中考数学专题训练【综合型问题】提升与解析综述

1、中考数学专题训练【综合型问题】提升与解析1在矩形ABCD3,有一个菱形Sabc环口 Sbfde,现给出下列命题:BFDE(点E、F分别在线段ABCD上)，记它们的面积分别为若SABCD-=221,则tan/ED=；若dE=BD-EF,Sbfde23则DF=2AD则()B、是真命题，是假命题D、是假命题，是假命题A、是真命题，是真命题C、是假命题，是真命题【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x,AE=J3x,由菱形的性质可知DE=2x,在厂RtADAE中，有勾股定理的D盒x,所以tan/ED=tan/DEA=DA=>；AE,3x31由菱形面积的计算万法可知：一BD-EF就是菱形BF

2、DE勺面积，而菱形BFDE勺面积还可以2用DF-AD十算，所以一DE=DF-ADft简整理的DF=2AD2【答案】A【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。难度较大2.如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3),把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m),与x轴、y轴分别交于C、D两点求m的值；求过A、B、D三点的抛物线的解析式；若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E,使四边形OECD的面积S,是四边形OACD面积S的2?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由3【解题思路】设正比例函数和反比例函

3、数的解析式分别为正比例函数和反比例函数的图象都经过点 k=1,门=3父3=99点B(6,m)在反比仞函数 y =的图像上 x由得点B(6, 3),2设直线OA向下平移后BD的解析式为：y34y = kx(k = 0), y = (n 井 0) xA ( 3,3).3把点B(6 ,-)代入BD的解析式：y = x +t得t =2D(0,-)2设过A ( 3,3)B(63二)，D(029)的22.9,小抛物线的解析式为9 36a 6b-y=ax+bx(a#0)则21斛得：a,b2-1x24x-9.9.9一9令丫=*一一=0得*=一则C(,0)222,s=193199二箜2s =2 135 = 45

4、33841919945假设存在点E,则1yE9-9= 45222224.1人, , yE = 2，y1 291一 x 4x -222解得X1 =4_J6 , X2 = 4+J6 (不合题意，舍去)1 E(4- . 6 )2【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.3.如图所示，AC为。O的直径，且PAL AC BC是。的一条弦，直线 PB交直线 AC于点D DB_ DC，DP DO23.(

5、1)求证：直线PB是。O的切线;(2)求 cos / BCA勺值.【解题思路】 第(1)小题要证切线，须连半径，证垂直.连接OB、OP ,证明 姐OP色AAOP即 可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求ZPOA的余弦值，在RtAPOA中，设出PA =a ,根据已知条件用含 a的代数式表示边 OA OP的长，再 利用三角函数求之.【答案】(1)证明：连接OB OP(1分)- DB _ DC =2DP DO 3且/ D=Z D.BDRAPDO/DBB/DPOBC/OP /BCO/POA/CBO/BOP.OB：OC /OCBZCBO /BOR/POA又.OB=OAOP=OP BO国AAO

6、P ZPBG/PAO又PALAC /PBG90 直线PB是OO的切线（4分）（2）由（1）知/BCO/POA设PB=a,贝UBD=2a又PA=PB=aAD=22a又.BC/OPDC=2CODC=CA=122a=2a2OA=ga26OP=a2cos/BCAcos/POA43（8分）3（注：其他解法依据情况酌情给分）【点评】本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规，为学生熟知，能让学生正常发挥自己的

7、思维水平.对于在几何图形的证明与求解中，辅助线的添加成为部分学生的一大难题，本题中的2条辅助线添法是关键，就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.410.如图，/ABC和NCDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点,卜列结论：tan/AEC=BC;S/ab(+Scde皂S“ce;BMLDMBM=DME确结论的个数是CD()(A) 1(B) 2 个【解题思路】此题易得/ACE=90,.tan/AEC=£C=BC.成立；设AC=a,CE或则CECD121.2122.2Si_ABC=a,SCDE=b,SACE=_ab,而(ab)_0,故a+b2ab

8、之0,4-4一2S ABC ' S CDE ,- S AEC22_1221_12121-a2+b222ab,-(a2+b2)>-2ab,-a2+-b2>-ab,即:44442，成立；延长Dg直线AB于N,易证4AM隼EMD进而得到MD=MN,BD=B曲等腰三角形三线合一，可得成立。【答案】D【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。5.如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A(0,2),BB(1,0)两点，与反比例函数y二一的x图象在第一象限内的交点为M若OBM勺面积为2.(1)求一次函数和反比例函数的表达式.(2)在x轴上存在点P,使AMLPM若存在，求出点P的坐标，若不

9、存在，说明理由.【解题思路】(1)由于一次函数的图象经过两个已知点A、B,利用待定系数法可以求出其表达式；确定反比例函数的表达式的关键是求出点M的坐标，过点M作x轴的垂线段MD利用OBM勺面积为2先求出点M的纵坐标；(2)过点M作MPLAM交x轴于点P,注意到基本图形：RtABMPMDLBP,利用相似三角形的知识或解直角三角形的知识求出BP的长度，从而求出点P的坐标.【答案】(1)二.直线y=kix+b过A(0,2),B(1,0).d=;=20,t22，一次函数的表达式为y=2x2.设M(m,n),作MDLx轴于点D及obi=2.1 一12OB,MD2,.2n=2.n=4.将M(rq4)代入y

10、=2x2得：4=2m-2,m=3.k24=3，1.k2=12.所以反比例函数的表达式为y=-2.x(2)过点M(3,4)作MPLAgx轴于点P,MDLBP/PMD=MBD=ABOOA2tan/PMD=tan/MBD=tanZABOoj=1=2.在 RtzPDM 中,PD通2, ' PD=2MD8.P(=Ot+PD=11.，在x轴上存在点P,使PMLAM此时点P的坐标为(11,0).【点评】本题是利用一次函数、反比例函数图象与性质解题的综合题，尽管题目的区分度不是很大，但着重考查了初中数学的很多重要的数学知识点与数学的思想方法(如待定系数法、数形结合等)；解决第(1)题的关键是点的坐标与

11、相应线段长度间的转换，解决第(2)题的关键是“基本图形”的运用.难度中等.6.(本题满分10分)(2011山东枣庄，10,10分)如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x-h)2+k.所得第25题图抛物线与x轴交于AB两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点(1)写出h、k的值；(2)判断zACD的形状，并说明理由；一(3)在线段AC上是否存在点M,使AOMAABC?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解题思路】(1)将抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的关系式：y=(x+1)2-4,故h=-1

12、,k=-4;(2)令y=0,解彳导:x1=-3,x2=1,得到点A、B的坐标再令x=0得到点C的坐标，从而计算出AC,AD,CD的长度，由勾股定理判定三角形的形状；(3)过点。作OM/BC交AC于M,M点即为所求点.然后再过点M作x轴的垂线交x轴与点G,确定OGMGW长度即可确定M的坐标，从而确定存在点M,使AOMs/ABC.【答案】解：(1)y=(xh)2+k的顶点坐标为D(1,4),h=-1,k=-4.(2)由(1)得y=(x+1)2-4.当y=0时，(x+1)2-4=0.解之，得x1=-3,x2=1.A(3,0),R1,0).又当x=0时，y=(x+1)24=(0+1)24=3,C点坐标

13、为(0,-3).又抛物线顶点坐标D(-1,-4),作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E,DF_Ly轴于点F.易知在RtzXAED中，AD2=24+2=20；在RtAOC中，AC2=33l2=8；在RtCFD中，CD2=121+2=2;ac2+cdA=d2.acd直角二角形,(3)存在.作OIWBC交AC于M,M点即为所求点.由(2)知，AOC为等腰直角三角形，/BAC=45©,AC=9=32r由AOMAABC,得丝=JAM即ABACAM -T， AM 3.23 3、249、2一一八.过M点作MG_LAB于点G,则4所以点M的坐标为(3,44【点评】本题属于以二次函数为载体，涉及到多个

14、知识点，属于综合问题，考查同学们综合运用知识的能力，第一小题注重考查学生通过二次函数的图像向左、向下的平移确定h,k的值，起点较低，坡度设置合理，第二小题注重考查学生运算能力和逻辑推理能力，第三小题通过逆向思考，假设存在这样的点M再通过画图可进一步确认其存在的可能性，从而求出M的坐标，解题的关键是过点O作OM/BC找到点M.难度较大.7.已知，在梯形ABC珅，AD/BC,/AB(=90°,BG2ADE是BC的中点，连接AEAC(1)点F是DC上一点，连接EF,交AC于点O(如图)，求证：AO以COF(2)若点F是DC勺中点，连接BD交AE于点G(如图)，求证：四边形EFDG1菱形.【

15、解题思路】(1)先证四边形AECM平行四边形，得AE/CD(2)本小题的关键是证四边形EFDG勺一组邻边相等，连结DE先证四边形ABED1矩形，再根据矩形对角线的性质得出D3EG【答案】证明：点E是BC的中点，BG2AD1EC=BE=BC=AD又.AD/EC四边形AEC师平行四边形.AE/DC/AEOgCFO/EAOWFCO.AO呼ACOF(2)证明：连接DE.AD/BE,AD=BE四边形ABEM平行四边形.又/ABE=90,DABEDI矩形.11BDAE,GE=2AEGDqBDGE=GDE、F分别是BGCD的中点，EF是CBD勺中位线.EF/BD又AE/DC.四边形EFDG1平行四边形.平行

16、四边形EFD面菱形.【点评】本题涉及线段中点的性质、相似三角形的判定、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质和菱形的判定等知识点，有一定的综合性，只有熟练掌握特殊四边形的判定与性质才能顺利解答本题，解法的多样性和追求解法的简洁又为不同层次的学生提供了展示思维成果的机会.难度中等.8.如图，y关于x的二次函数y="(x+m)(x3m)图象的顶点为M图象交x轴于A、3mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆，圆心为C,定点E的坐标为(一3,0),连接ED(m>0)(1)写出A、BD三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置

17、关系；(3)当m变化时，用m表示4AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.【解题思路】(1)分别令x=0,y=0可用含m的代数式表示A、B、D三点坐标；(2)令直线DE的解析式为：y=kx+b,将E(3,0)、D(0,73mM弋入解析式，可确定直线DE43的解析式，把二次函数表不成顶点式，确定其顶点M坐标m,4上3m因为M点在直3线DE上，代入，即可求得m的值；连接CD,此时C点坐标为(1,0)、OD=/3,所以CD=2,又因为OE=3在4CDE中，利用勾股定理逆定理可判定CDE为直角三角形，所以直线ED与圆相切；(3)此问要注意分类讨论：当0Vm<3时，A

18、E=3-m,利用1AEX2。皿示出S与m的关系；当m>3时，AE=rm-3,同样的方法表示出S与m的关系式，最后根据解析式画出示意图.【答案】解：（1）A（-m,0）,B（3m,0）,D（0,V3m）.k 3k = m,3b = . 3m.（2）设直线ED的解析式为y=kx+b,将（3,0）、D（0,V3m）代入，得f-3k+b=0,解得、b=73m.，直线ED的解析式为y=Y3mx+J3m.34.3m3,3,、，八、32y=-(xm)(x-3m);x-m3m3m，顶点M的坐标为fm 逑 mI 3 J把m,土也m代入y=13m>0，.=m=1. 当m=1时，点M在直线DE上.连接C

19、DC为AB中点，C点坐标为C（m,0%OD=J3,OC=1,CD=2,点D在圆上.又OE=3,DE2=OD2+OE2=12,EC2=16,CD2=4._22_2CD+DE=EC. /FDB90, 直线EDOC相切.(3)当0<m<3时，SAed=1AEUoD=m(3-m),即S=-m2+33m.2222当m>3时，SAED=1AEOD=m(m3),即S=m23m.图象示意图如图中的实线部分.【点拨】此题考查了二次函数、一次函数、圆、解直角三角形等知识，属于综合考查代数与几何的综合性问题.它综合考查了用字母表示坐标，直线与圆的位置关系，第（3）问本题渗透了分类讨论的数学思想，重

20、点考查学生审题是否认真，挖掘出题目中各问之间的关系，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.由于综合性较强，不少学生在第（2）小题中就主动放弃.难度较大.9.（山东济宁）23、（10分）如图，第一象限内半径为2的OC与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作。C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。（1）设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式。A（2）设。C与PA交于点M与AB交于点N,则不论动点P处直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABR请你又于点P处于图中位置时的两三

21、角形相似给予证明；（3）是否存在使 AMN勺面积等于32的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说25明理由。32【解题思路】（1）、求p随k变化的函数关系式，P的纵坐标为p,由图形可以看出P是AP与切线PB的交点并且PB是唯一固定的直线，因此只要求出直线PB的函数表达式或B点的坐标即可，切线PB过直径AD的外端，故直线l:x=4或B（4,0）,得出P点的横坐标为x=4,带入PA的解析式为：y=kx+3,得p=4k+3。（2）、要AMWABF有图形知/MANWBAP（公共角），只需再有一角；由圆的直径AD的两个端点有切线，AD是。C的直径，连接DN,知：/ANg/ABCS与/DANE余，

22、ANDNABD有同弧所对的圆周角相等得/ADNWAMN从而有/ABDWAMN得证。(3)把x=0代入直线AD,彳导OA=BD=3因为AMWABP【答案】解：(1)、.y轴和直线l都是。C的切线OA!ADBDXAD又OAXOB /AOBhOADhADB=90 四边形OAD醍矩形 0C的半径为2AD=OB=4 点P在直线l上，点P的坐标为(4,p)又.点P也在直线AP上1.p=4k+3(2)连接DN.AD是。C的直径ZAND=90/ADN=90-/DAN/ABD=90-/DAN/ANDWABD又/ADNhAMN，/ABD4AMN4分./MAN=BAP5分.AMNABP6分(3)存在。7分理由：把x

23、=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3AB=jAD2+BD2=、；42+32=5SAABD=1AB-DN=1AD-DB22iAD*DB4312DN=AB55Ahi=AE2-DNI2=42-()2=256525AMINABPS ；AMNS ；ABP=(ANAP即 S 'amn二(ANAP Sabp2 cAN *S ABPAP当点P在B点上方时，AP2=AE2+PDJ=AD2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k2+1)或AF2=Aj+PD=AD2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k2+1)SAABP=1PB-AD=-(4k+3)X4=2(4k+3

24、)222,_AN2*Sabp_2562(4k3)_32(4k3)_32AMN-AP2-2516(k21)-25(k21)-25整理得k2-4k-2=0解得k1=2+66k2=2-J6当点P在B点下方时,AP2=Aj+PD=42+(3-4k-3)2=16(k2+1)SAABP=1PB-AD=-(4k+3)X4=-2(4k+3)22AN2Sabp-2562(4k3)32AMN-AP2-2516(k21)-25化简，得k2+1=-(4k+3)解得k=-2综合以上所得，当k=2±J6或k=-2时，AMN勺面积等于当10分25【点评】此题属于本卷的压轴题，它综合了圆、函数、相似形等知识和分类讨

25、论思想，考查了学生的综合分析能力，题目设计时各问能分类推进，考查了不同等次学生的学习水平，又有很好的区分度，为高一级学校选拔人才。不少学生能完成第(1)小题、第(2)小题，第(3)小题，不少学生没有看出相似的作用，一些学生分类讨论不全面.难度较大10.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0)，点B(1,0),交y轴于点E(0,-3),点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C,交y轴于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G求线段HGK度的最大值

26、；(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.【解题思路】第(1)小题用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值，得出二次函数的表达式；第(2)小题中，HG的横坐标相同，用一字母t表示出H、G两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t的二次三项式，结合t的取值范围，求的HG的最大值；第(3)小题要分AC是对角线和边两种情况来讨论，AC为边时，点MN的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细.【答案】解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3).抛物线交y轴于点E

27、(0,-3),将该点坐标代入得a=1,，抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.(2) 二点C是点A关于点B的对称点，点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标(1,0),.点C的坐标(5,0).将点C的坐标代入y=-x+m,得m=5直线CD的函数表达式为y=-x+5.设K点的坐标为(t,0)，则H点坐标为(t,-t+5),点G的坐标为(t,t2+2t-3).点K为线段AB上一动点，-3Wtwi.HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+-)2+41.24-3<t<1.当t=-3时，线段HG的长度有最大值41.24(3)二.点F是线段BC的中

28、点.点B(1,),点C(5,0),.点F的坐标为(3,0),直线l过点F且与y轴平行，直线l的函数表达式为x=3,点M在直线l上，点N在抛物线上，设点M的坐标为(3,nj)，点N的坐标为(n,n2+2n-3).点A(-3,0)，点C(5,0).AC=8.分情况讨论：若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的边，则须MMAC,且MN=AC=8当点N在点M的左侧时，MN=3-n,.3-n=8,解得n=-5,.点N的坐标为(-5,1);当点N在点M的右侧时，MN=n-3,.n-3=8,解得n=11,.点N的坐标为(11,140).F关于B的对称点P,则P的坐标为若线段AC是以点A,C,M,N

29、为顶点的平行四边形的对角线，由“点C是点A关于点B的对称点”知：点M与点N关于点B中心对称，取点(-1,0)，过P作NPLx轴，交抛物线于点N,将x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4,过点N,B作直线NB交直线l于点M,在BPNABFM中，/NBPhMBFBF=BP/BPNhBFM=90.BPNBFM,NB=MB.-4)时，以点A,C,M,N为顶点的四边四边形ANCM平行四边形，坐标为(-1,-4)的点N符合条件.，当N点的坐标为(-5,12),(11,140),(-1,形是平行四边形【点评】本题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性.它综合考查了用变量t表示点的坐标、

30、直线抛物线的解析式的求法、平行四边形的判别及相关情况的讨论.重点考查学生审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.由于此题人口比较高，不少学生在第(2)小题中就受到阻力；在第(3)小题中更是“畏缩不前”了，尤其是这一问中AC位边为对角线的讨论、AC为边时点MN位置的考虑，让一些学生思维紊乱，糊涂难做.难度较大.11(山东临沂第26题13分)如图，已知抛物线经过点A(-2,0),B(-3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,

31、O,D,E为顶点的四边形是平行四边形，求点D点的坐标;(3)P是抛物线第一象限内的一动点，过点P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点巳使得以点P,M,A为顶点的三角形与BOCf似？若存在，求出点解题思路：(1)把点A(-2,0),B(-3,3),O(0,0)代入二次函数的一般形式y=ax2+bx+c,可求二次函数解析式；(2)以A,O,D,E为顶点的四边形分两种情况：其一，OA是平行四边形的一边时，点P落在第一、三象限，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求得点D的坐标；其二，OA是平行四边形的对角线，当点D是顶点时，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求点D的坐标，因此点D的坐标有

32、三个解；(3)先根据勾股定理判断出BOC三直角三角形，作为存在性探索题，可把结论以点P,M,A为顶点的三角形与BOC相似作为条件，结合相似三角形的知识，分两种情况分别求出点P的坐标.解答：(1)设二次函数的一般形式y=ax2+bx+c,二次函数的图像经过点A(-2,0),B(-3,3),4a-2b+c=0'a=1O(0,0),则：9a3b+c=3,解得b=2,所以二次函数解析式为：y=x2+2x；c=0c=0(2)分两种情况：以OA为平行四边形白一边，则DE/OA且DE=OA由OA=2,彳导DE=2,因为点E在对称轴上，结合抛物线的称性知符合条件的点D有两个，它的横坐标分别为1或-3,

33、又点D在抛物线y=x2+2x上，用代入法，当x=-3时，y=3;当x=1时，y=3,所以点D坐标为(-3,3)或(1,3);以OA为平行四边形的又扪I线时，则DE与OA互相平分，又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1,由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C(-1,-1).综上所述，符合条件的点共有三个，坐标分别为(-3,3),(1,3),(-1,-1).(3)存在.B(-3,3),C(-1,-1),由勾股定理得BO=18,CO=2,BC2=20,.BO+C02=BC,.BO比直角三角形.假设存在点P,使得以点P,M,A为顶点的三角形与BOC相似，设P(x,y),由题意x>0

34、,y>0,且y=x2+2x.若AMDBOC则JAM=PM,即x+2=3(x2+2x),解得x1=1,x2=-2(舍去)BOCO3当x=1时，y=7,即P(1,7);3939若PMAPBOC则aM-=PM-,即x2+2x=3(x+2),解得xi=3,x2=-2(舍去)COBO当x=3时，y=15,即P(3,15).综上所述，符合条件的点P有两个，其坐标分别为(1,7)或(3,15).39点评：本题是一道与函数有关的综合试题，主要考察了二次函数解析式的确定、二次函数的对称性、平行四边形的判定以及相似三角形等知识，还对数学的代入方法，方程思想，分类讨论的思想进行了考察，对于第(2)、(3)小题

35、，学生由于考虑问题不够全面，易导致漏解的错误，平时要加强这方面的训练，第(3)小题属于存在性探索题，学生求解有一定的难度，而相似三角形知识又是学生的薄弱环节，总之，本题的难度很大12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4,0)和B(m0),与直线y=x+p相交于点A和点C(2rrr4,mr6).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQF®积为12,求点P,Q的坐标；(3)在(2)条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出力PQM的最大面积及点M的坐标。【解题思路】(1)求函数关系式的三

36、种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。(3)PQMPQ一定，只需PQ上的高最大则PQM勺面积最大。【答案】解：点A(m4,0C(2m4,m6)在直线y=x+p上A -1,0 ,B 3,0 ,C 2,-3Im4p=0fm=3i解得I2m-4i，p=m-6刀二-1设抛物线y=ax2+bx+c=a(x3Xx+1).C(2,-3.a=1，

37、抛物线解析式为y=x2-2x-3(2)AC=372,AC所在直线的解析式为：y=x1,/BAC=45口ACQP的面积为12UACQP中AC边上的高为12-=2点3.2过点D作D。AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2，2,.DN=4ACQP的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条,，PQ的解析式为丫=一*+3或丫=一*一5/2yy=x'2x'3-x1=31x2-2y解得«1或«2y=-x31yi=01y2=522cc"X2x3方程组无解y=-x-5即P(3,0),F2(-2,5).四边形ACQ混平行四边形，A-1,0,C2,-3.当P(3,0)

38、时，Qi(6,3)当E(-2,5)时,Q2(1,2)满足条件的P,Q点是P(3,0),Q16,3)或F2(2,5),Q2(1,2)(3)设M(t,t2-2t-3),(-1<t<3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T,则_2_2_T(t,-t+3),MT=(-1+3)-(t-2t-3)=-t+t+6过点M作MSIPQ所在直线于点S,MS=3MT告"+6)=一汽口等25 28115*M.，,PQWPQ边上图的最大值为【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。1O13.如图，抛物线y=&

39、;x2m)+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C(0,-1)且对称轴是x=1.(1)求抛物线解析式及A,B两点的坐标；(2)在x轴下方抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC勺面积是3?若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由(使用图1);(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使QP、AB为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2).【思路分析】(1)根据对称轴公式可求解m代入C点坐标可求解n；(2)将四边形分割成三角形AOCOCDOBD三角形AO丽积可求，三角形OCDOBD的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；(3)通

40、过画图可观察以QP、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4,PQ/AB,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标.【答案】B：(1)x=-m=1,.m=-,.=-x2-x+n.把C(0,-1)代入得n=-1,133323.求抛物线解析式是y=1x22x-1;33令0=1x2-x-1,得x=3或-1,A,B两点的坐标分别是(-1,0)(3,0);33(2)存在.设D的坐标是(x,y),则y=1x2-2-x-1,连接ACCDODBD33-Saaoc+Saoc+Sob=3,一X1X1+X1Xx+x3x(-y)=3,222+x+X3X(一工x2+x+1)=3,

41、22233解得x=2或1,所以y=-1或-f,.D的坐标是（2,-1）、（1,-4）.33（3）（3）1°当AB为边时：设PQ=AB=4,PQ/AB，则P点的横坐标是4或-4,把x=4代入y=lx22x-1得y=5;把x=-4代入y=x2-x-1得y=7,即当P的坐标是（4,333335,.5）或（-4,7）时以QP、AB为顶点的四边形是平行四边形.32当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是GPQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H,则PH窿4QO。所以OG=GH又因为点G的横坐标是1,所以点P的横坐标是2,把x=2代入y=1x2-x-1得y=-1,即当P的

42、坐标是（2,-1）,33即当P的坐标是（2,-1）时以QP、AB为顶点的四边形是平行四边形.综上，当P的坐标是（4,5）、（-4,7）或（2,-1）时以QP、A、B为顶点的四边3形是平行四边形【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标.如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误.14.（本题满分14分）已知ABC等腰直角三角形，/A=90°,D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.（1）若BD是AC的中线，如图2,求型的值；CEBD（2）若BD是/ABC勺角平分线，如图

43、3,求BD的值；CEBD（3）结合（1）、（2）,请你推断电旦的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探CE究BD的值能小于4吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.【解题思路】(1)设AD-x,得出AB=2x,由勾股定理得出BD的长；然后根据AB中4ECD得出比例式BD=空求出ce然后方f算出BD的值.(2)由角平分线性CDCECE质定理，得出DC与AD的关系，再由勾股定理表示出BD的长；然后根据ABDECD得出比例式BD=CD,求出CE,然后方f算出BD的值.(3)当点D与点A重合时，电=1,ABCECECE而点D从A向点C移动时，BD的值逐渐增大，则,BD>1；

44、再设CD-xAD,分别表示AB,CECEBDCD,x,从而求出D的位置.BD,CE,由=得出关于x的一元二次方程，解方程求出ABCE【答案】(1),.ABC是等腰直角三角形，BD是AC的中线，AC=AB=2AD.设AD-CD=x，贝UAB=2x.根据勾股定理，可得BD-75x.CELBE,/E=/A=90°,又一/ADB= /CDE .ABAECDBDCDABCE '即.5x=2xx CE.可得出等xBDCEDCAC-(2)万法一：.BD是角平分线，.=J2,即DC=J2AD.设AD-x,则ADAB同理 AABDAECD,DC=V2x,AB=2x+x.由勾股定理可知BD=44

45、+22x.BD CDAB CE.4+2%. 2x =12x'即(X 2+1) x CEBDCEv 4+2 2x 0=2.2 + 72 x4 2 2方法二：延长BA交CE的延长线于F, .BD是角平分线,BD£ CE, .BF® BCEEEF=CE,CF=2CE.-/BAD-/CED-90°,/ADB=/CDE./ABD-/ACF又AB=AC,RtAABIDRtACF.BD-CF.BD-2CE,即型=2.CEBD(3)由前面两步的结论可以看出，>1,所以这样的点是存在的.CE2BD4设CD-xAD,则AB=(x+1)AD,由勾股定理，得BD-J1+(x

46、+1)AD,当=时，CECE3=3BA 3 . i+(x + 1)2 ad. 44整理,BDCDRn.1+(x+1)2AD(x+1)AD二)即=ABCExAD：1+(x+1)2AD得x22x6=0,解得xi=1+J7,x2=1"(舍去).即当Ct>(1+J7)AD时，-BD.所CE3以当CD>i+"时，BD<4.ADCE3【点评】有两个角对应相等的三角形相似；找出未知线段与同一条线段的关系，并用字母进行表示，求出未知线段的比值.15.(满分14分)如图，在直角坐标系中，梯形ABCD勺底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=gx+Y

47、，点A、D的坐标分别为(4,0),(0,4).动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCDh匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时，OPQ勺面积为s(不能构成OPQ勺动点除外).(1)求出点BC的坐标；(2)求s随t变化的函数关系式；(3)当t为何值时s有最大值？并求出最大值.【解题思路】（1）求B点坐标，令y=4x+16中的y=0,C点的坐标与点D的纵坐标相33等；（2）解决动点问题的基本方法就是化动为静，有三种情况：一种是点P在远点左侧，点Q在线段BC上；第二种是点P在远点右侧，点Q在线段BC上；点P在远点右侧

48、，点Q在线段CD上。（3）求最大值时，一定要注意自变量的范围。【答案】解：（1）把y=4代入y=-4x+16,得x=1.33.C点的坐标为（1,4）.当y=0时，4x+=0,33.x=4.，点B坐标为（4,0）.（2）作CM/LAB于M则C阵4,BM=3.BG=Jcm2+BM2=J32+42=5.sinZABC=CM=-.BC5APOMNBx第26题图当0vt<4时，作QINLOB于N则QN=BQ-sinZABC=4t.5.S=1OP-QN=1(4t)x4t=-t2+8t(0vtv4)22555当4<tW5时，(如备用图1),连接QOQP4QQNLO时N同理可得QNk4t.5.S=

49、1OP-QN=1X(t4)X4t.=2t2-8t(4<t<5)22555当5vt W6时，（如备用图2）,连接QO QPS= 1 X OP< OD= 1 (t 4) X4=2t -8 (5vt W6) 22(3)在0vt <4时，522 (-)5=2时,S最大=4 (-358t =5- = 2 时,2 -5在4<tW5时，对于抛物线S=2t28t,当55S最小=2X228X2=8.555.抛物线S=2t28t的顶点为（2,心）.555 在4<tW5时，S随t的增大而增大. 当t=5时，S最大=2X528X5=2.55在5vtW6时，在S=2t8中，-2>

50、;0,S随t的增大而增大，当t=6时，S最大=2X68=4. .综合三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4.(说明：(3)中的也可以省略，但需要说明：在(2)中的与的OPQ中的底边O刖高CDTB大于中的底边O刖高.所以中的OPCE积一定大于中的OPQ勺面积.)【点评】本题是一个综合性试题，考查几何图形与二次函数的综合运用，解决问题的关键是抓住每个时间段状态下的面积与运动时间的数量关系。容易属疏忽的地方就是不考虑自变量的取值条件直接计算最大值。16.如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点，抛物线交y轴于点C(0,3),点D为抛物

51、线的顶点，直线y=x-1交抛物线于点M,N两点，过线段MNLh一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.(1)试求抛物线的解析式及顶点D的坐标(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？.(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP,EQ,若EP=EQ寸，求出P点坐标。w【解题思路】本题是一个函数知识的综合题，本题牵涉到一次函数和二次函数的相关知识。比如求二次函数的解析式与顶点坐标，求二次函数的最大值，本题的最大难点是第(3)小题，在EPQ中，EP=EQ又PQ/y轴，所以PQ的垂直平分线经过E点，且线段PQ的中点的纵横坐标与E点的纵坐标相等。答案：(1)设y=a(x+1)(x-3),由抛物线经过(

52、0,3)可得a=-1,所以y=-x2+2x+3，顶点坐标为(1,4)。(2) PQ= (-x2+2x+3)当 x=1 时，PC1, 22-(x-1 ) =-x 2+x+4=- (x- ) 2 +17 24-),PQ最长为1724(3)由y1=x-1 , y2 =-x2+2x+3,设P点的横坐标为x,则线2段PQ中点的纵坐标为&一左二x23x 2o因EP=EQ且E为OC±的三等分点,所以点E的坐标为2x 丁 3x : 2(0,1 )或(0,2),故二一汉上2=12一一-x3x2.=2,2P在MNLh,x=0或1,2,此时P点的坐标为(0,-1),(1,0)(2,1)【点评】本题

53、的最大的难点是求PQ中点的坐标，一般的P(x1，y1),Q(x2,y2)，则PQ中点的坐标为(xx2,Yy2)。本题难度较大2217.已知抛物线y=a(xm)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B。点A、B关于原点O对称分另I是点CDb求点AB、C、D中任何三点都不在一直线上，称四边形ABCM抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。(1)如图1,求抛物线y=a(x2)2+1的伴随直线的解析式;(2)如图示，若抛物线y=a(x-m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物级的解析式；(3)如图3,若抛物线y=a(x-m)2+n的伴随直线是y=-2x+b(b)0),且伴随四边形ABC皿矩形。用含b的代数式表示mn的值在抛物线的结称轴上是否存在点P,使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表，示)；若不存在，请说明理由。M2【第笈励【解题思路】（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点B和抛物线与y轴的交点A的坐