2015年高考复习核按钮理科数学—第八章立体几何

1、第八章立体几何8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图考纲解读|权威解读科学预删1 .认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2 .能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3 .会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其

2、空间图形的形式出现，考查空间想象能力.考点梳理，思勤笔卷定蛊砒1.棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相,其余各面都是,并且每相邻两个四边形的公共边都互相,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)棱锥：有一个面是,其余各面都是有一个公共顶点的,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台.注：由正棱锥

3、截得的棱台叫做正棱台.派2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是；两个底面与平行于底面的截面是的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是.(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的;棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个;侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个;侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个.(3)侧面是全等的;斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个;棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个3 .

4、圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以的一边、的一直角边、中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是、;平行于底面的截面都是4 .球(1)球面与球的概念以半圆的所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的.(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为5 .平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做.平行投影的投影线互相.6 .空间几何体的三视图、直观图(1)三视图空间几何体

5、的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的.三视图包括、.三视图尺寸关系口诀：长对正，高平齐，宽相等.”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等.(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴，使/xOz=且/yOz=.画直观图时，把Ox,Oy,Oz画成对应的轴Ox,Oy；Oz；使/xOy=,/xOZ=.xoy所确定的平面表示水平面.已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线

6、段，在直观图中分别画成x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形.【自查自纠】1. (1)平行四边形平行(2)多边形三角形2

7、. (1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3. (1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4. (1)直径球心(2)垂直于d=/R2?5 .平行投影平行6 .(1)正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)909045(或135)90平行于一半基础自测|小站全活牛刀小证口下列说法中正确的是()A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.国以下关于几何体的三视

8、图的论述中，正确的是（）A.球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.故选A.回（2012陕西）将正方体（如图a所示）截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为解: 选B.Q解:ABCD且BiC被遮挡为虚线.故还原正方体知该几何体侧视图为正方形，ADi为实线，BiC的正投影为AiD,用一张4cmX8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为cm2（接头忽略不计）.以4cm或8cm为底面周长，所

9、得圆柱的轴截面面积均为2cm2,故填丝.兀兀已知正三角形ABC的边长为a,那么4ABC的平面直观图ABC的面积为.13由图可知，AB=AB=a,OC=2OC=a,在图中作CDAB；垂足为DSABC=1ABXCD=14a=a222816故填费a2.16典例I解析分类解析触类帝通类型一空间几何体的结构特征（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）D解：D选项的正视图应为如图所示的图形.故选D.A, B, C 都【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型.本题可用排除法一一验证:有可能，而D的正视图与侧视图不可能相同.辱工3若某几何体的三视图如

10、图所示，则这个几何体的直观图可以是正视图制视图D也是符合的.故选D.解：从俯视图看，B类型二空间几何体的三视图：如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A.C.解:故选B.6 .312 3B,973D.18犯由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h=22221=*,底面积为9,所以体积V=9V3=9f3.【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生.对于空间几何体的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点.本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法长对正、高平

11、齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为h=cm.棱锥的高为hcm,则三棱锥的体积为V=34X5对冲=20,解得h= 4cm.故填 4.类型三空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.亚视图恻视图俯现图解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.画法：(1)画轴.如图1,画x轴、y轴、z轴，使ZxOy=45,ZxOz=90.图1(2)画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取。使。等于三视图中相应高度，过。作Ox的平行线Ox；Oy的平行线

12、Oy,利用OX与Oy画出底面ABCD.画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高度.（4）成图.连接PA；PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图所示.图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法， 建立x轴、y轴、z轴，使/xOy= 45, /xOz=90,确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图.已知一个四棱锥的高为方形，则此四棱锥的体积为 （）3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1C.7 D, 27231的正解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为i的正方形，该正方

13、形的对角线长为3=22.选D.33类型四空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1 ： 16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.解：设圆台的母线长为1,截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得，所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解.圆锥底面半径为1cm,高为 V2cm,其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长解：过圆锥的顶点S和

14、正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDDiCi如图所示.设正方体棱长为x,则CC=x,CiDi=M2x.作SOXEF于O,则SO=2。=2y3,侧面积为3X2X1=6,所以其表面积为6+23.故填6+2小.8 .如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为,圆锥母线长为20正视图10,则俯解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为视图中圆的面积为100兀，母线长为寸302+102=10a/i0,故填100兀；10瓶.9 .如图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图.解：图a中几何体三

15、视图如图 b所示:正视侧视府视图B10 .如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图.M视图图I解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体.斜二测画法：(1)画轴.如图2,画x轴，y轴，z轴，使/xOy=45,ZxOz=ZyOz=90.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF,在z轴上截取O,使OO等于正六棱柱的高，过。作Ox的平行线Ox,，Oy的平行线Oy,利用。攵与Oy画出底面ABCDEF.(3)画正六棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于正六棱锥的高.CC, DD, EE, FF,整理得到三视图表示的(4)成图.

16、连接PA；PB,PC,PD；PE,PF,AA；BB几何体的直观图如图3所示.H图2注意：图形中平行于 X轴的线段，在直观图中保持原长度不变;11.某长方体的一条对角线长为 由,在该长方体的正视图中，图3平行于 y轴的线段，长度为原来的一半.这条对角线的投影长为.6,在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a和b,求ab的最大值.解：如图，则有正视ACi= V7， DCi= 65BC1= a, AC = b,设 AB=x, AD=y, AA1 = z,有 x2+y2+z2=7, x2+z2=6, .y2=1. a2=y2+z2=z2+1, b2=x2+y2=x2+1,，a= z2+

17、 1, b= x2+ 1.j 22 z2+ 1 + x +1ab = 5/ (z2+1)()与2= 4,当且仅W z2+1 = x2+1,即x=z=*时，ab的最大值为4.陶加则 水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度 函数关系图象是()h与时间t的解:由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称.故选C.8.2空间几何体的表面积与体积考纲解读|权威解读科学预制1 .了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式.2 .会利用公式求一些简单几何体的表面

18、积与体积.高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题、填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积.考点梳理|，思勤笔卷定寒轴1 .柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧=,S正棱锥侧=,S正棱台侧=(其中C,C为底面周长，h为高，h为斜高).(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧=,S圆锥侧=,S圆台侧=(其中r,r为底面半径，l为母线长).(3)柱或台的表面积等于与的和，锥体的表面积等于与的和.2 .柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱=,V

19、棱锥=,V棱台=(其中S,S为底面积，h为高).(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱=,V圆锥=,V圆台=(其中r,r为底面半径，h为高).3 .球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积$球=.(2)半径为R的球的体积V球=.【自查自纠】11,、1. (1)Ch2Ch2(C+C)h，(2)2rll兀r+rl)(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积112. (1)Sh-Sh-h(S+VsS+S)33解：分两种情况：以边长为6兀的边为局时，4兀为圆柱底面周长，则271r=4兀，r=2,，$底=2=4%,S侧=6兀X47t=24t?,S表=2S底+S侧=8兀+24兀2=8兀（3#1）;以边长为4兀的

20、边为高时，6兀为圆柱底面周长，则27f=6& r=3.，Si?=疔2=9兀, 国正三棱锥的底面边长为S表=2S底+S侧=18兀+24兀2=6兀（4+3）.故选C.A.|mB. .2CV2,侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）解：二正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点,为山，v=1x1%的2H2=坐.故选c.323已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为A.1 ： 2 B. 2 ： 1C. 2 ： 3 D. 3 ： 2解:设球半径为R,圆柱底面半径为 R,高为2RV球=1求3, V圆柱=tR2 2R=2tR3,Y圆柱：3V 球

21、=3 ： 2.故选D.EJ长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB= 2,AD =寸3,AA1 = 1 ,则球面面积为解：.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为 UAB2+AD2+AA2 = 242, .半径R=山.S球=4 tR2= 8兀故填8兀目若圆锥的侧面积为 2国底面面积为 兀，则该圆锥的体积为解：设圆锥底面半径为r,母线长为l ,则2兀r=兀,有r= 1,!=2,从而可知圆锥的高 h = l2-r2 =，4= AE=2X63/3=9d3,在RtSHA中，SA=如，AH=2/3,SH

22、=SA2AH2=15-12=艰.V正三棱锥=1ABCXSH=1X932=9.331【评析】（1）求锥体的体积，要选择适当的底面和局，然后应用公式V=-Sh进行计算.（2）求空间几何体体3积的常用方法为割补法和等积变换法：割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用等积性”还可求熏到面的距离如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且AADE,BCF均为正三角形，EF/AB,EF=2,则该多面体的体积为-4C.3解：如

23、图，过A, B两点分别作AM3 D.2BN垂直于EF,垂足分别为 M, N,连接DM, CN,可证得DM，EF ,CNXEF,则多面体 ABCDEF分为三部分,即多面体的体积VaBCDEF = VAMD-BNc+ VE-AMd + VF-BNC.依题意知AEFB为等腰梯形.易知RtADMERtACNF,.EM=NF=2.又BF=1,BN=3.2作NH垂直于BC,则H为BC的中点，NH=-.SABNC=2BCNH=-42.-v-onf一2vf-bnc-3bncNF24，_2_2Ve-AMD=VF-BNC=24，VAMD-BNC=SABNCMN=4.2-VABCDEF=3,故选A.类型四空间旋转体

24、的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.2兀8-TC.兀B. 8-3D2-解:正（主】视图侧L左）视图俯视图由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V=23-故选A.（2012河南模拟【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算.）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图、侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A.C.2 132Z 1664兀 1.36D”D. 3 2惆视图解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图

25、中的数据可得X1MI1=2-+6.故选C.名师点津揭示规律总皓方法1 .几何体的展开与折叠（1）几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法.（2）多面体的展开图直棱柱的侧面展开图是矩形；正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形.(3)旋转体的展开图圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；圆台

26、的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长.注：圆锥中母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动11手推导，加深理解.圆锥和圆台的侧面积公式S圆锥侧=2cl和S圆台侧=2(c+c)l与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆.2 .空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法.(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需

27、将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.3 .空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.(3)利用三棱锥的等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题.4 .由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下

28、三个步骤求解：(1)由三视图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过割补”后，转化为规则几何体求解.课时作业|查漏扑缺拓展延伸1.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为()A.2B.、/2tiC.|Da/3tt23解：易知圆锥的底面直径为2,母线长为2,则该圆锥的高为后不=73,因此其体积是kM3=|Jt.33故选C.2 .一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是&3,乖,则这个长方体的体对角线的长是()A.2mB.3V2C.6D善解：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有ab

29、=R2r2=当，SC为球O的直径？点S11326_2V=SaabcX2d=xV七.33436解法二：V4/2+1X8X5=40+24/2.个高为x的内接圆柱.当x为何值时,11 .一个圆锥的底面半径为R=2,高为H=6,在这个圆锥内部有圆柱的表面积最大？最大值是多少？解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径为r,则RR=Hx，解得 r=R 一皋=2-1x.圆柱的表面积S= 2 兀？ - 3x + 2 兀？ 一13x.S是x的二次函数，且开口向下.3.Jx= 3时，S取得最大值9兀.附加逋（2013湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为Vi, V2

30、, V3, V4,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有正视图侧规图楣f视图A.V1V2V4V3B,V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V11x计44T兀3,、7兀一.2_3.1，/、28.+4nt)=,V2=兀X1X2=2&V3=2=8,V4=%X1X(4+-4M6+16)=%.综上可知，V2V1V3V4.故选C.3338.3空间点、线、面之间的位置关系考纲解读|权成解读科学预制1 .理解空间直线、平面位置关系的定义.2 .了解可以作为推理依据的公理和定理.3 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节内容在高考中常以几何体为载

31、体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等.题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.考点梳理学忠勤芯存实基地4 .平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或.(2)公理2:过上的三点，有且只有一个平面.公理2的推论如下：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面.(3)公理3:如果两个

32、不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题.5 .空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类1相交直线：同一个平面内有且只有产面直线;平行直线：同-个平面内.一鼻面直线：不同在任何一个平面内.(2)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注：异面直线定义中不同在任何一个平面内的两条直线”是指不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为分别在两个平面内的两条直线”异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需

33、要以辅助平面作为衬托，以加强直观性.异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a7/a,b7/b,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是.若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线,所以空间两条直线垂直分为相交垂直和.6 .平行公理公理4:平行于的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了判断空间两条直线平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.【自查自纠】1 .（1）两点直线在平面内（2）不在一条直线（3）有且只有一条2 .（1）一个公共点没有公共点没有公共点（2）21互相垂直异面垂直3

34、.同一条直线4 .相等或互补基础自测|小为全活牛刀小流D（2013安彳t）在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A是面面平行的性质定理，故选A.国若/AOB=/A1O1B1,且OA/O1A1,OA与0小的方向相同，则下列结论中正确的是（）A. OB/O1B1且方向相同B. OB/O1B1C.OB与O1B1不平行D. OB与O1B1不一定平行

35、解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角.故选D.E1若点PC”，QC%RC&m,且REm,PQAm=M,过P,Q,R三点确定一个平面丫，则3n丫是（）A.直线QRB.直线PRC.直线RMD,以上均不正确解：1.PQnm=M,m?巴.MC0又MC平面PQR,即MC%故M是3与丫的公共点.又R3,RC平面PQR,即RC%，R是3与丫的公共点.3n产MR.故选C.H给出下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线，则此四点必共面；空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面.其中正确命题的序号是.解：易知正

36、确.故填.目在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小是.解：如图所示，取BD的中点G,连接EG,GF,根据题意有EG/AD,GF/BC,.直线AD与BC所成11的角与直线EG与GF的夹角相等，即/EGFJC-AD=6,BC=8,.EG=2AD=3,GF=/BC=4,在EGF中，EF=5,，EF2=EG2+GF2.，/EGF=90,则异面直线AD与BC所成的角为90.故填90.典例解析分矣解析触类套通类型一基本概念与性质问题如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD，底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A. ACX

37、SBB. AB/平面SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解：由线面垂直关系知AC,SB.由线面平行判定知AB/平面SCD.由图形对称性知C也正确.对于选项D,AB与SC所成的角为ZSCD,DC与SA所成的角为ZSAB=90,，D错.故选D.【评析】此题虽是小题，但对空间中的线与线和线与面的关系的考查却很深刻，除用常规的方法证明垂直与平行外，对运用线面角、异面直线所成角和二面角的定义证题的方法也要熟练掌握，否则此题若建系求解，就会造成小题大作”，浪费时间.变式如图，已知正方体 ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在直线与直线

38、 BA是异面直线?(2)直线BA和CC的夹角是多少？哪些棱所在的直线与直线AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱 AD(2)由BB 7/ CC可知，/ BBA为异面直线 45.(3)直线 AB, BC, CD, DA, AB； BC,DC, CC, DD, DC, BC所在直线分别与直线 BA是异面直线.BA与CC的夹角，/BBA= 45,所以直线 BA与CC的夹角为CD； DA分别与直线 AA垂直.类型二点共线、线共点问题如图，E, F, G, H分别是空间四边形内AB, BC, CD , DA上的点，且 EH与FG交于点O.求证：B,D,。三点共线.证明：二.点EC平面ABD,点HC

39、平面ABD,EH?平面ABD. EHAFG=O, 点OC平面ABD.同理可证点OC平面BCD. 点Oe平面ABDn平面BCD=BD.即B,D,O三点共线.【评析】（1）本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点.在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3,这种方法是证明点共线的通用方法.（2）证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AAi的中点.求证：（1）EF/D1C；(2)CE,D1F,DA三线共点.证明：(1)连接AB,则EF/A1B,A1B/D1C.EF/D1C.(2),.面DAA面CA=DA,1且EF/DC,EF=2D1C,D1F与CE相交.又DF?面D1A,CE?面AC,D1F与CE的交点必在DA上.CE,DF,DA三线共点.类型三共面问题如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，/BAD=ZFAB=90,BC触；AD,BE触2FA,G、H分别为FA、FD的中点.B(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：GH是4AFD的中位线，GH触2a