从数学角度来理解 《盗梦空间》

1、从数学角度来理解盗梦空间诺兰新作盗梦空间内地热映备受关注的盗梦空间有着令人惊叹的复杂情节，而其中许多情节和场景，与部分数学理论和思想非常相符，故事中的一些问题在数学中也有过类似的讨论。在欣赏影片之余，从数学角度来探讨一下电影结局，同样也是一件非常有趣且有挑战性的事情。一、剧情简介Cobb与同伴在一次针对日本能源大亨Saito（渡边谦饰）的盗梦行动中失败，反被Saito利用。Saito威逼利诱因遭通缉而流亡海外的Cobb帮他拆分竞争对手的公司，采取极端措施在其唯一继承人Fisher（希瑞安墨菲饰）的深层潜意识中种下放弃家族公司、自立门户的想法。为了重返美国，Cobb求助于岳父Miles（迈克尔-

2、凯恩饰），吸收了年轻的梦境设计师Ariadne（艾伦-佩基饰）等人加入行动。在一层层递进的梦境中，Cobb不仅要对付Fisher潜意识的本能反抗，还必须直面已逝妻子Mal（玛丽昂-歌迪亚饰）的破坏，实际情况远比预想危险得多盗梦空间的难懂，并不是因为导演的叙事方法，电影基本是直叙，因果关系也很直白。我们可以将其分成三段。第一段是从开始到Cobb及其同伴从高速列车上逃跑。主要讲Cobb在梦中盗取Saito想法的行动。这一段描述了两个问题：存在梦中梦结构；你可以利用梦中梦窃取一个人的想法。后面这个问题又带来一个新问题：如果存在着梦中梦，又如何知道醒来时是回到了现实中，而不是掉入另一个梦呢？第二段是S

3、aito请Cobb团队帮忙植梦改变Fisher的想法。其中重要的是通过Cobb及其团队向新人Ariadne展示了如何造梦、验梦，以及盗梦的原理。第三段的潜入梦的部分是故事的高潮。在结局时，Cobb最终醒没醒，似乎变得比任务更加重要。导演是在证明什么呢？如果观众都觉得说不清是梦还是醒，实际上导演已经证明了一个非常重要的哲学观点：存在着不可知性。二、三个重要的数学思想与盗梦空间的关系在数学上有着三个重要的思想：1）非欧几何和分形几何2）公理体系3）不可知论我们可以以此来对盗梦空间进行一个数学角度的考察。非欧式空间的迷宫在第二段故事中，最令观众惊叹和称奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宫的部

4、分。在这里一共出现了3个迷宫。Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一个无限的楼梯。Ariadne走了4段，一直感觉向上，实际上走了一个死圈，这其实便是画家埃舍尔（Escher）著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论（Paradox）的存在。在面试的时候，Cobb让Ariadne画迷宫以测其智商，她画的第3个迷宫困住了Cobb，这个迷宫是圆圈套来套去，也类似于一条著名的环形蛇迷宫。Arthur的楼梯和Ariadne画的迷宫，并不复杂，但它们却并不存在于现实世界。用数学上的语言来说，真实的世界是欧式空间（Euclidean Space，欧几里得空间），而梦中的迷宫则是建立在非欧式空间（Non

5、-Euclidean Space，非欧几里得空间）之中的。而后Cobb教授Ariadne时，把世界折成了一个盒子状的结构。大地变成了盒子的内表面，天空位于盒子的中心，世界变得像万花筒一样颠来倒去，同样是一种非欧氏空间。什么是非欧式空间？如果我们为每一个空间都设置坐标系的话，欧氏空间的坐标系是直线，而非欧空间的坐标系会弯曲成一个圆圈。在一维上，欧式空间是直线，非欧空间可以是圆圈。在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间则可以有多种。Cobb所展示的盒子世界，其实就是球形的非欧空间。如果我们要构造一个Ariadne所走的埃舍尔楼梯，在那个空间的高度方向一定是弯曲成了一个圆。这样楼梯的最高点和最低点具

6、同一高度，所以才能联接上。在这个空间中，依然有向上和向下的方向，但意义已不同。向上和向下不代表高度的增减，而是指从两个不同的方向画圈。好比从一个方向上看，向上走是顺时针，向下走是逆时针。所以当你向上走和向下走时，一直都在不断重复。生活中这样的楼梯是没有的，但时钟等许多事物的工作方式却具有这样的性质。怎样把敌人永远困在梦中非欧式空间中的异常，为何会让人很难觉察呢？这些非欧空间被称为流形（manifold），流形同欧氏空间相比是局部相似，全局不同。如果从欧氏空间中取出一部分，再从非欧氏流形中取出一部分来，这两者会非常相似。例如一维的欧氏空间是直线，非欧氏空间是圆。如果线段比较短，或是圆的半径比较大

7、的话，这两者没有本质的区别。所以如果只走一段楼梯，或是只是生活在盒子世界中的一个小部分，没人能发现问题。全局性质有时被说成“拓扑”性质。可以把拓扑理解成一种联接。比如两个人从直线上的一点出发，各自朝一个方向走，永远不会碰头，但如果他们来到一个圆上，这样走肯定最终会碰面的。在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。把被骗的人想成是一只小虫子，在二维世界里，如果是欧式空间，就是一个平面，你只能设计一个很大的圆，但小虫总有一天会还是跑出去。但如果这是一个非欧式空间，如球面，小虫怎么都跑不出去，这样，造梦者就可以将敌人永远困在自己设计的梦中。非欧式空间的历史最开始思考非欧式

8、空间的是德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，17771855）。当他发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的，便开始追问究竟何为弯，何为直？由此，他给出了几何概念的解析定义，创立了微分几何。而盗梦空间故事中迷宫的思想，则更多来源于高斯的学生黎曼（Georg Friedrich Riemann，18261866）。黎曼问了一系列更大胆的问题：空间如果是弯曲的会怎样？（读者可以想象一个坐标系是弯的。）如果坐标系是弯的，那长度、角度还有什么意义吗？在黎曼的时代，许多人认为这已不是数学，而是哲学。黎曼为角度和弧度给出了一个新的定义，今天称黎曼度量，并给出了黎曼度量在不同空间中换算的规

9、则。黎曼流形（manifold）便用来指称这种弯曲的空间。而且黎曼也思考过真实的宇宙是否是一个欧氏空间。他的观点我们不知道，因为我们只能看到宇宙的一部分。在此后的100多年中，几乎无人正确理解黎曼的贡献。但这一思想深刻地影响了包括广义相对论在内的一系列伟大理论的诞生。何为真实？何为公理？在盗梦空间中，Cobb一直在问：究竟什么是真实？标准是什么？在数学上，人们考虑过类似的问题，即一个命题是否是正确的。并产生了一个很有启发的观点，即公理体系的观点。一套逻辑系统建立在几条公理之上，其他的规律可通过公理的推导得出。这便是我们所说的公理体系。当我们说一个定理是正确的时候，实际上是不严格的说法。更准确的

10、说法应是一个定理可由公理推导出来。只有当你接受公理的假设时，定理才是真的。问题在于公理本身常常也只是假设，真假是不可证明的。例如，非欧式空间与欧式空间之间一个最大的区别，在于平行公理：经过一条直线之外的点，有几条直线和已知的直线平行？如果假设只有一条的话，那就是平面几何，这时三角形内角之和是180度。如果一条也没有，便是球面几何，这时三角形内角合大于180度。在不同的假设中，几何规则完全不同。通常我们对空间的逻辑认知和思考都基于欧氏空间，这些逻辑都是在假定空间没有弯曲的情况下才是正确的。而在一个弯曲的空间中，如果还是用欧氏空间的逻辑进行思考，必定会推出不同的结果，产生悖论。建立在“陀螺公理”之

11、上我们再回到电影，Cobb判断是梦是醒从来不用逻辑思考，只用陀螺验证。因为一些事可以从“在梦中”这一假设推导，也可以从“在现实中”这一假设推导。在两种假设前提下，用不同的逻辑可能推导出同样的结果。“陀螺倒就是现实中，否则就是在梦中”是作为验梦的陀螺公理。Cobb只靠这一条分辨现实和梦境，不用逻辑推理。可以说Cobb对一切对梦和现实的分判，都是建立在陀螺公理之上的。许多人会奇怪“陀螺公理”中，为何梦中的陀螺会转个不停。已有许多解答，非欧式空间可以给出一种可能的解答，弯曲的空间会产生几何上的逻辑悖论，同样会产生物理上的逻辑悖论。比如我们可以想象在埃舍尔设计的楼梯上，当一个人向下走时，实际上就是在跑

12、圈。同样的道理，如果你抛出一个物体，它会向下运动，实际上它也是在跑圈。分形几何的迷宫Cobb设计的迷宫，核心思想就是将敌人困在一个圈中。但故事的复杂性还远超于此。Ariadne展示了一种不同于Cobb设想的迷宫结构，那就是镜子中产生无穷多的人像。Ariadne把Cobb带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜这便是几何上被称为分形（fractal）的结构。我们可以将镜中镜看成盗梦空间故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以

13、就有镜中镜中镜中镜同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中chaos现象的一种，最早认识到chaos的人是法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincar，18541912）。打开不可知论的魔盒其实，我们也可以把人的思想描述成一种几何结构。迷宫般的逻辑结构是存在的，它会导致“不可知性”。埃舍尔楼梯对应着逻辑上的循环悖论，最典型的便是“鸡生蛋，蛋生鸡”的例子，它们分开来看都是正确的，但是放在一起，便出现了一个先有鸡还是先有蛋的问题。分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基

14、本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学在进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种逻辑就决定了世界的最基本的粒子是找不到的。梦中梦也是这样一种分形似的逻辑，而电影的开篇和片尾，Cobb和Saito出现在同样的场景中，构成了一个循环，到这里，盗梦空间己经打开了不可知论的魔盒。在哲学上“不可知论”是非常久远的。人类历史上许多科学巨匠们都有“不可知”的想法，这或许是为何一些绝顶聪明的家伙最后神经不正常的原因。例如牛顿在提出三大运动定律之后，跑去研究上帝。个中原因在于在牛顿的体系中有两个不可知的问题，一是第一推动力，二

15、是如果万有引力存在，星星为什么没有掉下来。这是牛顿无法用他的三定律解答的。爱因斯坦完全超越了牛顿诠释的经典力学世界，但正如他自己所说，“我知道的很多，我不知道的更多。”而一个爱因斯坦的体系中“不可知”的问题，便是为什么宇宙没有整个被黑洞吸进去。三、用“不可知论”的观点来看故事结局在盗梦空间的故事中，我们可以整理出这样几个命题：1、当进入一个梦的时候，究竟是谁的梦无法验证。2、人在梦中也可以说谎。比如第一层梦中的火车，开始观众以为是Fisher的，后来通过Ariadne的对话我们知道是Cobb造的。3、如果不用陀螺进行验证，从一层梦中醒过来，可能是回到现实，也可能是在一个更大的梦里。那么让我们从

16、这几个命题出发，来推导一下盗梦空间的各种结局。故事的情节线条按多数观众的理解，故事是这样的。A：Saito被 Cobb盗梦，梦有二层。B：Cobb被通缉，不能回家看孩子.C：Saito请Cobb植梦Fisher，如果Cobb成功，Saito可以帮Cobb回家。（只有在A、B真实的情况下，C才能成立。）D：Cobb请帮手帮忙盗梦。E：众人植梦，在飞机上遇到Fisher。F：梦一共有四层，我们记为F1，F2，F3，F4。G：Cobb最后救出Saito，但无法确证任务有否成功。H：Cobb回到家中。同样无法在电影中确证。所以故事情节线条是：（A、B）CDEF1F2F3F4GH。无数种可能的结局解释在

17、分析情节时，一个基本技巧是如果有一步不确定，情节就会出现真假两种情况。遇到这种情况，我们可以有两种做法：一是用一个新逻辑换掉以前的逻辑，这样我们得到另一个故事。二是将基本假设推翻，同样会得到一个新故事。许多观众质疑为什么F3中Fisher死了掉入F4的梦中，而Saito掉入了limbo，一种理解是植梦行动没有真实发生，只是Cobb的一个梦。如果我们的一个逻辑是将除了B、H之外的部分，都看成是梦，便可以理解这个故事：Cobb想回家了，在飞回家的路上做了一个大梦，A、B、C、D、E、F、G都只是梦中情节。最后他醒了，见到了自己的孩子。现在让我们来考虑另外的一种结局。G是没有确证，那么存在着另一种可

18、能。如果G中任务没成功，Cobb拯救Saito失败，则G实际上是Cobb的一个梦。这样的话H不成立，Cobb的回家依然是梦。但还有可能，如G中任务成功了，Saito成功获救，但是Cobb自己未能逃出梦境，还是没能成功回家。一部分观众怀疑Fisher有没有真上当，在梦中，Fisher似乎相信父亲。但我们没看见Fihser醒过来，也不知道他是否分解了公司。而在F2中Fisher就有所警觉，知道自己是在梦中，想要在梦中自杀醒过来。于是在F3就有另外一种可能：Fisher没有上当，他是为了逃脱假装出来的。转回到F3中Fisher掉入F4，Saito掉入了limbo，还有一种解释是F4的梦是盗取Cobb想法的一个圈套，原因是Ariadne想知道Mal究竟是怎么死的。于是又一个故事的解释出现了。实际上，因为分形的故事逻辑结构，可能存在着更多的，甚至数不清的结局。除结局之外“不可知”在片末，我们知道，是Cobb害死了Mal，方法则是他在Mal的头脑中植入了想法。这时，在片中反复强调想法对人的重要性之后，我们又发现了第三个分形的逻辑结构想法可以诱导想法。如果一个人的想法是可以植入的，并且可以