华师大附中2011届数学复习教学案平面向量的数量积及运算律（Word）

1、课 题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：   本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5

2、个重要性质；平面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入： 1 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=2平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+23平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4平面向量的坐标运算若，则，若，则5 (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=06线段的定比分点及1 / 11 P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存

3、在实数，使 =，叫做点P分所成的比，有三种情况：>0(内分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7定比分点坐标公式：若点P(x1,y1) ，(x2,y2)，为实数，且，则点P的坐标为（），我们称为点P分所成的比8点P的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点P为的内分点当()时，与反向共线，这时称点P为的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设，可得=10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角说明：（1）

4、当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°q180°C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两

5、个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c但是a×b = b×c a = c 如右图：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×

6、c 但a ¹ c (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积5两

7、个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1°e×a = a×e =|a|cosq2°ab Û a×b = 03°当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b| 特别的a×a = |a|2或4°cosq =5°|a×b| |a|b|三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由·00；0·；0；·；若0，则对任一非零有·；·，则与中至少有一个为0；对任意向量，

8、都有（·）（·）；与是两个单位向量，则解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0·；对于：应有·0；对于：由数量积定义有···cos，这里是与的夹角，只有或时，才有··；对于：若非零向量、垂直，有·；对于：由·可知可以都非零；对于：若与共线，记则·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若与不共线，则(·)（·）评述：这一类型题，要求学生确实把握

9、好数量积的定义、性质、运算律例2 已知，当，与的夹角是60°时，分别求·解：当时，若与同向，则它们的夹角°，··cos0°3×6×118；若与反向，则它们的夹角180°，·cos180°3×6×（-1）18；当时，它们的夹角90°，·；当与的夹角是60°时，有·cos60°3×6×9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当时，有0°或1

10、80°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1已知ABC中，°，求·对此题，有同学求解如下：解：如图，°，··cos5×8cos60°20分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解

11、向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°2向量的数量积不满足结合律分析：若有（·）·（·），设、夹角为，、夹角为，则(·)·cos·，·(·)·cos若，则，进而有：（·）·(·)这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：已知，与夹角是60°，与夹角是45°，则：(·)·（·cos60°），·(·)（·cos4

12、5°）而，故（·）··（·）课 题：平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：  启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程：一、复习引入

13、：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0 3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向

14、上投影|b|cosq的乘积5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1°e×a = a×e =|a|cosq；2°ab Û a×b = 03°当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b| 特别的a×a = |a|2或4°cosq = ；5°|a×b| |a|b|7判断下列各题正确与否：1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0 ( )2°若a ¹ 0，则

15、对任一非零向量b，有a×b ¹ 0 ( × )3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0 ( × )4°若a×b = 0，则a 、b至少有一个为零 ( × )5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c ( × )6°若a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立 ( × )7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×

16、(b×c) ( × )8°对任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a证：设a，b夹角为q，则a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)证：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若<

17、 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq

18、1 + |c| |b| cosq2 c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····()·三、讲解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15

19、b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 两式相减：2a×b = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60°例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中，且····，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0

20、，（），()（）即··由于··，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由··，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得·(2)即·，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（ ）A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律

21、Da·b是一个实数2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（ ）A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=_,|a-b|= 6设|a|=3,|b|=5,且a+b与ab垂直，则 参考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6±五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A60° B30° C135° D°2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·