河南2014高三数学理一轮复习试题选编 20：几何证明

1、河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编20：几何证明一、解答题 （河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）选修41:几何证明选讲如图,已知O是ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是O的直径.()求证:ACBC=ADAE; ()过点C作O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.【答案】 （河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题）选修4-1:几何证明选讲如图,A,B,C,D四点在同一圆O上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.()若=,=,求的值;()若EF2=FAFB,证明:EFCD.【答案】 （河南省

2、郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-1 :几何证明选讲 如图,AB是0的一条切线,切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是O的割线,已知AC=AB.(1)求证:FG/AC;(II)若CG=1,CD=4,求的值.【答案】解:()因为为切线,为割线, 又因为,所以. 所以,又因为,所以, 所以,又因为,所以, 所以 ()由题意可得:四点共圆, . . . 又,=4 （河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修41:几何证明选讲如图,已知PE切于点E,割线PBA交于A、B两点,的平分线和AE、BE分别交于点C、D.(1)CE=DE; (2).【答案】 解:()

3、于点,. , . (), , 同理, . （2011年高考（新课标理）选修41:几何选讲如图,分别是的边,上的点,且不与的顶点重合,已知的长为,的长为,的长是关于的方程的两根.()证明:,四点共圆;()若=,且=4,=6,求,所在圆的半径.【答案】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质,是容易题. 【解析】()连结DE,根据题意在和中,=, 即,又, , , C,B,D,E四点共圆 ()当=4,=6时,方程的两根为=2,=12, 故=2,=12, 取的中点,的中点,分别过,作,的垂线,两垂线交于点,连结,由()知C,B,D,E四点共圆, C,B,D,E四点所在圆的圆心为,半径为, =, =5,=5

4、, C,B,D,E四点所在圆的半径为. 【解题指导】对证明四点故圆问题,可证对角互补或一外角等于内对角或通过证明其中三点与非这四点中另外两点分别在两个圆上,因这两个圆的由不共线的三个公共点,必重合而得证,求圆的半径注意利用圆的性质. （河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学（理）试题）如图,四边形是圆内接四边形,延长与的延长线交于点,且, .(1)求证:; (2)当时,求的长. 【答案】解:() 因为四边形为圆的内接四边形,所以 又所以,则. 而,所以. 又,从而 ()由条件得 . 设,根据割线定理得 ,即 所以,解得 ,即. （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(

5、四) 数学（理）试题（word版)）选修41:几何证明选证如图,四边形ABDE是圆内接四边形,延长AD与CE的延长线交于点B,且AD=DE,AB=2AC.(1)求证:BE=2AD;(2)当AC=2,BC=4时,求AD的长.【答案】 （2013课标2卷高考数学（理）选修41几何证明选讲:如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.()证明:是外接圆的直径;()若,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值.【答案】()因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A,由题设知 故CDBAEF,所以DBC=EFA. 因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=C

6、FE=90. 所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径. ()连结CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE, 由DE=BE,有CE=DC,又BC2=DBDA=2DB2 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 （河南省信阳高中2013届高三4月模拟考试（一）数学理试题）选修4-1:几何证明选讲如图所示,已知PA与O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CDAP,AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2 = EFEC.(1)求证:CEEB = EFEP;(2)若

7、CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA的长.【答案】(I), 又, 又,5分 (II), 是的切线, （河南省郑州市第四中学2013届高三第十三次调考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,已知O的半径为1,MN是O的直径,过M点作O的切线AM,C是AM的中点,AN交O于B点,若四边形BCON是平行四边形;()求AM的长;()求sinANC.【答案】解:()连接,则, 因为四边形是平行四边形,所以, 因为是的切线,所以,可得, 又因为是的中点,所以, 得,故. ()作于点,则,由()可知, 故. （2010年高考（全国新课标理）选修41;几何证明选讲

8、如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:()=;();【答案】(I)因为AC=BD,所以 又因为EC与圆相切于点C,故, 所以 (II)因为 所以 即 （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-1.:平面几何已知.AB为半圆O的直径, AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作ADCD于D,交圆于点E,DE=1.(I)求证:AC平分BAD;()求BC的长. 【答案】 （河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）选修4-1:几何证明选讲如图,在ABC中,C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别

9、是边AC和BC上的点,且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I)求证:E、H、M、K四点共圆;()若KE - EH,CE=3,求线段KM的长.【答案】 （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）如图,已知:是以为直径的半圆上一点,于点,直线与过点的圆的切线相交于点为中点.连接并延长交于点,直线交直线于点()求证:是的中点()求证:是的切线【答案】 （河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题）选修41:几何证明选讲如图,已知0和M相交于A、B两点,AD为M的直径,直线BD交O于点C,点G为弧BD中点,连结 AG分别

10、交0、BD于点E、F,连结CE.(I)求证:AGEF=CEGD;(II)求证:【答案】证明:()连结AB、AC,AD为M的直径, ABD=90,AC为O的直径, CEF=AGD=90.2分 G为弧BD中点,DAG=GAB=ECF. 4分 CEFAGD,AGEF = CEGD 6分 ()由知DAG=GAB=FDG,G=G, DFGAGD,DG2=AGGF.8分 由知,10分 （河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题）(本题满分 10分)选修 4 一 l :几何证明选讲如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直线交圆 O于点 Q

11、,交圆 B 干点 M , N . (1)求证: QM= QN ;(2)设圆O的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当 时,求 MN 的长. 【答案】 （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,已知四边形ABCD是梯形,且是圆的直径,直线MN与圆相切于点A.(1)若,且圆O的面积为,求AB的长;(2)在(1)的条件下,求梯形ABCD的周长.【答案】 （2012年新课标理）选修4-1:几何证明选讲如图,分别为边的中点,直线交的外接圆于两点,若,证明:(1);(2)【答案】(1),(2)（2013课标1卷高考数学（理）选修41:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C

12、在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D. ()证明:DB=DC;()设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.【答案】【解析】()连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,ABF=BCE,ABE=CBE,CBE=BCE,BE=CE, 又DBBE,DE是直径,DCE=,由勾股定理可得DB=DC. ()由()知,CDE=BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,BG=. 设DE中点为O,连结BO,则BOG=,ABE=BCE=CBE=, CFBF, RtBCF的外接圆半径等于. （河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）选修4一

13、1:几何证明选讲在ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是ADF的外心.()证明:D,E,F,O四点共圆;()证明:O在DEF的平分线上.【答案】证明:() 如图,DEF=180-(180-2B)-(180-2C)=180-2A. A C E B D O F 因此A是锐角, 从而的外心与顶点A在DF的同侧, DOF=2A=180-DEF. 因此D,E,F,O四点共圆 ()由()知,DEO=DFO=FDO=FEO, 即O在DEF的平分线上 （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-1:几何证明选讲如图,ABC内接于O,AB =

14、AC,直线MN切O于点C,弦BDMN,AC与BD相交于点E.(1)求证:ABEACD;(2)若AB =6,BC =4,求AE.【答案】选修4-1:几何证明选讲 解:()在ABE和ACD中, ABE=ACD 又,BAE=EDC BD/MN EDC=DCN 直线是圆的切线,DCN=CAD BAE=CAD (角、边、角) 5分 ()EBC=BCM BCM=BDC EBC=BDC=BAC BC=CD=4 又 BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8分 设AE=,易证 ABEDEC 又 10分 （河南省郑州四中2013届高三第六次调考数学（理）试题）选修41:几何证明选

15、讲如图,BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.()求证:;()若,求的值.【答案】 解:()如图,连接CE,DF. AE平分BACBAD=DAC 在圆内又知DCE=EFD,BCE=BAE. EAF=EFD 又AEF=FED, AEFFED, , 要证明角度相等,找中间角度作为桥梁. 要证明,可以把乘法变为除法,变为:,于是得到“分子三角形和分母三角形”:.这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形.这样就可以做出辅助线,构造相似三角形. 另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢. ()由()知EF=3,AE=6, ED=3/2,AD=9/2 ACAF=ADAE=27 （河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）选修4-1,几何证明选讲如图,在ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B作BECA于点E,BE交圆D于点F.(1)求ABC的度数;(2)求证:BD=4EF【答案】 （河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学理试题）选修41:几何证明选讲如图,已知PA是O的切线,A是切点,直线PO交O于B、C两点,D是OC的中点,连结AD并延长交O于点E,