初中数学专题讲义-数据的收集与整理

1、初中数学专题讲义-数据的收集与整理一、课标下复习指南(一)数据的收集和整理1.全面调查与抽样调查统计调查分全面调查和抽样调查两种,实际中常采用抽样调查的方式.(1)考察全体对象的调查属于全面调查.(2)从总体中抽取样本进行调查,属于抽样调查.抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查,简称抽查.抽查表达了用样本估计总体的思想.(3)总体、个体及样本总体：所要考察对象的全体,称为总体；个体：总体中的每一个考察对象,称为个体；样本：从总体中抽取的一局部个体,称为总体的一个样本.样本中个体的数目称为样本容量.说明抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式,它是从总体中抽取样本进行调查,根据样本来估计总体

2、的一种调查；常采用问卷调查等调查方式.用划记法记录数据,通过表格整理数据,可以帮助我们找到数据的分布规律.说明对于不同的抽样,可能得到不同的结果.2.频数与频率(1)频数：落在不同小组中的数据个数称为该组的频数.(2)频数与数据总数的比称为频率.频率反映了各组频数在总数中所占的百分比.3.几种常见的统计图表(1)条形图将数据按要求分成假设干小组,并用“划记的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图.(2)扇形图将数据按要求分成假设干小组,统计出各小组的频数,并算出各组的频数占数据总数的百分比；画一个圆,并规定圆的面积表示100%;算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数,用量角器画出各

3、扇形,并标出各百分数.(3)折线图以横轴表示统计的时间,纵轴表示数据,建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次连接起来.(4)频数分布直方图用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；决定分点；列数频分布表；画频数分布直方图.把数据按一定的规律分成组的个数为组数,每一组两个端点的差称为组距.组数取大值广小值的整数局部1;组距数据分组时,对数据要遵循“不重不漏的原那么,既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象,也不能有一个数据不在任何组内的遗漏现象；频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况,易于显示各组之间频数的差异.(5)频数折线

4、图频数折线图可以在频数分布直方图的根底上画出来.取频数分布直方图中每一个矩形上边的中点,然后在横轴上取两个频数为0的点,即在直方图的左边和右边各取一个频数为0的点,再用线段从左到右将这些点依次连接起来.说明利用统计图表示经过整理的数据,能更直观地反映数据规律.(1)条形图：能显示具体数据,易于比拟数据差异；(2)扇形图：用扇形的面积占圆的面积的百分比表示局部在总体中所占百分比,易于显示每组数据相对于总体的大小；(3)折线图：易于显示数据的变化趋势；(4)直方图：能显示各组频数分布的情况,易于显示各组之间频数的差异.(二)数据的分析1.平均数、众数与中位数(1)算术平均数1X(%X2Xn).n(

5、2)加权平均数如果一组数据中,X1,X2,X3,Xk出现的次数分别是f1,f2,f3,fk,那么这组数据的加权平均数XX1f1X2f2X3f3Af1f2f3fk(3)众数与中位数在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时不止一个)；将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数；众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(4)平均数、中位数、众数的特征平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的平均水平；平均数容易受极端值的影响,而中位数那么不能充分利用所有数据的信息,

6、众数在各个数据的重复次数大致相等时往往没有特别的意义.2 .极差和方差、标准差(1)极差：一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差.极差用来反映一组数据变化范围的大小,是刻画数据离散程度的最简单的统计量；极差受极端值的影响较大,不能反映中间数据的离散情况.(2)方差：在一组数据X1,X2,X3,Xn中,各数据与它的平均数X的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差,即21-2一2一2S(再X)(X2X)(XnX).n方差是用来反映一组数据波动情况的特征数,常常用来比拟两组数据的波动大小,方差越大,数据的波动越大；方差越小,数据的波动越小；方差的单位是原数据单位的平方.i(3)标准差：一

7、组数据的方差的算术平方1OOOs.(X1X)(X2X)(XnX)n说明(1)一组数据的众数可以不唯一,但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他PU做这组数据的标准差,即sVs2.*标准差的计算公式：统计量都是唯一的,但未必出现在这组数据中；2一组数据都在常数a上下波动,即x'i=xi+a,X2'=X2+a,xn'=xn+a时,平均数xxa;方差s'2=s2.二、例题分析例1以下调查方式,适宜的是.A.要了解一批灯泡的使用寿命,采用普查方式B.要了解甘肃电视台“陇原风貌栏目的收视率,采用普查方式C.要保证“神舟六号载人飞船成功发射,对重要零部件的检查采用抽查方式D

8、.要了解人们对环境的保护意识,采用抽查方式解D.说明当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难或没有必要进行普查时,就选择抽查,对像“神舟六号重要零部件的检查这类调查那么必须选择普查.例2某校对1200名女生的身高进行了测量,身高在1.581.63单位：m这一小组的频率为0.25,那么该组的人数为.A.150人B.300个C.600人D.900人分析1200名女生就有1200个身高,故数据总、数为1200.同理,该组的人数即为落在该组的数据个数,即该组的频数.由频率=频数+数据总数得,频数=频率X数据总数=0.25X1200=300.故该组的人数为300人.应选B.说明对频数与频率的考

9、查大多数放置于数据处理的背景之下,侧重于对概念的理解与运用,单独考查时一般以填空和选择的题型出现,但更多的是与统计图等结合考查.例3我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温C25262728天数1123那么这组数据的中位数与众数分别是.A.27C,28CB.27.5C,28CC.28C,27CD.26.5C,27C分析由上表可知,一共统计了7个数据,将它们按从小到大排列为25,26,27,27,28,28,28,第4个数据是27,故这组数据的中位数是27C.又数据28出现的次数最多,所以众数是28C.应选A.说明1求中位数时,先看这组数据的个数是奇数还是偶数,然后将这组数据按从小到大的顺序排列

10、.假设有奇数个数据,那么最中间那个数据就是这组数据的中位数；假设有偶数个数据,那么最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数；2求众数时,先数出各数据在这组数据中出现的次数,出现次数最多的数据就是这组数据的众数.有时一组数据的众数不只一个.例4某单位欲从内部招聘治理人员一名,对甲、乙、丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试,3人的测试成绩如下表所示：测试工程测试成绩/分甲乙丙笔试758090面试937068甲；25%图191根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率没有弃权票,每位职工只能推荐1人如图191所示,每得一票记作1分.1请算出三人的民主评议得分；2

11、如果根据三颂测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用精确到0.01?3根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的4：3：3比例确定个人成绩,那么谁将被录用？解1三人民主评议的得分分别为：甲200X25%=50分,乙200X40%=80分,丙200X35%=70分.2按三项平均成绩计算,甲的成绩是175+93+50=72.67,乙的成绩是-80+70+33180=76.67,丙的成绩是90+68+70=76.00.乙的成绩最局,他将被录用.33假设笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定,三人的成绩分别为:72.9.77.0.77.4.754933503也xw433

12、804703803433904683703433丙的成绩最高,他将被录用.说明1计算加权平均数,随着权数的不同,结果可能不同.权数最大的数据对平均数的结果影响最大；2在实际问题中,往往采用加权平均数算法,而很少用算术平均数的算法.例5甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同,甲同学成绩的方差S2=4,乙同学成绩的方差s2=3.1,那么对他们测试成绩的稳定性判断正确的选项是.A.甲的成绩较稳定B.乙的成绩较稳定C.甲、乙成绩的稳定性相同D.甲、乙成绩的稳定性无法比拟分析由于方差越小,波动就越小,且s2>SI,所以乙同学的成绩波动就小,即乙的成绩较稳定.应选B.说明中考对极差、方差和标

13、准差这三个统计量的考查,主要侧重于在实际情景中对其意义的理解,以及根据统计结果做出合理的判断和预测.例6某校从甲、乙两名优秀选手中选择一名选手参加全市中学生田径百米比赛,该校预先对这两名选手测试了8狄,测试成绩如下表：单位：s12345678甲选手的成绩12.12.13.12.13.12.12.12.12051542乙选手的成绩12.12.12.13.12.12.12.12.04802835根据测试成绩,请你运用所学过的统计知识做出判断,派哪一位选手参加比赛更好什么？解通过计算,可得义甲=12.5,X乙=12.5,4=0.12,S：=0.1025.又甲=天,两位选手的平均成绩相等.又S2=S2

14、,乙选手的成绩更稳定.因此应该派乙选手去参加比赛.说明1当用求平均数的方法包括众数和中位数无法比拟两组数据的集中趋势时,还要用方差包括极差进一步比拟两组数据的波动情况；看谁的波动小,就说明谁更稳定.2变式练习：在一次毕业测试中,某校九年级1、2两班学生数学成绩统计如下表：分数5060708090100人班351631112娄(2)班251112137请你根据所学的统计知识,分别从平均数；众数；方差等不同的角度判断,综合分析这两个班中哪个班的测试成绩更加优秀.解通过观察和计算,九年级1班：平均数80,众数70,方差244;九年级2班：平均数80,众数90,方差180.从平均数看,两个班测试成绩相

15、当,不分优劣；从众数看2班成绩较好；从方差看2班成绩较稳定；综上所述2班成绩更加优秀.3比拟的角度不同,所得结论不一定相同.三、课标下新题展示例7某校为了解九年级学生体育测试成绩情况,以九年1班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘成如下两幅统计图见图192,请你结合图中所给信息解答以下问题：图19-2说明：A级：90分100分；B级：75分89分；C级：60分74分；D级：60分以下(1)求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；(2)求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；(3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；(4)假设该校九年级学生共有5

16、00人,请你估计这次测试中A级和B级的学生共有多少人？解(1)4%;(2)72°(3)B;(4)依题意知：A级和B级学生的人数和占全班总人数的76%,500X76%=380,所以估计这次测试中A级和B级的学生共有约380人.例8在第49届世界乒乓球锦标赛中,男子单打决赛在我国选手马琳和王励勤之间展开.双方苦战七局,最终王励勤以4：3获得胜利.七局比分如下表：局数、得分(生名一一三四五六七马琳1111511896王励勤97118111111请将七局比分的相关数据的分析结果直接填入下表中(结果保存两个有效数字).工程分析莉果姓名平均分众数中位数马琳8.79.0王励勤11(2)中央电视台在

17、此次现场直播时,开展了“短信互动,有奖竞猜活动,但凡参与短信互动且预测结果正确的观众,都能参加“乒乓大礼包的抽奖活动.据不完全统计,有32320名观众参与了此次短信互动活动,其中有50%的观众预测王励勤获胜.刘敏同学参加了本次“短信互动活动,并预测了王励勤获胜,如果从中抽取20名幸运观众,并赠送“乒乓大礼包一份,那么刘敏同学中奖概率有多大？解(1)马琳得分的众数为11;王励勤得分的平均数为9.7,中位数为11.(2)根据题意,预测正确的观众总数为32320X50%=16160,他们成为幸运观众的可能20性相同,而幸运观众数为20,故刘敏中奖的概率为-016160808四、课标测试达标题(一)选

18、择题1.某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况,分别作了四种不同的抽样调查.你认为抽样比拟合理的是().A.在公园调查了1000名老年人的健康状况B.在医院调查了1000名老年人的健康状况C.调查了10名老年邻居的健康状况D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况2 .图193中,用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为适宜的是().30KM19M50图1933 .某地今年1月14日每天的最高气温与最低气温如下表:日期1月1日1月2日1月3日1月4日最高气温5C4C0C4C最低气温0C-2C4C3C其中温差最大的是.A.1月1日C.1月3日4.样本X1,X2,X3,X4

19、的平均数是8. 1月2日D.1月4日2,那么X1+3,X2+3,X3+3,X4+3的平均数为.A.2B.2.75C.3D.55 .数学老师对小明参加的四次中考数学模拟测试成绩进行统计分析,判断小明的数学成绩是否稳定,因此老师需要知道小明这四次数学成绩的.A.平均数B.众数C.中位数D.方差6 .在1000个数据中,用适当的方法抽取了50个数据作为样本进行统计.频率分布表中,在54.557.4这一组的频率是0.12,那么估计总体落在这一组之间的数据有.A.120个B.60个C.12个D.6个二填空题7 .在扇形统计图中,占圆12%的扇形的圆心角是:圆心角是144.的扇形占它所在圆的面积的填百分数.8 .班主任为了解学生周末在家的学习情况,家访了班内的六位学生,了解到他们在家的学习时间如下表所示.那么这六位学生学习时间的众数是,中位