高中数学选修计数原理练习

1、第十一章计数原理第1讲两个基本计数原理考点梳理1分类加法计数原理完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1×m2××mn种不同的方法【助学·微博】两个原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互

2、独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可考点自测1“海山联合2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有_种解析若中方选出一架飞机，则选法有CCC120(种)；若俄方选出一架飞机，则选法有CCC60(种)故不同选法共有12060180(种)答案1802(2012·

3、全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_种解析甲先排在其余4个位置上有C种方法，剩余元素则进行全排列，有A种排法，由分步乘法计数原理，得一共有CA480(种)答案4803(2012·广州模拟)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成_个集合解析CCCCCC26(个)答案264(2010·湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和

4、1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1CC11.答案115.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有_种解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2115(种)法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C(i1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C

5、CCC15(种)答案15考向一分类加法计数原理【例1】 若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合Aa1，a2，a3的不同分拆种数有多少个？解若A1，则A2a1，a2，a3；若A1a1，则A2a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，则A2a1，a3或a1，a2，a3；若A1a3，则A2a1，a2或a1，a2，a3；若A1a1，a2，则A2a3或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a3，则A2a2或a1，a2或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，a3，则A2

6、a1或a1，a2或a1，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a2，a3，则A2或a1或a2或a3或a1，a2或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3故不同的分拆种数为13×23×4827.方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4

7、32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)由分类加法计数原理知，共有32840(个)考向二分步乘法计数原理【例2】如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CCCCCC个平行四边形方法总结 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完

8、这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”【训练2】 由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成4364(个)3位数(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×224(个)(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个考向三涂色问题【例3】

9、如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)根据分步计数原理共有5×4×3×3180(种)涂色方法法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A60(种)涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3180(种)涂法方法总结 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类

10、涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法数解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×360(种)染色方法当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染

11、3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7420(种)法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1

12、15;32×2)420(种)法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A2×AA420(种)热点突破28两个计数原理的综合应用高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键【示例】(2012·四川卷改编)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,

13、2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条审题与转化第一步：以y的系数a的取值为标准进行分类令a依次取值1,2,3，2，3.第二步：在a值确定的情况下，再依次确定c、b2值规范解答第三步：当a1时，若c0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×48(条)抛物线；当a2时，若c0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；若c0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线共有3223

14、313(条)抛物线同理，a2，3,3时，共有抛物线3×1339(条)由分类加法计数原理知，共有抛物线39138262(条)反思与回顾第四步：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用高考经典题组训练1(2012·北京卷改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_个解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇对(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12618(个)答案182(2012·浙江卷改编)若

15、从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种解析4个数和为偶数，可分为三类四个奇数C，四个偶数C，二奇二偶，CC.共有CCCC66(种)不同取法答案663(2012·课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种解析甲地由1名教师和2名学生：CC12(种)答案124(2011·北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)解析法一数字2只出现一次的四位数有C4(个)；数字2出现两次的四位数有CC

16、6(个)；数字2出现三次的四位数有C4(个)故总共有46414(个)法二由数字2,3组成的四位数共有2416(个)，其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16214(个)答案145(2012·大纲卷改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种解析利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×212(种)答案12分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每

17、小题5分，共30分)1由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有_个解析可用排除法，由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A18(个)，故共有19218174(个)答案1742(2012·长春市三测)现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有_种解析首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为A，即满足题意的情况共有CCA144(

18、种)答案1443某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×127 200.答案7 2004.(2012·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同

19、的涂法共有_种解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有6×5×4×(13)480(种)答案4805高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，三个班去何工厂可自由选择，但甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有_种解析三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337(种)答案376(2011·全国卷改编)4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有_种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程

20、甲共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法故共有C×2×224(种)答案24二、解答题(每小题15分，共30分)7.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有多少种？解先涂A、D、E三个点，共有4×3×224(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×11×2)8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×

21、;11×2)3(种)涂法所以涂色方法共有24×(83)264(种)8现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×41 280(种)不同的排法分层训练

22、B级创新能力提升1(2012·无锡调研)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2402.(2013·盐城检测)数字1,2,3，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有_种

23、解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×312(种)填法答案123(2010·上海)从集合Ua，b，c，d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有AB或AB.那么，共有_种不同的选法解析将选法分成两类第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C×624(种)第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合

24、，有C×212(种)综上共有241236(种)答案364(2012·揭阳一中检测)用n个不同的实数a1，a2，an可得到n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵，对第i行ai1，ai2，ain，记biai12ai23ai3(1)nn·ain，i1,2,3，n！.例如：用1,2,3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1b2b6122×123×1224.那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，b1b2b120等于_解析在用1,2,3,4,5形成的数阵中，每一列的和为(12345)×A360，b1b2b1

25、203602×3603×3604×3605×3603×3601 080.答案1 0805(2012·扬州调研一)用n种不同的颜色为两块广告牌着色(如图甲、乙所示)要求在，四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若n6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为，这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种数，因此有：(1)为区域着色时有6种方法，为区域着色时有5种方法，为区域着色时有4种方法，为区域着色时有4种

26、方法，依据分步(乘法)计数原理，不同的着色方法为6×5×4×4480(种)(2)由题意知，为区域着色时有n种方法，为区域着色时有(n1)种方法，为区域着色时有(n2)种方法，为区域着色时有(n3)种方法，由分步计数原理得不同的着色数为n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)120.而1205×4×3×2，n5.6(2012·镇江调研二)已知集合Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是从A到B的映射(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，这样的f有多少个？(3)若f满

27、足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×124(个)(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法所以不同的f共有3481(个)(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C12(种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C6(种)方法；第

28、四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C12(种)方法所以不同的f共有11261231(个).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计·高考总复习光盘中内容.第2讲排列与组合考点梳理1排列与排列数(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)，其中n，mN*，且mn.

29、(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，An·(n1)·(n2)··2·1n！.排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！1.2组合与组合数(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示(3)组合数的计算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)组合数的性质：CC；CCC.【助学·微博】解决排列类应用题的主要方法(1)直接

30、法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直接处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列组合数公式的两种形式组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式

31、及合并组合数简化计算注意公式的逆用即由写出C.考点自测18名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有_种解析可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6AA4 320(种)方式答案4 3202若甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两

32、位前面不同的安排方法共有_种解析分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法；AAA20(种)答案203(2010·山东卷改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种解析因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法当甲排在第一位时，有A24(种)排法；当甲排在第二位时，有A·A18(种)排法，所以共有方案241842(种)答案424(2013·温州检测)如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要

33、求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种123312231解析只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此填写方法共有AA12(种)答案125(2013·南京师大附中阶段检测)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是_(用数字作答)解析可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC20(种)排法也可先

34、排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA20(种)排法答案20考向一排列问题【例1】 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后两排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人解(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选

35、择，有A种，其余6人全排列，有A种由分步计数原理得AA2 160(种)(2)位置分析法(特殊位置优先安排)先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种则符合条件的排法共有AAAA3 720(种)(3)捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有AA720(种)(4)插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA144(种)(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA1 440(种)(6)定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此AN

36、15;A，N840(种)(7)与无任何限制的排列相同，有A5 040(种)(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有A×A×A720(种)方法总结 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路【训练1】 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间

37、解(1)法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A种，故共有6·A241 920(种)排法法二(位置分析法)中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A336×720241 920(种)排法法三(等机会法)9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×241 920(种)法四(间接法)A3·A6A241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A10 080(种)排法(3)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A

38、3;A2 880(种)排法考向二组合问题【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解(1)一名女生，四名男生故共有C·C350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：C·CC·C825(种)或采用排除法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：

39、有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：C·CC·CC966(种)(5)分两类：第一类女队长当选：C；第二类女队长不当选：C·CC·CC·CC.故选法共有：CC·CC·CC·CC790(种)方法总结 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序，从而造成计算错误【训练2】 已知甲、乙两人从4门课程中各选修2门(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙

40、所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC24(种)(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CCC30(种)考向三排列、组合的综合应用【例3】 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？(5)把4个不同的小球换成4个相

41、同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解(1)有44256(种)放法(2)有A24(种)放法(3)先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有CA144(种)放法(4)有C×28(种)放法(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个球，由于球相同，所以共有CC12(种)放法方法总结 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准【训练3】 有6本不同的书按下列

42、分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本解(1)分三步：先选一本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；对于余下的三本全选有C种选法，由分步乘法计数原理知有CCC60(种)选法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有CCCA360(种)选法(3)先分三步选取，则应是CCC种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F，若选取时选取了(AB，CD，EF)，则CCC种分法

43、中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A种情况，而且这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只算作一种情况，故分配方式有15(种)(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有·ACCC90(种)热点突破29有限制条件的排列、组合问题在高考中，主要考查用排列、组合知识解决实际问题注重对学生理解、分析和解决问题的能力及分类讨论思想的考查【示例】(2012·山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不

44、同取法的种数为_审题与转化第一步：无红色时，分3张不同色和2张同色两类；有红色时，分剩余2张同色与2张不同色两类规范解答第二步：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C×C×C64(种)，若2张同色，则有C×C×C×C144(种)；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C192(种)，剩余2张同色，则有C×C×C72(种)，所以共有6414419272472(种)不同的取法反思与回顾第三步：解决这类问题通常有以下三种方法：(1)元素分析法：以元素为主，应先

45、满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)位置分析法：以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数高考经典题组训练1(2012·辽宁卷改编)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_(用阶乘表示)解析由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法3！，三个家庭即(3！)3，三个家庭又可全排列，因此(3！)4答案(3！)42(2011·全国卷改编)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_种解

46、析分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C6(种)方法；选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C4(种)方法不同的赠送方法共有6410(种)答案103(2010·四川卷改编)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_解析分析可知5只能在第1,2,4,5位，5在第1位，1与3在第3,4,5位，有A·A36(个)；5在第2位，1与3在第4,5位，有A·A12(个)；5在第4位同第2位，在第5位同第1位，故共有(3612)×296(个)答案964(2011·湖北卷)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当

47、n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)123456解析如图所示的六个正方形若互不相邻有：不着黑色，共有1种；着一格黑色共有C6(种)；着两格黑色共有CC10(种)；着三格黑色共有4种共计21种所有着色情况共有2664(种)，又由上知互不相邻的着色方案有21种故至少有两个相邻的着色方案共有642143(种)答案21435(2012·湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回

48、文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个解析从左右对称入手考虑(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×1090(个)，即4位回文数有90个(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n1(nN)位回文数有9×10n个答案909×10n分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1某班新年

49、联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单，那么不同插法的种数为_解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA12(种)排法；若两个节目不相邻，则有A30(种)排法由分类计数原理共有123042(种)排法(或A42)答案422(2010·北京卷改编)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为_种解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有A种排法，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以最终有A·A种排法答案AA32010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别

50、从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种解析若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有AA12(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：CAA24(种)，由分类计数原理知不同的选派方案共有36种答案364某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理共ACA60

51、(种)方法答案605有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A840(种)答案8406将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有_种解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CACA种方案因此满足条件的不同方案共有CACACA24(种)答案24二、解答题(每小题15分，共30分)7在10名

52、演员中5人能歌8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？解本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔故选法种数是CCCC245(种)8某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人

53、参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CCC6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CCCCCCCC14 656(种)方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C(CC)14 656(种)分层训练B级创新能力提升1(2012·苏锡常镇调研)甲、乙、

54、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析当每个台阶上各站1人时有CA种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有ACCCC210126336(种)答案3362(2012·无锡调研)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C种，最后安排其他两辆车共有A种方法，不同的调度方法为C·C·A120(种)答案1203(2013·盐城模拟)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是_解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如甲丙乙共有4AAA种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如乙甲丙共有2AA种排法根据分类计数原理共有4AAA2AA288(种)不同排法答案2884(2013·苏州期末调研)以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有