七年级数学下学期全等三角形辅助线的做法

1、全等三角形辅助线的做法、知识点讲解:在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段（角）的相等关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.这种方法也是常说的“倍长中线法”3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角

2、形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）图形变换5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.、典型例题:一、倍长中线（线段）造全等1:（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5,AC=3则中线AD的取值范围是2:如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上,DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.AE3:如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.及时应用（09

3、崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90,连接de,M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.二、截长补短1 .如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证：CDLAC2:如图,AD/BC,EA,EB分别平分/BAD/CBACD过点E,求证；AB=AD+BC3:如图，已知在.A

4、BC内,BAC600,C40°,P,Q分别在BCCA上，并且AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4:如图，在四边形ABCD43,BOBA,AD=CDBD平分ABC,求证：AC180°5:如图在ABC中，AB>AC,/1=/2,P为AD上任意一点，求证;AB-AC>PB-PC中考应用（08海淀一模）如图，在四辿形4口S中4。/EC,点历是八日上一个弱点，茬工月口60°*曰=以3口£皿汇=的",判断与EC的关系弁证明你的结论.解三、图形变换轴对称为4ABC的角平分线，直线MNLAD于为MNLh一点，AB

5、C长记为PA,EBC周长记为PB.求证PB>Pa.平移2:如图，在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.旋转1:正方形ABCD43,E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.BEC2 .如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN则AMN的周长为;四、借助角平分线造对称型全等1:如图，已知在ABC中，/B=60°,ABC的角平分线AD,CE相交于点Q求证：OE=OD3 :（06郑州市中考题）如图，ABC中，A叶分/

6、BACDGLBC且平分BQDEIAB于E,DF,AC于F.（1）说明BE=C用勺理由；（2）如果AB=a,AC力，求AE、BE的长.3、如图，已知OP平分/AOB,C,D分别在OA、OB上，若/PCO+/PDO=180°,求证：PC=PD.ACPO4>PNPB及时应用（1）中的其它条件不变中所得结ACB不是直角BBMDFDPOCAC及时应用CFBBBCFDDDN如果/请证明EM(1)在ABC中/ACB是直角请你判断并写出ABBCPNvPNM、N,那么D.无法确定PA、PC分别是ABC的外角/DACEMAD、CE相交于点F如图，在ABC中论是否仍然成立若成立（06北京中考）如图，

7、OP是/MON的平分线时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明.EMDBCNEBAC、/BCA的平分线B=60°,AD、CE分别是/当/MBN绕B点旋转到AECF当/MBN绕B点旋转到AECFDC（或它们的延长线）于1）,易证AECFEFAE,E,FCFNECA的平分线，PM与PN的关系是PM±BD,PN±BE,垂足分别为CFN（07佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD,BCCDZABC120-MBNANEF(西城09年一模)已知：PA=V2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使P、D两点落在

8、直线AB的两侧.(1)如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.(09崇文一模)在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为八ABC外一点，且BM、NC、MNMDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时,之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q；L(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗写出你的

9、猜想并加以证明；(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=X,则Q=(用x、L表示).四、巩固练习1.如图，已知，AB=AD,CB=CD,试证明:2.求证三角形一边的中线小于其他两边的一半。3 .已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是4 .已知 ABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延长线上一点，且求证：DF=EFBD=CE DE与BC交于点F。5.如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.A6 .如图，ABC中，E、F分别在ARAC上，D已DF,D是中点，试比较BE+CFWEF的大小.7 .如图

10、，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证:8 .如图，在ABC中，AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证：AC=BF9 .如图，在ABC中，/C=2/B,/1=/2,试证明AB=AC+CD10 .如图，已知ABC中，边BC上的高为AD,且/B=2/C.求证：CD=AB+BD11 .如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证：CDLACC14.如图，在四边形ABCD中，BO BA,AD= CD, BD平分 ABC ,求证:12 .如图，AC/BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBACD过点E,求证;AB=AC+BD13 .如图，已知在&

11、;ABC内，BAC600,C40°,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ另U是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPAC1800B15如图在ABC中，AB>AG/1=/2,P为AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PC如图，在四边形ABCD,分线，AD BE,垂足为D,AD 60求证：/ BAD4 DAC吆 C知，如图，在MBC中,BE是角平1、如图，已知MB=ND,/MBA=/NDC,下列条件不能判定ABMCDN的是（）(A) /M=/NC(B) AB=CD(C) AM=CN(D) AM/CN2、如图，D在AB上，E在AC上，且/B=ZC,那么补充

12、下列一个条件后，仍无法判断ABE0ACD的是()(A) AD=AE(B) /AEB=/ADC(C) BE=CDAC / MP3、已知，如图,M、N 在 AB 上，AC=MP , AM=BN , BC=PN。求证:(D) AB=AC4、已知，如图，AB=CD,DF±AC于F,BE±AC于E,DF=BE。求证：AF=CE。5、已知，如图,AB、CD 相交于点 O, ACOBDO, CE/ DF。求证：CE=DF。6、已知，如图,AB ±AC , AB=AC, AD ±AE , AD=AE。求证：BE = CD。7、已知，如图,四边形 ABCD是正方形， EC

13、F是等腰直角三角形，其中CE=CF , G是CD与EF的交点，求证：BCFADCE8、如图，DE，AB,DFXAC,垂足分别为E、F,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。AB=ACBD=CDBE=CF9、如图，EG/AF,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。AB=ACDE=DFBE=CF10、如图，正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。求证：BCGDCEBHXDE11、如图，ABC中，AB=AC,过A作GB/BC,角平分线BD、CF交于点H,它们的延长线分别交GE于E、G,试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。12、如图所示，己知明。AB / DE , AB=DE , AF=DC ,ACD13、如图，AB=AD,BC=CD,AC、BD交于