磁场中的临界和极值问题

1、带电粒子在有界匀强磁场中带电粒子在有界匀强磁场中 运动的临界和极值问题运动的临界和极值问题 1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式 2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式 3.求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的公式求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的公式 mvrqB2 mTqB2mtTqB带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) (2)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)Av1（v2（

2、v3 一束完全相同的粒子，以一束完全相同的粒子，以 相同、相同、 不同的初速不同的初速度从边界某点进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心度从边界某点进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心都在与都在与 直线上。速度增大，轨迹直线上。速度增大，轨迹半径增大。所有粒子的轨迹均通过半径增大。所有粒子的轨迹均通过 点，且组成一组点，且组成一组动态的动态的 圆。（填写圆的位置关系）圆。（填写圆的位置关系） 我们将这一组圆叫做我们将这一组圆叫做 。 v2v1方向方向大小大小入入射速度垂直的同一条射速度垂直的同一条入射入射内切内切“放缩圆放缩圆”AvxyO(O1rrsinrrd2vqvBmr由由得得(1 si

3、n )qBdvmAvxyO( 例例1.若磁感应强度为若磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于第一象限，一的匀强磁场仅存在于第一象限，一带负电的粒子（质量为带负电的粒子（质量为m,带电荷量为带电荷量为q）从距原点）从距原点O为为d的的A点与点与Y轴正方向夹角为轴正方向夹角为射入。若粒子射入的方向不变，射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从要使粒子不能从x轴射出，则粒子的速度不能超过轴射出，则粒子的速度不能超过多少？多少？（重力不计）（重力不计）yxoo 一束带电的粒子以初速度v进入匀强磁场，若初速度 相同， 不同，则所有粒子运动的轨道半径 ，但不同粒子的圆心位置不同。其共同规律是： 所有粒子的圆心

4、都在 的圆上。 我们将这样的一组圆称为 。 大小方向相同以射入点为圆心、半径等于入射粒子轨迹半径“转动圆”yx（2010全国新课标全国新课标1卷，卷，25）如图所示，在）如图所示，在0 xa、oya/2范围内有垂直于范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为感应强度大小为B。坐标原点。坐标原点O处有一个粒子源，在处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为某时刻发射大量质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电粒子，的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与平面内，与y轴正方向的夹角分布在轴正方向的夹角分布在0 范围

5、内。己知粒子在磁范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于场中做圆周运动的半径介于a/2到到a之间，从发射粒子之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的从粒子源射出时的(1)速度的大小；速度的大小；(2)速度方向与速度方向与y轴轴正方向夹角的正弦值正方向夹角的正弦值。090（2010全国新课标全国新课标1卷，卷，25）如图所示，在）如图所示，在0 xa、oya/2范围内有垂直于范围内有垂直于xoy平面向外的匀平面向外的匀

6、强磁场，磁感应强度大小为强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电、电荷量为荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与平面内，与y轴正方向的夹角轴正方向的夹角分布在分布在0 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到到a之间，从发射粒子到之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆

7、周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；速度的大小；(2)速度方向与速度方向与y轴正方向夹角的正弦轴正方向夹角的正弦。09 0解：（1）设粒子的发射速度为，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得 由式得 当 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示。设该粒子在磁场运动的时间为t，依题意 ，得 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系可得 由式得 由式得 （2） 由式得 2vqvBmRmvRqB/ 2aRa/ 4tT2OCAsin2aRRsi

8、ncosRaRa22sincos1aa6(2)2Ra6(2)2aqBvm66sin10a 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆为圆心，半径为心，半径为r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分之一圆周上，如图所示。之一圆周上，如图所示。 电子由电子由O点射入第点射入第象限做匀速象限做匀速圆周运动圆周运动2000vmvev Bm r=reB2220112()(1)()422mvSrreBmin 即所有出射点均在以坐标即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧为圆心的圆弧abO上，显然，上，显然，磁场分布的最

9、小面积磁场分布的最小面积应是实线应是实线1和圆弧和圆弧abO所围的面积，由几何所围的面积，由几何关系得关系得 由图可知，由图可知，a、b、c、d 等点就是各电等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程子离开磁场的出射点，均应满足方程x2 + (yr)2=r2。 设设P(x，y)为磁场下边界上的一为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与点，经过该点的电子初速度与x轴轴夹角为夹角为 ，则由图可知：，则由图可知：x = rsin ， y = rrcos ，得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁场区域的下边界也是半径为所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为，圆心为(0，r)的的圆弧应是磁场区域的下边界。圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线磁场上边界如图线1所示。所示。 两边界之间图形的面积即为所求。两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：积，即为磁场区域面积：2220112()(1)()422mvSrreBminRrr 迁移与逆向、对称的物理思想！迁移与逆向、对称的物理思想！ 课堂总结课堂总结动态圆的两种模型动态圆的两种模型:1、放缩圆、放缩圆速度速度 不变，速度不变，速度 发生变化，轨迹半径发生变化，轨迹半径 同，圆同