中学数学信息网系列资料

1、2021年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准A卷说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设 9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次.、选择题此题总分值 36分，每题6分1 函数 f(x)=5 -4x x22 x上的最小值是A . 0B. 1C. 2解当x ：:2时,2 -x .0，因此 f (x)=21(4 -4x x )(2 -x) _2 ,(2 -x)

2、-：,2，因此 f x在-：,2上=2，当且仅当=2-x时上式取等号而此方程有解2 x的最小值为2 2 .设A=2,4，B=xx2ax4兰0，假设B匸A，那么实数a的取值范围为A -1,2)B -1,2C 0,3D 0,3)解因x2 -ax -4 =0有两个实根a24哼故B A等价于捲_-2且x2: 4，即解之得0 _ a <3 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为-，乙在每局中获胜的概率为3-，且各局3胜负相互独立，那么比赛停止时已打局数A. 241B. 26681 81解法一依题意知，的所有可能

3、值为c. 274812, 4, 6.(B )670 D.设每两局比赛为一轮，那么该轮结束时比赛停止的概率为岸2 丄2二总.339假设该轮结束时比赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(,5)208116 8152016 266故 E =246 -9818181解法二依题意知，的所有可能值为2, 4, 6.令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，那么 Ak表示乙在第k局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得P( =2) =P(AAO 卩(瓦瓦)=5 ,9P&iBPWAAAJ+PWAAAJ+PCAAAAO + PWAAA)2 3 11 3 2

4、20叫)(3)+(3)(3rp(E =6)=p(aAaA)+ P(A A AA)+p(AaaAo+ p(AaAa)= 4(-)2(!)233168152016 266故 E =246 -98181814 .假设三个棱长均为整数(单位： cm)的正方体的外表积之和为564 cm2,那么这三个正方体的体积之和为(A )A. 764 cm3或 586 cm3B. 764 cm3C. 586 cm 或 564 cmD. 586 cm解设这三个正方体的棱长分别为a,b,c，那么有6 a2 b2 c564 , a2 b2 c94，不妨设2 2 2 2 21 Ea Eb " <10，从而 3

5、c-a b c =94 , c 31 .故 6Ec ：10 . c 只能取 9, 8, 7, 6.假设 c =9，那么 a2 b2 =94 -92 =13，易知 a = 2 , b =3，得一组解(a, b, c)二(2,3,9).假设 c =8，贝V a2 b2 =94 64 =30, b 一 5 . 但 2b2 30 , b_4，从而 b = 4或 5.假设 b = 5,贝V a2 =5无解，假设b =4，贝U a2 =14无解.此时无解.假设 c=7，贝V a2 b2 =94 49 =45，有唯一解 a =3 , b =6 .假设 c=6，贝V a2 b2 =94 36 =58，此时 2

6、b -a b =58 ,b - 29 .故 b 6，但 b 空 c = 6 ,故 b = 6，此时 a2 = 58 - 36 二 22 无解.a = 2, a = 3,II综上，共有两组解b =3,或b =6,c = 9 c = 7.体积为 y =23 33 93 = 764cm3或 V2 = 3 6 73 = 586cm3.x y z =0,5方程组qXyz+z=0,的有理数解(x, y,z)的个数为(B )xy yz xz y = 0A. 1B. 2C. 3D. 4解假设 z=0，那么 x 八0,解得 x=0,或 x = _1, xyy=0. y=0 y=1.假设 z = 0，那么由 xy

7、z - z =0得 xy = -1 由 x y z =0得 z = _x_y .将代入 xy yz xz 0 得 x2 y2 xy - y = 0 .由得x =-丄，代入化简得(y _1)(y3 _y1)=0.y易知y3 - y _1 = 0无有理数根，故 y =1，由得x - -1，由得z = 0，与z = 0矛盾，故该| x = 0,_L = -1,方程组共有两组有理数解y = 0,或 y =,z = 0 z = 0.6.设ABC的内角A, B, C所对的边a,b,c成等比数列，那么smAcotC cosA的取值范围是 sin BcotC +cosBC.(/5-1 <5+1)2 ,

8、2解设a,b,c的公比为q，那么b=aq,c =A. (0,；)sin AcotC cosA _sin AcosC cosAsinC sinBcotC cosB sin BcosC cosBsinC_s i A广 C )心 nB( )_B_sbns i C )二s-i nA() A s a n因此，只需求q的取值范围因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需a b c且b c a .即有不等式组严弩朮即q2"0,aq aq a q q -10.1-75 75+1 c q £ ,2 2T5-1卡苗+1q或 q ：2 2从而 f&q

9、uot;；1，因此所求的取值范围是(善；占).二、填空题(此题总分值 54分，每题9分)7.设f(x) =ax b，其中a,b为实数,f1(x)=f(x)，fn.1(x) = f(fn(x)，n =1,2,3,出，假设f7(x) =128x 381，那么 a b解由题意知 fn(xanx (anJ an" a 1)bnn , a 1 ,=a xb，a 1a 1由 f7(x)=128x 381 得 a7 =128 ,b =381，因此 a =2 , b=3, a b = 5 .a 18.设 f (x)二cos2x2a(1 - cosx)的最小值为一丄，那么 a -232 解f (x)

10、=2cos x -1 -2a -2acosxa 212=2(cos x ) - a - 2a -1 ,2 2(1)a 2时，f (x)当cosx =1时取最小值1 -4a ；a ： -2时，f (x)当cosx二-1时取最小值1 ；一2 _ a _ 2 时，f (x)当 cos x = a 时取最小值 一丄a2 2a 1 2 2又a 2或a ： -2时，f(x)的最小值不能为_丄，2故-a2 -2a -1 - -1，解得 a = -2 '、3， a = -2 (舍去).2 2 9将24个志愿者名额分配给 3个学校，那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.解法

11、一用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用-表示名额.如| |I I I |假设把每个“与每个“都视为一个位置，由于左右两端必须是 1 故不同的分配方法相当 于24 +2 =26个位置(两端不在内)被 2个占领的一种 占位法每校至少有一个名额的分法 相当于在24个“之间的23个空隙中选出2个空隙插入 故有C；3 =253种.又在 每校至少有一个名额的分法 中至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253 - 31 = 222种.解法二设分配给3个学校的名额数分别为 x1,x2,x3，那么每校至少有一个名额的分法数为不定方 程人 x2 x3 = 24 .的正整数解

12、的个数，即方程x1 x2x3=21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：H? =C：3 uC： =253 .又在每校至少有一个名额的分法中至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种. 综上知，满足条件的分配方法共有253- 31= 222种.10.设数列an的前n项和Sn满足：SnG二丄丄，门=1,2,出，那么通项a.=丄-.n(n+1)2n n(n +1)an 1 = Sn 1 -"Snn(n 1)( n 2)an 1n -1n(n 1)2 an 1n 2-2(n 1)(n2)n(n 1)由此得令bn-2(n 1)( n 2)2 (an 1 an -1n

13、(n 1)1(n 1)(n2)ann(n 1)n(n 1)(a1 =0),有时bn，故bn*，所以汗步-治11设f (x)是定义在R上的函数，假设f(0) =2021，且对任意R，满足f (x 2) f (x)E 3" ,2 f (x 6) - f(x) -63 2x，贝U f (2021) =22021 2007解法一由题设条件知f (x 2)-f(x)=(f(x 4)-f(x 2)-(f(x 6)-f(x 4) (f(x 6)-f(x)-3 2x 2 -3 2x 4 63 23 2x,因此有 f(x 2) _f (x) =3 2x，故f (2021) =f (2021) _ f

14、(2006) f (2006) _ f (2004)川 f (2) _ f (0) f (0) =3(2 2006 j2004 .川.22 .1) . f (0)41003 .1 _i=3f(0)4 -1= 22021 2007.解法二令 g(x)二 f(x)_2x，那么x 2 xxxg(x2)g(x)=f(x2) f(x)22 <3 2 -3 2=0 ,g(x6) _g(x) =f (x6) _f (x)_2x 62x _63 2x -632x =0 ,即 g(x 2) _g(x), g(x 6) _g(x),故 g(x) _g(x 6) _g(x 4) _g(x 2) _ g(x),

15、得g(x)是周期为2的周期函数，所以 f (2021) =g(2021) 22021 =g(0) 22021 =220212007 .12. 个半径为1的小球在一个内壁棱长为 4 6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是72、一 3.解如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1/平面ABC ,与小球相切于点 D，那么小球球心 O为正四面体 pABG的中心，PO丄面ABG，垂足D为A1B1C1的中心.PD答12图14 Vobc,1=4 3 S ami od，故 PD = 4OD = 4r，从而 PO = PD - OD

16、 =4r - r = 3r .记此时小球与面 PAB的切点为R，连接OR，贝UPR =PO2 -OP12 =、；(3r)2 -r2；2、2r .考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的 情况，易知小球在面 PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三 角形，记为REF，如答12图2.记正四面体 的棱长为a，过R作RM - PA于M .RE =PA2PM =a2岳.小球与面PAB不能接触到的局部的面积为如答 12图阴影局部S pab -S pef = (a - (a -2、：?6r)2) =3 2ar.又 r =1, a =4.6，所以S pab -S pEF = 24.3 -6.3 =18

17、.3 .2中由对称性，且正四面体共 4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72、. 3 .13.函数fx=|si nx|的图像与直线y二kx k - 0有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大三、解答题此题总分值 60分，每题20分值为，求证：COS_：I1 叱2sint 亠sin3 4二5分由于 f "X= -cosx , x 疋兀,3 兀，所以 一cosg =却，即 a =tana .10 分'2a因此cosacosasin、£ sin3：2sin 2： cos：15分14sin j cos 二 cos2" sin2 :-4sin ： cos-1

18、tan2:4tan -20分1 亠：£24：14.解不等式 log2(x12 3x10 5x8 3x6 1) 1 log2(x4 1).解法一由 1 log2(x41) = log2(2x4 2)，且 log2 y 在(0,：)上为增函数,x12 3x10 5x8 3x6 1 2x4 2.即x12 3x10 5x8 3x6 _2x4 一1 0.分组分解x12x10X810 8 62x 2x -2x4x8 4x6 4x4x6 x4 x2x4 x2 -10,(x8 2x6 4x4x2 1)(x4 x2 -1) 0,所以x4 x2 -10,2. 52. 5(x 2)(x) 0.所以 x2 -1 2、5，即 X5 或 X_v5 . 故原不等式解集为