数目为 It ，则疑似患者数目。 又因为接触率 r ' 与隔离强度 p 有关，也呈指数分布，所以 r 'r e pt ，故新增疑似患者的数目E

16、r e ptI tt 。（ 2）疑似患者 -潜伏期：不会改变。假设 t 时控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例刻疑似患者人数为 E t，潜伏期患者人数为 Q tE tu ，故新增潜伏期人数为 QE u 。（ 3）潜伏期 - 确诊患者：潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数I111/a2a1e tQt 。（ 4）确诊患者 - 治愈者、死亡者：同样退出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数T 1 1/ a3e t I tt 。（1）:（ 4）根据上述可进一步求得出：QEQ ttQ tr e ptI tt1 1 1/ a2a1e tQ ttI ttIt1 1

17、1/a2a1etQ tt(1(1(1/ a3) et I tt整理后得：dQ / dtr e ptI t1 1 1/ a2ae tQ tt1tdI / dt111/a2a1Qt(1(1(1/ a3)ette) IdT / dt(1(1(1/ a3)e) It5.3传染病模型的求解：1 、控制前：通过对模型的推导，我们发现不能给出每个函数的解析解，因此考虑利用 Matlab 中的 ode 系列函数进行求解。首先，对传染病模型进行标准化， 再带入参数， 并由此建立微分方程组函数文件，随后用 ode 函数对该文件进行调用， 即可得到微分方程组的解向量， 然后利用 plot 函数画出此解向量即可得到各

18、类人群岁时间变化的曲线图。控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示：5患者随时间的变化8000700060005000人/者 4000患300020001000000.20.40.60.811.21.41.61.82时间/天图 2 控制前患者的人数随时间的变化由上图可以看出控制前还未采取任何措施时，患者的人数迅速增加，类似于指数型增长曲线。 这是由于在开始的两天， 患者两天后才入院， 疑似患者两天后才被隔离缺乏。一方面，他们将病原体迅速地传染给了健康人；另一方面，他们由于缺乏治疗， 无法被治愈。当时，患者的数量越来越多， 增长速度越来越快。基本符合实际情况，可见模型的合理性。2、控制后：（1）

19、当 p0.4 隔离强度时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：x 104患者随时间的变化10max p=0.49t=6.5994ymax=93701.2174876人/者5患4321051015202530350时间/天图 3 控制后p0.4 时患者人数随时间的变化6由上图分析可知，两天后，对患者进行入院隔离， 对疑似患者进行部分隔离，使得新进入潜伏期的人数在减少。 因此，由于时间的延迟，患者人数的迅速增长，并在接下来的几天内达到峰值， 随后逐渐下降最后平缓的趋于零。 患者人数在增长趋于缓慢的几天后到达一个峰值。我们求得当隔离率为 p=0.4 时，患者人数大致在 7天时到达最大值 93701，

20、在 25天时基本没有患者。（ 2）改变隔离强度p=0.3 为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：x 105患者随时间的变化2max p=0.31.8t=7.8604ymax=186383.57531.61.41.2人/者1患0.80.60.40.2051015202530350时间/天图 4 控制后 p=0.3 时患者人数随时间的变化由上图分析可知，当 p=0.3 时，即隔离强度有所下降时，患者人数在前 8天属于迅速增长趋势，但增长趋势慢慢减缓。大概在第 8天，患者人数到达最大值186383，其后由于大量的患者被治愈且受感染的人数越来越少， 导致患者人数显著下降，大概在 28天之后基本没有

21、患者。（3）改变隔离强度 p=0.6 为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：7x 104患者随时间的变化max p=0.65t=5.41414.5ymax=47391.656143.53人/2.5者患21.510.5051015202530350时间/天图 5 控制后 p=0.6 时患者人数随时间的变化由上图分析可知，当 p=0.6 时，患者人数在前四天增长迅速，但由于隔离率很高，病情很快得到有效的控制， 使增长人数越来越少， 在第 5 天患者人数到达峰值为 47391，其后患者由于治愈人数越来越多，人数逐渐减少，在21 天时基本没有患者。3、控制前后模型总体：上图皆为总体模型的分图，在进

22、行总体分析时，可以进行进一步的表示。为更直观的比较不同隔离强度引起的患者人数变化情况， 我们作图 6 将不同强度的隔离强度情况相结合。 同时，为了贴合题意， 我们在图像上将控制前的两天和控制后的情况结合起来，得到总图如下所示：8x 105患者随时间的变化2max p=0.31.8t=7.8604ymax=186383.57531.61.41.2人max p=0.4/1者t=6.5994患0.8ymax=93701.21740.6max p=0.60.4t=5.4141ymax=47391.65610.2051015202530350时间/天图 6患者人数随时间的变化由上图分析可知，控制前，患者

23、人数的增长速度远高于控制后患者人数的增长速度，说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的； 三条曲线比较可知， 当隔离强度不同时， 对患者人数最高峰出现的天数和传染病传播的持续时间 （即患者全部痊愈没有再出现患者） 有极大的影响。 在隔离强度较小时，患者人数的最高峰出现时间靠后， 传染病持续的传播时间较长； 在隔离强度较大时，患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降， 因此传染病持续的时间比较短，更有利于传染病的控制。所以，在实际的传染病控制过程中，对传染病进行有效的控制，加大疑似患者隔离的强度是很有必要的。六、模型评价：优点：本模型中采用微分方程中的SEIR 模型，对传染病传播

24、做出合理假设，对人群进行了合理的分类， 并对其进行数据拟合， 得出传染病传播过程中， 各类人群的人数发展趋势， 采用数值计算 , 图形观察与理论分析相结合的方法, 先有感性认识，再用特殊点进行理论分析, 最后进行数值验证和估算, 可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。比较全面地达到了建模的目的, 即描述传播过程、分析感染人数的变化规律 , 可以有效预报传染病高潮到来的时刻和传染病将持续的时期，对群众接受传染病的预防知识起到很好的警示作用。通过这些数据， 政府可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。缺点：所建立的模型中， 没有考虑不同年龄段病毒的抵抗力不同， 且将治愈者和死亡者当作一类人进行了处理

25、， 题目只给出了患者治愈所需的天数， 没有给出患者死亡的概率，于是我们暂且认为其患者住院达到治愈天数时即被移出系统，可能是治愈也可能是死亡。 其所得的结果存在一定的误差，只能粗略的反应9此传染病的传播情况。要准确反映，需对模型进行进一步的改进。七、模型应用：根据建立的 SEIR 模型和计算所得的数据，我们发现，人群接触的人数r 值越大，正常人被感染的几率越大，疫情扩散得越快，因此在疫情期间，应减少公共活动，降低病毒的传播率；通过改变隔离强大的大小后比较可知，p 值越小病情越难控制，所以要保证患者能及时住院治疗， 从而遏制病毒的扩散； 综上所述，结合实际情况我们可以对控制 H7N9传播提供一些建

26、议：医院方面：医院应提高医院的医疗水平和卫生水平， 提高医疗工作人员的工作效率，加强医院的合理化管理， 加大对感染者的隔离力度， 这样有助于传染病的治疗和控制工作有序的展开：（1）根据人感染 H7N9 禽流感的流行病学特点，针对传染源、传播途径和易感人群，结合实际情况，建立预警机制，制定应急预案和工作流程。（2）医院应当规范消毒、隔离和防护工作，为医务人员提供充足、必要、符合要求的消毒和防护用品， 确保消毒、 隔离和个人防护等措施落实到位， 并加大隔离疑似病患的力度，这有利于传染病的快速控制。政府方面：应具有敏锐的警觉性， 在传染病开始广泛传播之前， 应迅速采取一定的方法进行控制：（1）根据

27、H7N9 病毒的特点，加强医院、学校、家禽养殖厂、活禽市场等这些重点区域的疫情防控，确保一旦发生疫情能及时应对和有效控制。（2）应对地方医疗保障措施进行完善， 防止患者不能及时就医的情况出现，增加传染病蔓延的趋势。（3）一方面应加大传染病的宣传力度，使公众对传染病有一定的警觉和预防意识；另一方面应进行科学的引导， 不造成公众的恐慌心理， 日常生活不受影响。个人方面：应加强对传染病的认识， 提高自身的科学知识， 不盲从，不恐慌，以正确的态度进行预防：（1）保持良好的个人卫生习惯，减少与家禽类的直接接触，减少去禽流感疫区。（2）加强体育锻炼，注意补充营养，保证充足的睡眠和休息，增强抵抗力。（3）不

28、要轻视重感冒， 禽流感的病症与其他流行性感冒病症相似， 如发烧、头痛、咳嗽及喉咙痛等，在某些情况下，会引起并发症，导致患者死亡。因此，若出现发热、头痛、鼻塞、咳嗽、全身不适等呼吸道症状时，应戴上口罩，尽快到医院就诊，并务必告诉医生自己发病前是否与病禽类接触等情况， 并在医生指导下治疗和用药。10八、参考文献：1 张彤 . 一类具潜伏期和非线性饱和接触率的流行病模型 J, 浙江工程学院学报 ,2004,21(2):136-140.2 姜启源，谢金星，叶俊 . 数学模型 . 高等教育出版社， 2003.135-1443 Anderson RM,May RM.Infection diseases of humans:dynamics and control.Oxford Univ press,Oxford,1991.4 张娟 . 马知恩 各仓室均有常数输入的 SEIR 流行病模型的全局分析2003(06).5 Pagilla PR.Robust decentralized control of large-scale inter